Video Transcript
Déterminez si l’expression suivante est vraie ou fausse : sinus 30 degrés est supérieur à sinus 60 degrés.
Nous supposons que nous ne pouvons pas utiliser de calculatrice pour cette question. Il serait en effet beaucoup trop simple de saisir simplement sinus 30 degrés et sinus 60 degrés dans notre calculatrice et de déterminer lequel est le plus grand. En revanche, nous examinerons deux méthodes que nous pouvons utiliser pour répondre à cette question lorsque nous n'avons pas le droit d’utiliser une calculatrice.
La première méthode est graphique. Elle consiste à tracer le graphe de 𝑦 égale sinus 𝑥 et à l'utiliser pour déterminer si l'affirmation est vraie ou fausse. Il est nécessaire de savoir à quoi ressemble le graphe de 𝑦 égale sinus 𝑥 et d'être capable de le dessiner. La valeur maximale et minimale du graphe de 𝑦 égale sinus 𝑥 sont un et moins un. Les points clés sur l'axe des 𝑥 de ce graphe sont les multiples de 90 degrés : 90 degrés, 180 degrés, 270 degrés, 360 degrés, et ainsi de suite.
Le graphe de 𝑦 égale sinus 𝑥 commence à l'origine. Il s’agit d’une forme d'onde qui atteint un en 90 degrés, qui redescend à zéro en 180 degrés, qui descend à moins un en 270 degrés et qui atteint à nouveau zéro en 360 degrés. Le graphe est périodique et sa période est de 360 degrés. La même forme se répète donc à droite de 360 degrés et à gauche de zéro. Maintenant, examinons comment nous pouvons utiliser ce graphe pour confirmer si l'affirmation est vraie ou fausse.
Entre zéro et 90 degrés, le graphe de 𝑦 égale sinus 𝑥 est croissant. Les valeurs augmentent. Les valeurs de 30 degrés et 60 degrés sur l'axe des 𝑥 seraient à peu près ici et ici. En observant l'axe des 𝑦, nous pouvons voir que la valeur du sinus de 60 degrés est plus grande que celle du sinus de 30 degrés. À partir de notre graphe, nous voyons que sinus 30 degrés est en fait inférieur à sinus 60 degrés. Ainsi, l'affirmation de départ, qui disait que sinus 30 degrés était supérieur à sinus 60 degrés, est fausse.
Une autre méthode consiste à calculer les valeurs du sinus de 30 degrés et du sinus de 60 degrés. Souvenez-vous que j'ai dit que nous n'aurions pas accès à une calculatrice. Nous devrions cependant connaître les valeurs du sinus de 30 degrés et du sinus de 60 degrés. En effet, il s'agit d'angles standards dont les sinus, cosinus et tangentes peuvent être exprimés exactement en termes de fractions et de nombres.
Il existe une méthode utile que nous pouvons utiliser pour nous rappeler de ces valeurs. Nous allons également considérer l'angle de 45 degrés. Nous écrivons d'abord un, deux et trois. Ensuite, nous divisons chacune de ces valeurs par deux, puis nous prenons la racine carrée de chacun des numérateurs, ce qui nous donne racine un sur deux, racine deux sur deux et racine trois sur deux. La racine carrée de un est juste un. Le sinus de 30 degrés se simplifie donc en un sur deux. Cependant, la racine carrée de deux et la racine carrée de trois ne peuvent pas être simplifiées. Par conséquent, nous obtenons que sinus 30 degrés est égal à un demi et que sinus 60 degrés est égal à racine trois sur deux. Il nous faut maintenant comparer ces valeurs.
Il s'agit de savoir si un demi est supérieure à la racine de trois sur deux. Les dénominateurs de ces deux fractions étant les mêmes, il suffit de comparer les numérateurs. Ainsi, nous nous demandons maintenant, est-ce que un est plus grand que racine trois ? Vous devez connaître approximativement la racine carrée de trois. Elle est approximativement égale à 1.73, que vous connaissez peut-être si vous avez beaucoup travaillé avec des valeurs trigonométriques exactes. Si vous ne le savez pas, il est possible de résoudre ce problème d'une autre manière.
Un et la racine carrée de trois sont tous deux positifs. Ainsi, les deux côtés de cette inégalité sont positifs, ce qui signifie que nous pouvons élever les deux côtés au carré. Cela n'affectera pas l'inégalité. Un au carré est un et la racine carrée de trois au carré est trois. Ainsi, la question est maintenant de savoir si un est plus grand que trois ? Bien, clairement non. Un n'est pas plus grand que trois, ce qui veut dire que la question que nous avons posée au départ, à savoir " un demi est-il plus grand que racine trois sur deux ", était fausse. Nous concluons donc à nouveau que le sinus de 30 degrés est inférieur au sinus de 60 degrés. Par conséquent, l'affirmation qui nous a été donnée est fausse.
