Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques avec des angles particuliers et comment les utiliser pour déterminer des expressions trigonométriques.
Nous commencerons par rappeler les angles particuliers, ainsi que les valeurs des sinus, cosinus et tangentes de ces angles.
Considérons un cercle trigonométrique. Cela nous permet de calculer , et entre et ou 0 et radians. Les trois fonctions ont des valeurs clés en, , , et. Nous savons que , alors , et . La connaissance de ces conversions nous permet de résoudre des problèmes trigonométriques lorsque les angles sont donnés endegrés ouradians.
0 | 1 | 0 | 0 | ||
1 | 0 | 0 | 1 | ||
0 | indéfini | 0 | indéfini | 0 |
Comme les fonctions sont périodiques, nous pouvons calculer le sinus, le cosinus et la tangente des angles en dehors de cet intervalle en additionnant des multiples de pour et , ou en additionnant des multiples de pour .
Ensuite, nous rappelons que les angles particuliers sont, et. Le sinus, le cosinus et la tangente de ces angles sont donnés ci-dessous.
1 |
Bien que nous ne considérions pas la dérivation ou la preuve de ces résultats dans cette fiche explicative, il convient de rappeler l’identité . Cela nous permet de calculer la tangente de tout angle si on nous donne le sinus et le cosinus de cet angle.
Par exemple, comme et , alors .
Il nous faudra aussi rappeler les définitions des fonctions trigonométriques inverses.
Définition : Fonctions trigonométriques inverses
La cosécante , sécante et cotangente des fonctions trigonométriques inverses sont l’inverse de sinus , cosinus et tangente de sorte que
Nous pouvons utiliser ces identités pour calculer la cosécante, la sécante et la cotangente de, et.
2 | |||
2 | |||
1 |
Nous allons maintenant rappeler les angles relatifs des fonctions trigonométriques :
Une façon de se rappeler si le sinus, le cosinus et la tangente de tout angle entre et sont positifs ou négatifs consiste à utiliser le diagramme CAST. C’est un outil de mémoire que nous utilisons pour nous souvenir des signes des rapports trigonométriques dans chacun des quatre quadrants.
Le quadrant dans lequel se situe le côté final de l’angle | L’intervalle auquel appartient la mesure de l’angle | Signes des fonctions trigonométriques | ||
---|---|---|---|---|
, | , | , | ||
Premier | + | + | + | |
Deuxième | + | |||
Troisième | + | |||
Quatrième | + |
On note que les angles sont mesurés, à partir de à ou de 0 à radians dans le sens antihoraire, où l’axe des positifs est le côté initial de l’angle. Le côté final est l’endroit où l’angle s’arrête. Tout angle compris entre et se situe dans le premier quadrant. Tout angle compris entre et se situe dans le deuxième quadrant. Tout angle compris entre et se situe dans le troisième quadrant. Tout angle compris entre et se situe dans le quatrième quadrant.
Considérons un exemple où nous devons déterminer la valeur du cosinus d’un angle en utilisant la propriété des angles associés pour le relier à un angle particulier.
Exemple 1: Utiliser les identités périodiques pour déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique impliquant des angles particuliers
Déterminez la valeur de .
Réponse
On commence par rappeler que .
Donc,
Il faut donc calculer .
Rappelons la propriété des angles associés
Si , alors
D’après notre connaissance des angles particuliers, nous savons que .
Donc,
On peut donc conclure que .
Considérons maintenant un exemple similaire où, cette fois, nous devons déterminer la valeur du sinus et de la tangente des angles donnés.
Exemple 2: Détermination des expressions trigonométriques impliquant des angles particuliers
Déterminez .
Réponse
On commence par rappeler que .
Donc,
De même,
Il faut donc calculer .
D’après notre connaissance des angles particuliers, nous savons que et .
En considérant le diagramme CAST, comme indiqué ci-dessous, nous voyons que se situe dans le 3e quadrant et que le sinus de tout angle est négatif.
Comme alors
Donc,
En substituant les valeurs de et dans notre expression, nous obtenons
Par conséquent, .
Dans les exemples restants de cette fiche explicative, nous devrons également utiliser des fonctions trigonométriques inverses.
Exemple 3: Utiliser les identités périodiques pour déterminer la valeur d’une expression trigonométrique impliquant des angles particuliers
Déterminez la valeur de .
Réponse
Pour répondre à cette question, nous devons rappeler les identités trigonométriques inverses et les angles particuliers.
D’après notre connaissance des angles particuliers, , et .
En utilisant le diagramme de CAST, nous savons que le cosinus et la tangente de tout angle dans le deuxième quadrant sont négatifs. Le sinus et le cosinus d’un angle quelconque du troisième quadrant sont également négatifs.
Les propriétés des angles associés indiquent que
Donc,
Les propriétés des angles associés indiquent également que
Donc,
Par conséquent,
Elles affirment également que
Donc,
Par conséquent,
Elles énoncent également que
Donc,
Par conséquent,
Comme alors
En substituant ces valeurs dans notre expression, nous avons
Ainsi, notre réponse finale est .
Pour l’exemple suivant, nous aurons besoin de déterminer une expression trigonométrique au deuxième degré.
Exemple 4: Détermination des expressions trigonométriques impliquant des angles particuliers
Déterminez .
Réponse
Rappelons la propriété des angles associés
Si , alors
D’après notre connaissance des angles particuliers, nous savons que .
Donc,
La substitution de cette valeur dans notre expression nous donne
Ainsi, notre réponse finale est 0.
Dans l’exemple suivant, nous étudierons comment différents angles peuvent vérifier une équation trigonométrique impliquant plusieurs angles et la puissance d’une fonction trigonométrique.
Exemple 5: Utiliser les identités périodiques pour déterminer une expression trigonométrique impliquant des angles particuliers
Laquelle des valeurs suivantes de ne vérifie pas l’équation ?
Réponse
Dans cet exemple, on nous a donné plusieurs valeurs de et on demande laquelle ne vérifie pas l’équation donnée. Nous notons que comme l’équation donnée est trigonométrique, elle peut avoir un nombre infini de solutions en raison des propriétés des angles associés.
Le moyen le plus simple de savoir quelle valeur de ne vérifie pas l’équation est de substituer les valeurs données dans le membre gauche une par une et de voir si nous obtenons le membre droit.
D’abord, pour , nous avons
Pour déterminer cela, rappelons d’abord que est un angle particulier et que nous pouvons donc directement rechercher la valeur du premier terme . Pour le deuxième terme, c’est-à-dire , on peut utiliser la propriété d’angle associé :
En prenant , nous avons
En combinant cela, nous obtenons
Ainsi, comme cela est égal au membre droit, vérifie l’équation.
Répétons cette démarche pour les autres angles, en continuant d’utiliser les propriétés des angles associés pour nous aider. Pour , nous avons
On utilise les identités et , avec , pour obtenir
Comme ce n’est pas égal au membre droit, cela montre que ne vérifie pas l’équation.
Nous avons déjà trouvé la réponse, mais pour être complète, vérifions les options restantes. Pour , nous avons
Le premier terme peut être simplifié en utilisant (en prenant ), pour obtenir . Le deuxième peut être simplifié en utilisant d’abord la périodicité du cosinus, en d’autres termes, , pour obtenir , puis en utilisant pour obtenir . Rappelons que nous avons déjà constaté que . En combinant cela, nous avons
Ainsi, fonctionne. La quatrième option est . Pour cela, nous avons
Pour les premier et deuxième termes, nous pouvons utiliser la périodicité de sinus et de cosinus pour simplifier ces termes. C’est-à-dire et pour obtenir
Il s’agit là du même membre gauche que nous avions pour , de sorte que nous pouvons conclure que cette valeur vérifie l’équation.
Enfin, nous avons , ce qui nous donne un membre gauche de
On peut utiliser les identités périodiques et afin d’obtenir
Une fois de plus, nous avons le même membre gauche que pour et , de sorte que nous pouvons conclure que cette valeur vérifie l’équation.
En conclusion, l’option B ne vérifie pas l’équation.
Dans l’exemple précédent, notons que trois des solutions possibles, à savoir, , et , ont fini avec la même expression sur le membre gauche. Ceci est le résultat de la périodicité des fonctions trigonométriques, que l’on peut voir en considérant les positions de ces angles sur un diagramme CAST.
C’est-à-dire les valeurs de et sont égaux pour ces valeurs de car ils partagent la même place sur le diagramme CAST. Par extension, les valeurs de et seront également les mêmes.
Il est important de savoir, cependant, que nous ne pouvons pas toujours utiliser cette approche d’un diagramme CAST. En particulier, nous devons faire attention car l’un des termes de l’équation (c.-à-d. ) a un angle multiple. Rappelons que pour les fonctions trigonométriques avec plusieurs angles, la périodicité est différente. Cette différence est illustrée dans les graphiques ci-dessous.
Plus précisément, la période de est (ou ), mais la période de est (ou ). Néanmoins, comme les périodes de et se chevauchent, il se trouve que les angles qui sont distants de auront toujours la même valeur de . Nous pouvons le voir en considérant la propriété périodique de , en particulier du fait qu’elle a une période de, nous avons où est un entier. Comme est trois fois, si on pose , où est aussi un entier, nous avons
Cela nous montre que la valeur de sera la même pour tous les angles qui diffèrent de, alors, et seront les mêmes aussi.
Pour notre dernier exemple, laissez-nous trouver la valeur d’une expression impliquant le produit de plusieurs fonctions trigonométriques.
Exemple 6: Détermination des expressions trigonométriques impliquant des angles particuliers
Déterminez la valeur de .
Réponse
Pour répondre à cette question, nous devons rappeler les identités trigonométriques inverses et les angles particuliers.
D’après notre connaissance des angles particuliers, nous savons que , et .
D’après les courbes sinus et cosinus ci-dessous, nous voyons que et .
Comme alors
Nous pouvons maintenant substituer toutes ces valeurs dans notre expression :
Nous terminerons cette fiche explicative en récapitulant certains points clés.
Points clés
- Nous pouvons déterminer les valeurs des fonctions et des expressions trigonométriques en utilisant notre connaissance des angles particuliers :
- Nous pouvons utiliser des identités trigonométriques inverses pour résoudre des problèmes plus complexes :
- Nous pouvons aussi utiliser les propriétés des angles associés pour déterminer les expressions trigonométriques :