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Vidéo de la leçon: Évaluer les fonctions trigonométriques avec des angles remarquables Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment évaluer des fonctions trigonométriques des angles remarquables et les utiliser pour évaluer des expressions trigonométriques.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment évaluer des fonctions trigonométriques des angles remarquables et les utiliser pour évaluer des expressions trigonométriques. Nous allons commencer par rappeler ces angles remarquables, ainsi que les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente de ces angles. Cependant, dans cette vidéo, nous n’allons pas considérer les démonstrations ou dérivations et allons juste évaluer ces expressions.

La première fois que nous avons parlé des fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente, nous avons vu qu’elles avaient des valeurs clés à zéro, 90, 180, 270 et 360 degrés. Nous avons également vu que chacune de ces fonctions était périodique, comme le montrent leurs représentations graphiques. Le sin de zéro, 180 et 360 degrés est égal à zéro. Le sin de 90 degrés est égal à un. Et le sin de 270 degrés est égal à moins un. Ce schéma continue tous les 90 degrés. Cependant, aux fins de cette vidéo, nous n’allons traiter que des angles compris entre zéro et 360 degrés. Le cos de zéro degré et de 360 degrés est égal à un. Le cos de 90 degrés et 270 degrés est égal à zéro. Et le cos de 180 degrés est égal à moins un. Il est clair à partir de sa représentation graphique que le tan de zéro degré, 180 degrés et 360 degrés est égal à zéro. Le tan de 90 degrés et 270 degrés n’est pas défini, illustré par une asymptote verticale sur notre graphique.

Il est également important de noter que dans certaines de nos questions, les angles seront en radians et non en degrés. Nous savons que 180 degrés est égal à 𝜋 radians. Cela signifie que 360 degrés est égal à deux 𝜋 radians. 90 degrés est égal à 𝜋 sur deux radians. Et 270 degrés est égal à trois 𝜋 sur deux radians. En plus de ces angles clés indiqués sur nos représentations graphiques, nous devons également rappeler le sin, cos et tan de 30 degrés, 45 degrés et 60 degrés. Une façon de les rappeler est d’utiliser le tableau indiqué. Dans la colonne de gauche, on a les fonctions sinus, cosinus et tangente. Et dans la première ligne, on a les angles 30 degrés, 45 degrés et 60 degrés. Compléter les deux lignes suivantes est vraiment simple. On écrit les nombres un, deux, trois et dans la ligne suivante les nombres trois, deux, un. On divise ensuite chacun de ces nombres par deux.

La dernière étape consiste à évaluer la racine carrée du numérateur. Nous savons cependant que la racine carrée de un est un. Cela nous donne les valeurs de sin 𝜃 et cos 𝜃 lorsque 𝜃 est égal à 30 degrés, 45 degrés et 60 degrés. Le sin de 30 degrés est égal à un demi. Le sin de 45 degrés est égal à racine de deux sur deux, qui est équivalent à un sur racine de deux. Le sin de 60 degrés est égal à racine de trois sur deux. Nous avons également que le cos de 30 degrés est égal à racine de trois sur deux, le cos de 45 degrés est égal à racine de deux sur deux et le cos de 60 degrés est égal à un demi. Notez ici que le sin de 30 degrés est égal au cos de 60 degrés. De même, le cos de 30 degrés est égal au sin de 60 degrés, et aussi que le sin et le cos de 45 degrés ont la même valeur, notamment racine de deux sur deux.

Les valeurs du tan de 30, 45 et 60 degrés ne sont pas aussi simples. Cependant, rappelons l’identité selon laquelle le tan de l’angle 𝜃 est égal au sin de l’angle 𝜃 divisé par le cos de l’angle 𝜃. Cela signifie qu’on doit simplement diviser un demi par racine de trois sur deux, racine de deux sur deux par racine de deux sur deux et racine de trois sur deux par un demi. tan de 30 degrés est donc égal à un sur racine de trois, tan de 45 degrés est égal à un, et enfin le tan de 60 degrés est égal à racine de trois. Lorsqu’on rationalise le dénominateur, on voit que un sur racine de trois est égal à racine de trois sur trois. C’est cette valeur qu’on utilise souvent pour le tan de 30 degrés.

Avant de résoudre quelques exemples, nous allons nous attarder un instant sur la fonction sinus. Nous faisons cela afin de repérer certains schémas et identifier des angles dont le sinus donne la même valeur. Si on trace une droite horizontale sur la courbe de 𝑦 égale sin 𝑥, lorsque 𝑦 est égal à 0,5, on voit que cette droite coupe la courbe à deux points entre zéro et 360 degrés. L’équation sin 𝜃 égale 0,5 a donc deux solutions entre zéro et 360 degrés. Nous savons que 0,5 est égal à un demi. Et de notre tableau, cette valeur est égale au sin de 30 degrés.

En raison de la symétrie de la courbe, on voit que le deuxième angle est égal à 150 degrés. Le sin de 150 degrés est aussi égal à 0,5 ou un demi. On peut utiliser la même méthode pour calculer les valeurs de 𝜃 pour lesquelles sin 𝜃 est égal à moins un demi. Les valeurs de 𝜃 ici seront 180 plus 30 degrés et 360 moins 30 degrés. Donc, le sin de 210 degrés et le sin de 330 degrés sont égaux à moins un demi.

Une autre façon de calculer ces angles est d’utiliser un diagramme CEST. Nous rappelons que ce diagramme nous indique si le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle sont positifs ou négatifs. Le E signifie ensemble, ce qui veut dire que les trois fonctions ont une valeur positive lorsque 𝜃 est compris entre zéro et 90 degrés. Si 𝜃 est compris entre 90 et 180 degrés, le sinus de l’angle est positif, tandis que le cosinus et la tangente sont négatifs. Lorsque l’angle est compris entre 180 et 270 degrés, la tangente de l’angle est positive, notée T, alors que le sinus et le cosinus sont négatifs. Enfin, si 𝜃 est compris entre 270 et 360 degrés, le cosinus de l’angle est positif, tandis que le sinus et la tangente de l’angle sont négatifs.

En utilisant le même angle que précédemment, nous savons que le sin de 30 degrés dans le premier quadrant est égal à un demi. Dans le deuxième quadrant, le sinus de l’angle sera également positif. Donc, le sin de 150 degrés est aussi égal à un demi. Dans le troisième et quatrième quadrant, entre 180 et 270, ainsi que 270 et 360 degrés, le sinus d’un angle est négatif. Cela confirme que le sin de 210 degrés et le sin de 330 degrés ont tous deux la même valeur, notamment moins un demi. Nous allons maintenant utiliser toutes ces informations pour évaluer les fonctions trigonométriques dans lesquelles les angles sont en radians et en degrés.

Déterminez la valeur de cos de 11𝜋 sur six.

Nous commençons par remarquer que notre angle est en radians, et nous savons que 𝜋 radians est égal à 180 degrés. Lorsqu’on divise les deux valeurs par six, on voit que 𝜋 sur six radians est égal à 30 degrés. On peut ensuite multiplier les deux côtés de cette équation par 11, ce qui nous montre que 11𝜋 sur six radians est égal à 330 degrés. Cela signifie que la valeur que nous devons calculer est le cos de 330 degrés. Nous pouvons le faire en esquissant la représentation graphique de la fonction cosinus, puis en utilisant nos connaissances des angles remarquables.

La fonction cosinus est périodique et a une valeur maximale de un et une valeur minimale de moins un. La courbe de 𝑦 égale cos de 𝜃 entre zéro et 360 degrés est comme indiquée. Nous voulons calculer le cos de 330 degrés. À partir de la représentation graphique, on peut voir que c’est positif et se situe entre zéro et un. En raison de la symétrie de la fonction cosinus, on peut voir sur la représentation graphique que le cos de 330 degrés est égal au cos de 30 degrés. L’un des angles remarquables que nous devons rappeler est que le cos de 30 degrés est égal à racine de trois sur deux. Cela signifie que le cos de 330 degrés est aussi égal à racine de trois sur deux. Le cos de 11𝜋 sur six radians est donc aussi égal à racine de trois sur deux.

Nous allons maintenant considérer un deuxième exemple plus compliqué dans lequel les angles sont encore en radians.

Évaluez deux multiplié par tan de 𝜋 sur six moins huit multiplié par sin de quatre 𝜋 sur trois.

Nous commençons par remarquer que nos angles ici sont en radians. Et on sait que 𝜋 radians est égal à 180 degrés. Si on divise ces deux valeurs par six, on voit que 𝜋 sur six radians est égal à 30 degrés et 𝜋 sur trois radians est égal à 60 degrés. Cela signifie que quatre 𝜋 sur trois radians est égal à 240 degrés. On peut donc écrire notre question comme deux multiplié par tan de 30 degrés moins huit multiplié par sin de 240 degrés.

La prochaine étape consiste à évaluer le tan de 30 degrés et le sin de 240 degrés en utilisant nos connaissances des angles remarquables et le diagramme CEST. Le tan de 30 degrés est égal à un sur racine de trois. Cela est équivalent à racine de trois sur trois, et c’est cette forme que nous allons utiliser dans cette question. Le premier terme de notre expression est donc égal à deux multiplié par racine de trois sur trois. Un autre de nos angles remarquables nous donne que le sin de 60 degrés est égal à racine de trois sur deux. Nous devons maintenant voir comment utiliser cette information pour calculer le sin de 240 degrés.

Lorsqu’on dessine notre diagramme CEST, on voit que 240 degrés se situe dans le troisième quadrant. Le sinus d’un angle compris entre 180 et 270 degrés est négatif. 240 degrés est égal à 180 degrés plus 60 degrés. Puisque le sinus de l’angle obtenu en additionnant 180 degrés à l’angle initial est égal en valeur absolue, mais de signe opposé au sinus de l’angle initial, si le sin de 60 degrés est égal à racine de trois sur deux, le sin de 240 degrés est égal à moins racine de trois sur deux. Le deuxième terme de notre expression devient huit multiplié par moins racine de trois sur deux. Nous devons soustraire ceci de deux multiplié par racine de trois sur trois.

Lorsqu’on simplifie nos deux termes, l’expression devient deux racine de trois sur trois plus quatre racine de trois. Sachant que quatre est égal à 12 sur trois, on peut réécrire le deuxième terme comme 12 racine de trois sur trois. Les dénominateurs sont identiques, on peut donc simplement additionner les numérateurs, ce qui nous donne 14 racine de trois sur trois. Deux multiplié par le tan de 30 degrés moins huit multiplié par le sin de 240 degrés est égal à 14 racine de trois sur trois. Cela signifie que notre expression originale dans laquelle les angles étaient en radians est aussi égale à 14 racine de trois sur trois.

Dans notre dernière question, nous allons voir la multiplication des fonctions trigonométriques.

Déterminez la valeur de trois multiplié par sin de 30 degrés multipliée par sin de 60 degrés moins cos de zéro degré multiplié par sec de 60 degrés plus sin de 270 degrés multiplié par cos carré de 45 degrés.

Pour répondre à cette question, nous devons rappeler le sinus et le cosinus de nos angles remarquables 30, 45 et 60 degrés. Nous allons également rappeler les identités trigonométriques inverses, en particulier la sécante d’un angle. Enfin, nous allons évaluer le produit de deux fonctions trigonométriques ainsi que le carré du cos de 45 degrés.

On peut représenter les valeurs du sin, cos et tan de 30 degrés, 45 degrés et 60 degrés dans un tableau comme indiqué. Les sinus de ces trois angles sont respectivement un demi, racine de deux sur deux et racine de trois sur deux. Les cos de 30, 45 et 60 degrés sont respectivement racine de trois sur deux, racine de deux sur deux et un demi. Enfin, les tangentes des trois angles sont respectivement un sur racine de trois, un et racine de trois. Nous pouvons directement introduire les valeurs de sin de 30 degrés, sin de 60 degrés et cos de 45 degrés dans notre expression. Le premier terme, trois multiplié par le sin de 30 degrés multiplié par le sin de 60 degrés, est égal à trois multiplié par un demi multiplié par racine de trois sur deux. Cela est égal à trois racine de trois sur quatre.

À partir des courbes de 𝑦 égale sin 𝜃 et 𝑦 égale cos 𝜃, on voit que le cos de zéro degré est égal à un et le sin de 270 degrés est égal à moins un. La sec d’un angle 𝜃 est l’inverse du cos de cet angle tel que la sec de 𝜃 est égale à un sur le cos de 𝜃. Cela signifie que la sec de 60 degrés est égale à un sur le cos de 60 degrés. Puisque le cos de 60 degrés est égal à un demi, la sec de 60 degrés est égale à deux.

Le deuxième terme de notre expression, le cos de zéro degré multiplié par la sec de 60 degrés, est donc égal à un multiplié par deux. Qui est égal à deux. Enfin, le troisième terme, le sin de 270 degrés multiplié par cos carré de 45 degrés, est égal à moins un multiplié par racine de deux sur deux au carré. Racine de deux sur deux au carré est égale à deux sur quatre, car on évalue simplement le carré du numérateur et du dénominateur. Cela devient un demi, que nous devons multiplier par moins un. Le troisième terme est donc égal à moins un demi.

Lorsqu’on substitue nos trois valeurs dans l’expression initiale, on a trois racine de trois sur quatre moins deux plus moins un demi. Moins deux plus moins un demi est égal à moins deux et demi, ce qui est égal à moins cinq sur deux. Nous pouvons alors multiplier le numérateur et le dénominateur de notre deuxième fraction par deux. Cela nous donne trois racine de trois sur quatre moins 10 sur quatre. Puisque les dénominateurs sont identiques, on peut soustraire les numérateurs, ce qui donne moins 10 plus trois racine de trois sur quatre. Qui est la valeur de l’expression initiale.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. On peut évaluer les fonctions et les expressions trigonométriques grâce aux angles remarquables et à la périodicité de ces fonctions. Plus précisément, on peut utiliser les valeurs du sin, cos et tan de 30 degrés, 45 degrés et 60 degrés, ainsi que les représentations graphiques trigonométriques et le diagramme CEST.

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