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Vidéo de la leçon : Impédance des circuits en courant alternatif Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer l’impédance de circuits simples de type résistif, capacitif et inductif, en utilisant les réactances capacitives et inductives.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons découvrir l’impédance et la réactance, qui généralisent le concept de résistance aux condensateurs et aux inducteurs des circuits à courant alternatif. Puisque notre objectif est de généraliser la résistance, passons en revue certaines des propriétés des résistances.

Une résistance de valeur 𝑅 fournit la constante de proportionnalité entre le courant 𝐼 et la différence de tension aux bornes de la résistance 𝑉. Nous pouvons énoncer cette relation comme la loi d’Ohm, 𝑉 est égal à 𝐼𝑅, qui est valide que le courant soit alternatif ou direct. La particularité des résistances est que nous n’avons rien besoin de savoir du courant ou de la tension dans le circuit pour comprendre comment la résistance affectera la relation. Il est toujours vrai que 𝑉 est égal à 𝐼𝑅.

Plus précisément, l’effet d’une résistance dans un circuit ne dépend pas de la fréquence du courant alternatif. En revanche, l’effet des condensateurs et des inducteurs sur un circuit dépend en effet de la fréquence du courant alternatif. De plus, le courant au travers d’une résistance est en phase avec la tension qui la traverse, mais le courant au travers de condensateurs et d’inducteurs est déphasé par rapport à la tension qui les traverse.

Nous devons donc définir une nouvelle quantité appelée réactance, qui ressemble à la résistance mais prend en compte la phase et la fréquence. Nous utiliserons la lettre grecque 𝜒 pour désigner la réactance et l’indice 𝐶 pour désigner la réactance du condensateur et l’indice 𝐿 pour désigner la réactance d’un inducteur. Rappelez-vous que nous n’avons pas besoin de tenir compte de la phase ou de la fréquence lorsqu’il ne s’agit que de résistances, car l’effet des résistances ne dépend ni de la phase ni de la fréquence. Avant de calculer réellement ces réactances, il convient de noter le comportement des condensateurs et des inducteurs dans les circuits à courant continu.

Nous avons dessiné deux circuits similaires, l’un avec un condensateur et l’autre avec un inducteur. Chaque circuit a également une pile de tension 𝑉 et un interrupteur permettant de l’allumer. Dès que nous fermons l’interrupteur du circuit avec le condensateur, la force électromotrice de la pile commence à fournir le courant au circuit et ainsi à déposer de la charge sur les deux plaques du condensateur. Cependant, alors que le condensateur continue à se charger, il développe sa propre tension croissante qui s’oppose à la f.é.m. de la pile. Cela se traduit par un courant décroissant qui disparaît finalement entièrement lorsque la tension aux bornes du condensateur est égale à la tension de la pile. En d’autres mots, peu de temps après la fermeture de l’interrupteur, le condensateur agit de la même façon qu’un fil conducteur. Mais longtemps après la fermeture de l’interrupteur, le condensateur agit comme un circuit ouvert.

L’effet inverse se produit dans un circuit à courant continu avec un inducteur. Lorsque l’interrupteur est fermé, la f.é.m. de la pile agit initialement pour créer un champ magnétique à l’intérieur de l’inducteur. Au fur et à mesure que l’intensité de ce champ magnétique augmente, une proportion croissante de la f.é.m. est consacrée à fournir du courant à travers l’inducteur au lieu d’établir le champ magnétique. Ainsi, peu après la fermeture de l’interrupteur, l’inducteur agit comme un circuit ouvert. Mais longtemps après que le champ magnétique a atteint son intensité maximale, l’inducteur agit comme un fil conducteur. Comme ces exemples l’illustrent, la capacité d’une force électromotrice à faire passer du courant à travers un condensateur ou un inducteur peut varier.

D’autre part, comme nous l’avons vu à travers la loi d’Ohm, une force électromotrice a toujours la même capacité à faire passer le courant à travers une résistance. Les effets changeants des inducteurs et des condensateurs dans un circuit seront au cœur de la définition des réactances inductives et capacitives. Commençons par déterminer la relation de la réactance inductive et capacitive par rapport à la fréquence. Rappelons que comme nous venons de le voir pour les condensateurs subissant une force électromotrice constante, plus le condensateur passe de temps à charger, plus le condensateur s’opposera et réduira le courant dans le circuit. En d’autres mots, plus les condensateurs se chargent, plus leur réactance est grande, puisque les plus grandes réactances s’opposent plus fortement au courant.

Cependant, si nous avons attaché notre condensateur à une source de tension alternative, une fois que la tension maximale a été atteinte, la force électromotrice commencera à diminuer. Cela entraînera une décharge du condensateur, et il y aura donc à nouveau un flux de charge et donc un courant dans le circuit. Finalement, lorsque la force électromotrice change de direction, le condensateur recommence à se charger, mais cette fois avec des charges opposées sur chaque plaque. Une fois que la puissance maximale dans l’autre direction a été atteinte, le condensateur recommence à se décharger. Plus la force électromotrice atteint rapidement sa valeur maximale, moins le condensateur aura besoin de temps pour se charger avant que la f.é.m. ne change de direction et que le condensateur ne commence à se décharger. Cela signifie que le condensateur fournira moins d’opposition au courant plus la force électromotrice change de direction vite.

En termes techniques, nous voyons que la réactance capacitive augmente avec des fréquences plus petites et diminue avec des fréquences plus grandes. Dans ce cas, nous avons utilisé 𝜔, la fréquence angulaire de la force électromotrice, qui est définie comme deux 𝜋 radians fois la fréquence ordinaire ou le nombre de cycles par seconde. Nous utilisons la fréquence angulaire au lieu de la fréquence ordinaire simplement parce que certains calculs qui sortent du cadre de cette leçon sont beaucoup plus simples lorsqu’ils sont exprimés en fonction de 𝜔 au lieu de 𝐹. L’autre facteur que nous attendons impacter la réactance capacitive est la capacité électrique réelle du condensateur. Etant donné qu’une capacité plus grande signifie qu’un condensateur atteindra sa charge complète plus lentement, nous nous attendons à ce qu’un condensateur ait une réactance plus grande avec une capacité plus petite et une réactance plus petite avec une capacité plus grande.

Ces deux résultats sont caractéristiques d’une relation de proportionnalité inverse, où une quantité qui devient plus grande ou plus petite correspond à l’autre quantité qui devient plus petite ou plus grande. Sous forme de formule, la réactance capacitive est égale à un divisé par la fréquence du courant ou de la f.é.m. multipliée par la capacité. Il convient de mentionner que dans un circuit alternatif, le courant et la f.é.m. ont tous les deux la même fréquence. Dans un circuit inductif, comme nous l’avons vu précédemment, au fur et à mesure que le temps passe, plus de champ magnétique s’accumule dans l’inducteur. Cependant, contrairement à un condensateur qui s’oppose plus fortement au courant à mesure qu’il se charge, un inducteur s’oppose moins au courant à mesure que le champ magnétique s’accumule. Ainsi, un inducteur devient moins réactif plus une f.é.m. conserve des valeurs similaires.

Lorsque la f.é.m. change de direction, la direction du champ magnétique changera également. Ainsi, l’inducteur s’opposera moins au courant plus la f.é.m. varie lentement. En d’autres mots, la réactance inductive diminuera à mesure que la fréquence angulaire diminuera. De plus, plus l’inductance de l’inducteur est petite, plus le champ magnétique maximal est petit. Plus le champ magnétique maximal est petit, plus ce champ peut être mis en place rapidement, et donc plus l’opposition au courant est faible. Ainsi, la réactance inductive sera plus faible pour des plus faibles inductances. Pour ces deux relations, une valeur plus petite d’une quantité correspond à une valeur plus petite d’une autre quantité et vice versa. Ceci est caractéristique d’une relation directement proportionnelle, et donc nous avons que la grandeur de la réactance inductive est égale à la fréquence angulaire fois l’inductance.

Maintenant que nous avons intégré la fréquence dans l’expression de la réactance, voyons comment intégrer la phase. Nous avons dessiné deux graphiques montrant la f.é.m. et le courant par rapport au temps, un pour un condensateur et un pour un inducteur. Dans le graphique du condensateur, nous pouvons voir que la ligne verte continue représentant le courant atteint son maximum un quart de période avant la ligne bleue en pointillés représentant la force électromotrice. Nous voyons donc que le courant devance la f.é.m. d’un quart de période ou de 90 degrés. On pourrait aussi dire que le courant a été déphasé en arrière par rapport à la f.é.m.. Pour l’inducteur, c’est la f.é.m. qui devance le courant d’un quart de période. Et dans ce cas, le courant a été déphasé en avant. Notez que ces changements de phase n’affectent pas l’amplitude du courant, juste sa relation dans le temps avec la f.é.m..

Nous pouvons donc écrire des expressions complètes pour les réactances inductive et capacitive comme étant la valeur de la réactance et le déphasage. Lorsque nous disons que la phase de la réactance capacitive est de moins 90 degrés, ce que nous voulons dire réellement, c’est que le déphasage est en arrière par rapport à la f.é.m., en contraste avec le décalage de phase inductif, qui est positif ou en avant par rapport à la f.é.m.. Prenons un moment pour interpréter ce que signifient ces réactances. Comme la résistance, la réactance est destinée à fournir un lien entre la f.é.m. et le courant associé. Cependant, contrairement à la résistance, la réactance introduit également un déphasage. La grandeur de la réactance se comporte de la même manière que la résistance en termes de rapport du courant maximum à la f.é.m. maximale.

Ainsi, par exemple, la f.é.m. maximale transmise par l’inducteur est 𝜔𝐿 fois le courant maximal. Cependant, ces deux valeurs maximales ne se produisent pas en même temps. C’est précisément l’information qui est véhiculée par la partie phase de la réactance. Dans un inducteur, le courant atteint son pic un quart d’une période après la f.é.m.. Et dans un condensateur, le courant atteint son pic un quart d’une période avant la f.é.m.. Si un circuit avait à la fois des inducteurs et des condensateurs, la réactance totale serait une combinaison des réactances inductive et capacitive.

Si nous regardons nos deux graphiques, nous voyons que le courant à travers le condensateur et le courant à travers l’inducteur ont toujours des signes opposés. Lorsque le courant dans le condensateur est positif, le courant dans l’inducteur est négatif. Et lorsque le courant dans l’inducteur est positif, le courant dans le condensateur est négatif. En effet, l’inducteur introduit un déphasage de 90 degrés en avant et le condensateur introduit un déphasage de 90 degrés en arrière. Mais l’effet net de cela est un déphasage de 180 degrés ou une demi-période entre le courant à travers l’inducteur et le courant à travers le condensateur. Et pour une sinusoïde, comme les courants et les f.é.m. auxquelles nous avons affaire, un décalage d’une demi-période équivaut à changer le signe.

Pour tenir compte de ce déphasage entre l’inducteur et le condensateur entraînés par la même force électromotrice, pour combiner les réactances, nous soustrayons la réactance capacitive de la réactance inductive. Cette réactance totale entraînera toujours un déphasage de 90 degrés du courant par rapport à la f.é.m.. Cependant, la direction dans laquelle ce déphasage se produit sera déterminée par le signe de la différence entre les réactances inductive et capacitive. Si la réactance inductive est plus grande, la différence sera positive et le déphasage sera en avant. Si la réactance capacitive est plus grande, la différence sera négative et le déphasage sera en arrière. La plus grande des deux réactances détermine donc le déphasage du courant.

D’accord, voyons maintenant comment combiner la réactance et la résistance pour obtenir l’impédance. Pour faire face à un circuit qui a également une résistance en plus d’un condensateur et d’un inducteur, nous ne pouvons pas simplement ajouter la résistance à la réactance car la réactance implique un déphasage, mais pas la résistance. La combinaison correcte de résistance et de réactance est appelée impédance. Et nous allons nous intéresser à la grandeur de l’impédance. Nous pouvons effectuer cette combinaison géométriquement en utilisant le théorème de Pythagore pour les triangles rectangles. Si un côté adjacent du triangle a une longueur égale à la résistance dans le circuit et l’autre côté adjacent a une longueur égale à la combinaison de réactances inductive et capacitive, alors la longueur de l’hypoténuse sera la grandeur de l’impédance généralement donnée par le symbole 𝑍.

La raison pour laquelle nous utilisons un triangle rectangle pour faire ce calcul est précisément parce que la résistance n’introduit aucun déphasage du courant, mais la réactance introduit un déphasage de 90 degrés dans le courant dans les deux sens. En fait, bien que nous ne calculions que la grandeur de l’impédance, le nouveau déphasage associé à l’impédance est donné par cet angle du triangle. Quoi qu’il en soit, le théorème de Pythagore nous dit que la somme des carrés des deux côtés adjacents d’un triangle rectangle est toujours égale au carré de l’hypoténuse. Nous avons donc cette résistance au carré plus la réactance inductive moins la réactance capacitive le tout au carré est égale à l’impédance au carré.

Nous pouvons maintenant calculer l’impédance en prenant la racine carrée des deux côtés. Et ainsi, nous obtenons une expression pour la grandeur de l’impédance en termes de résistances et de réactances dans un circuit. Il convient de mentionner que si nous calculons les unités de 𝜔𝐿 et 𝜔𝐶, les réactances inductive et capacitive, nous constatons que ces unités sont équivalentes à des ohms. Ceci est important car la résistance a également comme unité l’ohm. Donc, si nous considérons notre expression, nous voyons que la résistance et la réactance sont toutes deux en ohms et donc que l’impédance doit également avoir comme unité l’ohm.

Nous pouvons donc enfin écrire comme analogie à la loi d’Ohm pour les circuits à courant alternatif avec des inducteurs et des condensateurs, la tension est égale à l’impédance fois le courant. Si nous utilisons uniquement la grandeur de l’impédance, cette équation nous indique la relation entre la tension maximale et le courant maximal dans le circuit. Si nous incluons le nouvel angle d’impédance, cette équation nous indique également la différence de phase entre le courant et la tension.

D’accord, maintenant que nous avons vu comment la réactance et l’impédance généralisent le concept de résistance, regardons un exemple.

Lequel des graphiques suivants montre correctement comment la réactance d’un condensateur varie avec la fréquence de la source de tension alternative à laquelle le condensateur est connecté?

Pour nos choix de réponses, nous avons quatre graphiques différents. Chaque graphique a une fréquence en hertz sur l’axe horizontal et une réactance en ohms sur l’axe vertical. La courbe bleue sur chaque graphique montre un moyen possible que la réactance puisse varier selon la fréquence. Notre tâche dans cette question est de choisir le graphique qui montre correctement la relation entre la réactance et la fréquence pour un condensateur connecté à une source de tension alternative.

Rappelons que pour un condensateur connecté à une source de tension alternative, le condensateur commence par se charger avec, par exemple, une charge positive sur la plaque supérieure et une charge négative sur la plaque inférieure. Ensuite, après que la f.é.m. a atteint une valeur maximale, le condensateur commence à se décharger puis à se recharger, mais cette fois avec des charges négatives sur la plaque supérieure et des charges positives sur la plaque inférieure. Après que la force électromotrice a atteint sa valeur maximale dans l’autre sens, le condensateur se décharge à nouveau et le cycle se répète. Plus le condensateur est chargé, plus il s’oppose au courant, donc plus sa réactance est grande. Cependant, plus la force électromotrice change rapidement de direction, moins le condensateur à de temps pour se charger avant de commencer à se décharger. Cela signifie que la réactance capacitive diminue lorsque 𝜔, la fréquence angulaire de la source de tension, augmente.

La réciproque est également vraie. La réactance capacitive est plus grande pour les plus petites fréquences angulaires. Si nous écrivons cela sous la forme d’une formule, nous pouvons écrire que la réactance capacitive est égale à un divisé par la fréquence angulaire de la source de tension multipliée par la capacité du condensateur. Pour utiliser cette formule, nous devrons convertir entre 𝜔, la fréquence angulaire, et 𝐹, la fréquence ordinaire. Ceci est facilement accompli avec la relation simple 𝜔 égale deux 𝜋𝐹. Notre relation entre la réactance et la fréquence est donc que la réactance capacitive est égale à un divisé par deux fois 𝜋 fois la fréquence de la source de tension alternative multipliée par la capacité du condensateur.

Puisque notre formule avec la fréquence ordinaire et notre formule avec la fréquence angulaire ont toutes deux la même forme de base avec la fréquence ordinaire et la fréquence angulaire apparaissant au dénominateur, nous pouvons clairement voir que la réactance capacitive deviendra plus petite à mesure que la fréquence régulière deviendra plus grande et vice versa, tout comme avec une fréquence angulaire. Tous les graphiques illustrés montrent une plus grande réactance aux basses fréquences et une plus petite réactance aux plus hautes fréquences. Nous avons donc besoin d’un autre moyen de faire la distinction entre ces graphiques. Si nous regardons de nouveau notre formule, nous pouvons voir que la réactance sera toujours supérieure à zéro tant que la fréquence sera finie. La réactance peut devenir très, très, très petite, mais le côté droit de cette formule n’est jamais nul.

En regardant de nouveau nos graphiques, nous pouvons éliminer les choix (b) et (c) car les deux montrent une réactance qui atteint zéro à une certaine fréquence. Les deux graphiques (a) et (d) montrent une réactance qui diminue avec l’augmentation de la fréquence mais qui n’atteint jamais zéro. Puisque ces deux graphiques ont le même comportement à haute fréquence, voyons ce qui se passe à basse fréquence. À mesure que la fréquence devient de plus en plus basse, le dénominateur de cette fraction devient de plus en plus petit, de sorte que la fraction globale devient de plus en plus grande. Et puisque nous pouvons rendre la fréquence aussi proche que possible de zéro, la réactance capacitive devrait augmenter sans limite lorsque la fréquence se rapproche de plus en plus de zéro.

Parmi les choix (a) et (d), seul le choix (a) montre une réactance qui semble augmenter sans limite pour les très basses fréquences. En revanche, le graphique du choix (d) semble se réduire et n’augmentera pas sans limite. La bonne réponse est donc le graphique indiqué dans le choix (a). Il s’avère que nous n’avions pas besoin d’analyser en détail tous ces graphiques pour obtenir cette réponse. Nos relations qualitatives et quantitatives entre la réactance et la fréquence nous indiquent que la réactance et la fréquence sont inversement proportionnelles. Cela signifie que lorsque l’un d’entre eux augmente, l’autre devient plus petit et que lorsque l’un devient plus petit, l’autre devient plus grand. Un graphique montrant la relation entre deux quantités inversement proportionnelles a toujours la même forme de base, et c’est la forme du graphique en (a).

Très bien, maintenant que nous avons vu un exemple, passons en revue les points clés que nous avons appris dans cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons vu la réactance des condensateurs et des inducteurs. Pour un condensateur, la réactance est donnée par un divisé par la fréquence angulaire de la tension et du courant dans le circuit fois la capacité. Pour une inducteur, la réactance est donnée par la fréquence angulaire de la tension et le courant multipliée par l’inductance. La réactance est censée correspondre à la résistance pour les inducteurs et les condensateurs, donc logiquement, les unités pour ces deux quantités sont des ohms. Une différence importante entre la résistance et la réactance, cependant, est que la résistance ne dépend ni de la fréquence du courant ni de la tension dans le circuit.

D’autre part, les condensateurs et les inducteurs s’opposent différemment au courant en fonction de la fréquence du courant et de la tension. Nous pouvons le voir dans les formules où la réactance capacitive diminue avec la fréquence et la réactance inductive augmente avec la fréquence. En effet, plus la tension bascule rapidement, moins le condensateur a de temps pour se charger, et moins le condensateur est chargé, moins il s’oppose au courant. D’autre part, moins un inducteur a de temps pour créer un champ magnétique, plus il s’oppose au courant. Donc, des fréquences plus élevées conduisent à des réactances plus grandes.

Lorsque des inducteurs et des condensateurs sont présents dans un circuit, la réactance totale est la différence entre les réactances inductive et capacitive. La raison pour laquelle nous soustrayons au lieu d’ajouter les réactances est que les inducteurs et les condensateurs déphasent le courant dans des sens opposés. Si un circuit comprend des résistances et des condensateurs ou des inducteurs, la quantité correspondant par analogie à la résistance s’appelle l’impédance. En raison du déphasage de 90 degrés introduit par la réactance, la valeur de l’impédance est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés adjacents sont la réactance totale et la résistance. En utilisant le théorème de Pythagore, nous trouvons ensuite une expression pour la valeur de l’impédance en fonction de la résistance et de la réactance totale. Enfin, l’impédance remplace la résistance dans la loi d’Ohm pour les circuits à courant alternatif qui contiennent des condensateurs et des inducteurs.

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