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Fiche explicative de la leçon: Déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques avec des angles particuliers Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques avec des angles particuliers et comment les utiliser pour déterminer des expressions trigonométriques.

Nous commencerons par rappeler les angles particuliers, ainsi que les valeurs des sinus, cosinus et tangentes de ces angles.

Considérons un cercle trigonométrique. Cela nous permet de calculer sin𝑥, cos𝑥 et tan𝑥 entre0 et360 ou 0 et 2𝜋 radians. Les trois fonctions ont des valeurs clés en0, 90, 180, 270 et360. Nous savons que 180=𝜋radians, alors 360=2𝜋radians, 90=𝜋2radians et 270=3𝜋2radians. La connaissance de ces conversions nous permet de résoudre des problèmes trigonométriques lorsque les angles sont donnés endegrés ouradians.

𝜃
090180270360
sin𝜃01010
cos𝜃10101
tan𝜃0indéfini0indéfini0

Comme les fonctions sont périodiques, nous pouvons calculer le sinus, le cosinus et la tangente des angles en dehors de cet intervalle en additionnant des multiples de360 pour sin et cos, ou en additionnant des multiples de180 pour tan.

Ensuite, nous rappelons que les angles particuliers sont30, 45 et60. Le sinus, le cosinus et la tangente de ces angles sont donnés ci-dessous.

𝜃
304560
sin𝜃1212=2232
cos𝜃3212=2212
tan𝜃13=3313

Bien que nous ne considérions pas la dérivation ou la preuve de ces résultats dans cette fiche explicative, il convient de rappeler l’identité sincostan𝑥𝑥=𝑥. Cela nous permet de calculer la tangente de tout angle si on nous donne le sinus et le cosinus de cet angle.

Par exemple, comme sin60=32 et cos60=12, alors tan60=32÷12=3.

Il nous faudra aussi rappeler les définitions des fonctions trigonométriques inverses.

Définition : Fonctions trigonométriques inverses

La cosécante 𝜃, sécante 𝜃 et cotangente 𝜃 des fonctions trigonométriques inverses sont l’inverse de sinus 𝜃, cosinus 𝜃 et tangente 𝜃 de sorte quecscsinseccoscottan𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃.

Nous pouvons utiliser ces identités pour calculer la cosécante, la sécante et la cotangente de30, 45 et60.

𝜃
304560
csc𝜃2223=233
sec𝜃23=23322
cot𝜃3113=33

Nous allons maintenant rappeler les angles relatifs des fonctions trigonométriques:

Une façon de se rappeler si le sinus, le cosinus et la tangente de tout angle entre0 et360 sont positifs ou négatifs consiste à utiliser le diagramme CAST. C’est un outil de mémoire que nous utilisons pour nous souvenir des signes des rapports trigonométriques dans chacun des quatre quadrants.

Le quadrant dans lequel se situe le côté final de l’angleL’intervalle auquel appartient la mesure de l’angleSignes des fonctions trigonométriques
csc, sincos, sectan, cot
Premier0,𝜋2+++
Deuxième𝜋2,𝜋+
Troisième𝜋,3𝜋2+
Quatrième3𝜋2,2𝜋+

On note que les angles sont mesurés, à partir de0 à360 ou de 0 à 2𝜋 radians dans le sens antihoraire, où l’axe des 𝑥 positifs est le côté initial de l’angle. Le côté final est l’endroit où l’angle s’arrête. Tout angle compris entre0 et90 se situe dans le premier quadrant. Tout angle compris entre90 et180 se situe dans le deuxième quadrant. Tout angle compris entre180 et270 se situe dans le troisième quadrant. Tout angle compris entre270 et360 se situe dans le quatrième quadrant.

Considérons un exemple où nous devons déterminer la valeur du cosinus d’un angle en utilisant la propriété des angles associés pour le relier à un angle particulier.

Exemple 1: Utiliser les identités périodiques pour déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique impliquant des angles particuliers

Déterminez la valeur de cos11𝜋6.

Réponse

On commence par rappeler que 𝜋=180radians.

Donc,𝜋6=3011𝜋6=330.radiansradians

Il faut donc calculer cos330.

Rappelons la propriété des angles associéscoscos(360𝜃)=𝜃.

Si 𝜃=30, alorscoscoscoscos(36030)=30330=30.

D’après notre connaissance des angles particuliers, nous savons que cos30=32.

Donc,cos330=32.

On peut donc conclure que cos11𝜋6=32.

Considérons maintenant un exemple similaire où, cette fois, nous devons déterminer la valeur du sinus et de la tangente des angles donnés.

Exemple 2: Détermination des expressions trigonométriques impliquant des angles particuliers

Déterminez 2𝜋684𝜋3tansin.

Réponse

On commence par rappeler que 𝜋=180radians.

Donc,𝜋6=30.radians

De même,𝜋3=604𝜋3=240.radiansradians

Il faut donc calculer 2308240tansin.

D’après notre connaissance des angles particuliers, nous savons que tan30=33 et sin60=32.

En considérant le diagramme CAST, comme indiqué ci-dessous, nous voyons que240 se situe dans le 3e quadrant et que le sinus de tout angle est négatif.

Commesinsin(180+𝜃)=𝜃, alorssinsinsinsin(180+60)=60(240)=60.

Donc,sin(240)=32.

En substituant les valeurs de tan30 et sin240 dans notre expression, nous obtenons2308240=233832=233+43=233+1233=1433.tansin

Par conséquent, 2𝜋684𝜋3=1433tansin.

Dans les exemples restants de cette fiche explicative, nous devrons également utiliser des fonctions trigonométriques inverses.

Exemple 3: Utiliser les identités périodiques pour déterminer la valeur d’une expression trigonométrique impliquant des angles particuliers

Déterminez la valeur de costancsccos135+135+225+225.

Réponse

Pour répondre à cette question, nous devons rappeler les identités trigonométriques inverses et les angles particuliers.

D’après notre connaissance des angles particuliers, sin45=22, cos45=22 et tan45=1.

En utilisant le diagramme de CAST, nous savons que le cosinus et la tangente de tout angle dans le deuxième quadrant sont négatifs. Le sinus et le cosinus d’un angle quelconque du troisième quadrant sont également négatifs.

Les propriétés des angles associés indiquent quecoscos(180𝜃)=𝜃.

Donc,coscoscoscos(18045)=45135=45=22.

Les propriétés des angles associés indiquent également quetantan(180𝜃)=𝜃.

Donc,tantan(18045)=45.

Par conséquent,tantan135=45=1.

Elles affirment également quesinsin(180+𝜃)=𝜃.

Donc,sinsin(180+45)=45.

Par conséquent,sinsin225=45=22.

Elles énoncent également quecoscos(180+𝜃)=𝜃.

Donc,coscos(180+45)=45.

Par conséquent,coscos225=45=22.

Commecscsin𝜃=1𝜃, alorscscsin225=1225=2.

En substituant ces valeurs dans notre expression, nous avonscostancsccos135+135+225+225=22+(1)+2+22=221222=221.

Ainsi, notre réponse finale est 221.

Pour l’exemple suivant, nous aurons besoin de déterminer une expression trigonométrique au deuxième degré.

Exemple 4: Détermination des expressions trigonométriques impliquant des angles particuliers

Déterminez 34330cos.

Réponse

Rappelons la propriété des angles associéscoscos(360𝜃)=𝜃.

Si 𝜃=30, alorscoscoscoscos(36030)=30330=30.

D’après notre connaissance des angles particuliers, nous savons que cos30=32.

Donc,cos330=32.

La substitution de cette valeur dans notre expression nous donne34330=3432=3434=33=0.cos

Ainsi, notre réponse finale est 0.

Dans l’exemple suivant, nous étudierons comment différents angles peuvent vérifier une équation trigonométrique impliquant plusieurs angles et la puissance d’une fonction trigonométrique.

Exemple 5: Utiliser les identités périodiques pour déterminer une expression trigonométrique impliquant des angles particuliers

Laquelle des valeurs suivantes de 𝑥 ne vérifie pas l’équation sincos𝑥+6(3𝑥)12=32?

  1. 45
  2. 135
  3. 315
  4. 405
  5. 315

Réponse

Dans cet exemple, on nous a donné plusieurs valeurs de 𝑥 et on demande laquelle ne vérifie pas l’équation donnée. Nous notons que comme l’équation donnée est trigonométrique, elle peut avoir un nombre infini de solutions en raison des propriétés des angles associés.

Le moyen le plus simple de savoir quelle valeur de 𝑥 ne vérifie pas l’équation est de substituer les valeurs données dans le membre gauche une par une et de voir si nous obtenons le membre droit.

D’abord, pour 𝑥=45, nous avonssincos45+6(345)12.

Pour déterminer cela, rappelons d’abord que45 est un angle particulier et que nous pouvons donc directement rechercher la valeur du premier terme sin45=22. Pour le deuxième terme, c’est-à-dire 6(345)=6135coscos, on peut utiliser la propriété d’angle associé:coscos(180𝜃)=𝜃.

En prenant 𝜃=45, nous avonscoscos135=45=22.

En combinant cela, nous obtenonssincos45+6(135)12=22+62212=2462212=123212=32.

Ainsi, comme cela est égal au membre droit,45 vérifie l’équation.

Répétons cette démarche pour les autres angles, en continuant d’utiliser les propriétés des angles associés pour nous aider. Pour 𝑥=135, nous avonssincos135+640512.

On utilise les identités sinsin(180𝜃)=𝜃 et coscos(𝜃+360)=𝜃, avec 𝜃=45, pour obtenirsincossincos135+640512=45+64512=22+62212=12+62212=32.

Comme ce n’est pas égal au membre droit, cela montre que135 ne vérifie pas l’équation.

Nous avons déjà trouvé la réponse, mais pour être complète, vérifions les options restantes. Pour 𝑥=315, nous avonssincos315+694512.

Le premier terme peut être simplifié en utilisant sinsin(360𝜃)=𝜃 (en prenant 𝜃=45), pour obtenir sinsin315=45. Le deuxième peut être simplifié en utilisant d’abord la périodicité du cosinus, en d’autres termes, coscos(𝜃+2360)=𝜃, pour obtenir coscos945=225, puis en utilisant coscos(360𝜃)=𝜃 pour obtenir coscos225=135. Rappelons que nous avons déjà constaté que cos135=22. En combinant cela, nous avonssincossincos(315)+6(945)12=(45)+613512=22+62212=123212=32.

Ainsi, 𝑥=315 fonctionne. La quatrième option est 𝑥=405. Pour cela, nous avonssincos405+6121512.

Pour les premier et deuxième termes, nous pouvons utiliser la périodicité de sinus et de cosinus pour simplifier ces termes. C’est-à-dire sinsin(𝜃+360)=𝜃 et coscos(𝜃+3360)=𝜃 pour obtenirsincossincos405+6121512=45+613512.

Il s’agit là du même membre gauche que nous avions pour 𝑥=45, de sorte que nous pouvons conclure que cette valeur vérifie l’équation.

Enfin, nous avons 𝑥=315, ce qui nous donne un membre gauche desincos(315)+6(945)12.

On peut utiliser les identités périodiques sinsin𝜃=(𝜃+360) et coscos𝜃=(𝜃+3360) afin d’obtenirsincossincos(315)+6(945)12=45+613512.

Une fois de plus, nous avons le même membre gauche que pour 𝑥=45 et 𝑥=405, de sorte que nous pouvons conclure que cette valeur vérifie l’équation.

En conclusion, l’option B ne vérifie pas l’équation.

Dans l’exemple précédent, notons que trois des solutions possibles, à savoir, 𝑥=45, 𝑥=405 et 𝑥=315, ont fini avec la même expression sur le membre gauche. Ceci est le résultat de la périodicité des fonctions trigonométriques, que l’on peut voir en considérant les positions de ces angles sur un diagramme CAST.

C’est-à-dire les valeurs de cos𝑥 et sin𝑥 sont égaux pour ces valeurs de 𝑥 car ils partagent la même place sur le diagramme CAST. Par extension, les valeurs de cos𝑥 et sin𝑥 seront également les mêmes.

Il est important de savoir, cependant, que nous ne pouvons pas toujours utiliser cette approche d’un diagramme CAST. En particulier, nous devons faire attention car l’un des termes de l’équation (c.-à-d. 6(3𝑥)cos) a un angle multiple. Rappelons que pour les fonctions trigonométriques avec plusieurs angles, la périodicité est différente. Cette différence est illustrée dans les graphiques ci-dessous.

Plus précisément, la période de cos𝑥 est360 (ou 2𝜋), mais la période de cos3𝑥 est120 (ou 2𝜋3). Néanmoins, comme les périodes de cos𝑥 et cos3𝑥 se chevauchent, il se trouve que les angles qui sont distants de360 auront toujours la même valeur de cos3𝑥. Nous pouvons le voir en considérant la propriété périodique de cos3𝑥, en particulier du fait qu’elle a une période de120, nous avonscoscos3𝑥=(3(𝑥+120𝑛)),𝑛 est un entier. Comme360 est trois fois120, si on pose 𝑛=3𝑘, 𝑘 est aussi un entier, nous avonscoscoscos3𝑥=(3(𝑥+1203𝑘))=(3(𝑥+360𝑘)).

Cela nous montre que la valeur de cos3𝑥 sera la même pour tous les angles qui diffèrent de360, alors45, 405 et 315 seront les mêmes aussi.

Pour notre dernier exemple, laissez-nous trouver la valeur d’une expression impliquant le produit de plusieurs fonctions trigonométriques.

Exemple 6: Détermination des expressions trigonométriques impliquant des angles particuliers

Déterminez la valeur de 33060060+27045sinsincossecsincos.

Réponse

Pour répondre à cette question, nous devons rappeler les identités trigonométriques inverses et les angles particuliers.

D’après notre connaissance des angles particuliers, nous savons que sin30=12, sin60=32 et cos45=22.

D’après les courbes sinus et cosinus ci-dessous, nous voyons que cos0=1 et sin270=1.

Commeseccos𝜃=1𝜃, alorsseccos60=160=1÷12=2.

Nous pouvons maintenant substituer toutes ces valeurs dans notre expression:33060060+27045=31232(1)(2)+(1)22=334212=334104=10+334.sinsincossecsincos

Nous terminerons cette fiche explicative en récapitulant certains points clés.

Points clés

  • Nous pouvons déterminer les valeurs des fonctions et des expressions trigonométriques en utilisant notre connaissance des angles particuliers:sinsinsincoscoscostantantan30=12,45=22,60=32,30=32,45=22,60=12,30=13,45=1,60=3.
  • Nous pouvons utiliser des identités trigonométriques inverses pour résoudre des problèmes plus complexes:cscsinseccoscottan𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃.
  • Nous pouvons aussi utiliser les propriétés des angles associés pour déterminer les expressions trigonométriques:

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