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Fiche explicative de la leçon : Déterminer la valeur d'une expression trigonométrique impliquant des angles remarquables Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques avec des angles remarquables, et à les utiliser pour déterminer les valeurs des expressions trigonométriques.

Commençons par rappeler les angles remarquables, ainsi que les valeurs des sinus, cosinus et tangente de ces angles.

Considérons le cercle trigonométrique. Cela nous permet de calculer sin𝑥, cos𝑥 et tan𝑥 entre 0 et 360 ou 0 et 2𝜋radians. Les trois fonctions ont des valeurs clés en 0, 90, 180, 270 et 360. On sait que 180=𝜋radians, alors 360=2𝜋radians, 90=𝜋2radians et 270=3𝜋2radians. Ces égalités nous permettent de résoudre des problèmes trigonométriques lorsque les angles sont donnés en degrés ou en radians.

𝜃
090180270360
sin𝜃01010
cos𝜃10101
tan𝜃0Indéfini0Indéfini0

Comme les fonctions sont périodiques, nous pouvons calculer le sinus, le cosinus et la tangente des angles en dehors de cet intervalle;cependant, cela ne rentre pas dans le cadre de cette fiche explicative.

Ensuite, nous rappelons que les angles remarquables ont pour mesure 30 , 45 et 60. Le sinus, le cosinus et la tangente de ces angles sont donnés ci-dessous.

𝜃
304560
sin𝜃1212=2232
cos𝜃3212=2212
tan𝜃13=3313

Bien que la dérivation ou la preuve de ces résultats ne rentrent pas dans le cadre de cette fiche explicative, il convient de rappeler l’égalité sincostan𝑥𝑥=𝑥. Cela nous permet de calculer la tangente d’un angle étant donné son sinus et son cosinus.

Par exemple, comme sin60=32 et cos60=12, alors tan60=32÷12=3.

Définition : Fonctions trigonométriques inverses

Les fonctions trigonométriques inverses, cosécante de 𝜃, sécante de 𝜃 et cotangente de 𝜃 sont les inverses de sinus de 𝜃 cosinus de 𝜃 et tangente de 𝜃 telles que cscsinseccoscottan𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃.

Nous pouvons utiliser ces égalités pour calculer la cosécante, la sécante et la cotangente de 30 , 45 , et 60.

𝜃
304560
csc𝜃2223=233
sec𝜃23=23322
cot𝜃3113=33

Nous allons maintenant rappeler les relations des angles associés des fonctions trigonométriques:

Une façon de se rappeler si le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle entre 0 et 360 sont positifs ou négatifs est d’utiliser le diagramme CAST. C’est un diagramme que nous utilisons pour se rappeler des signes des rapports trigonométriques dans chacun des quatre quadrants.

Quadrant dans lequel se situe le côté final de l’angleIntervalle auquel appartient la mesure de l’angleSignes des fonctions trigonométriques
csc, sincos, sectan, cot
Premier0;𝜋2+++
Deuxième𝜋2;𝜋+
Troisième𝜋;3𝜋2+
Quatrième3𝜋2;2𝜋+

On note que les angles sont mesurés de 0 à 360 ou de 0 jusqu’à 2𝜋radians dans le sens opposé des aiguilles d’une montre, où l’axe des 𝑥 positifs est le côté initial de l’angle. Le côté final de l’angle représente le côté où l’ouverture de l’angle s’arrête. Tout angle compris entre 0 et 90 se situe dans le premier quadrant. Tout angle compris entre 90 et 180 se situe dans le deuxième quadrant. Tout angle compris entre 180 et 270 se situe dans le troisième quadrant. Tout angle compris entre 270 et 360 se situe dans le quatrième quadrant.

Exemple 1: Utiliser la périodicité pour déterminer une valeur par une fonction trigonométrique impliquant des angles remarquables

Déterminez la valeur de cos11𝜋6.

Réponse

On commence par rappeler que 𝜋=180radians.

Donc, 𝜋6=3011𝜋6=330.radiansradians

Il faut donc calculer cos330.

Rappelons la relation des angles associés coscos(360𝜃)=𝜃.

Si 𝜃=30, alors coscoscoscos(36030)=30330=30.

D’après notre connaissance des angles remarquable, nous savons que cos30=32.

Donc, cos330=32.

On peut donc conclure que cos11𝜋6=32.

Exemple 2: Déterminer la valeur des expressions trigonométriques impliquant des angles remarquables

Calculez 2𝜋684𝜋3tansin.

Réponse

On commence par rappeler que 𝜋=180radians.

Donc, 𝜋6=30.radians

Aussi, 𝜋3=604𝜋3=240.radiansradians

Il faut donc calculer 2308240tansin.

D’après notre connaissance des angles remarquable, nous savons que tan30=33 et sin60=32.

En considérant le diagramme CAST, comme indiqué ci-dessous, nous voyons que 240 se situe dans le 3e quadrant et le sinus de tout angle de ce quadrant est négatif.

Comme sinsin(180+𝜃)=𝜃, alors sinsinsinsin(180+60)=60(240)=60.

Donc, sin(240)=32.

En substituant les valeurs de tan30 et sin240 dans l’expression donnée, nous avons 2308240=233832=233+43=233+1233=1433.tansin

Par conséquent, 2𝜋684𝜋3=1433tansin.

Dans les autres exemples de cette fiche explicative, nous devrons également utiliser des fonctions trigonométriques inverses.

Exemple 3: Utiliser la périodicité pour déterminer la valeur d’une expression trigonométrique impliquant des angles remarquables

Déterminez la valeur de costancsccos135+135+225+225.

Réponse

Pour répondre à cette question rappelons les fonctions trigonométriques inverses et les angles remarquables.

On sait que, sin45=22, cos45=22 et tan45=1.

En utilisant le diagramme CAST, nous savons que le cosinus et la tangente de tout angle du deuxième quadrant sont négatifs. Le sinus et le cosinus d’un angle quelconque du troisième quadrant sont également négatifs.

D’après les propriétés des angles associés, on a coscos(180𝜃)=𝜃.

Donc, coscoscoscos(18045)=45135=45=22.

Les propriétés des angles associés indiquent également que tantan(180𝜃)=𝜃.

Donc, tantan(18045)=45.

Par conséquent, tantan135=45=1.

Ils indiquent également que sinsin(180+𝜃)=𝜃.

Donc, sinsin(180+45)=45.

Par conséquent, sinsin225=45=22.

Ils indiquent également que coscos(180+𝜃)=𝜃.

Donc, coscos(180+45)=45.

Par conséquent, coscos225=45=22.

Comme cscsin𝜃=1𝜃, alors cscsin225=1225=2.

En substituant ces valeurs dans l’expression donnée, nous avons costancsccos135+135+225+225=22+(1)+2+22=221222=221.

Ainsi, notre réponse finale est 221.

Exemple 4: Déterminer la valeur des expressions trigonométriques impliquant des angles remarquables

Calculez 34330cos.

Réponse

Rappelons la propriété des angles associés coscos(360𝜃)=𝜃.

Si 𝜃=30, alors coscoscoscos(36030)=30330=30.

D’après notre connaissance des angles remarquables, nous savons que cos30=32.

Donc, cos330=32.

En substituant cette valeur dans l’expression donnée, on a 34330=3432=3434=33=0.cos

Ainsi, notre réponse finale est 0.

Exemple 5: Utiliser la périodicité pour déterminer la valeur d’une expression trigonométrique impliquant des angles remarquables

Laquelle des valeurs suivantes de 𝑥 ne vérifie pas l’équation sincos𝑥+6(3𝑥)12=32?

  1. 45
  2. 135
  3. 315
  4. 405
  5. 315

Réponse

Afin de répondre à cette question, nous utiliserons nos connaissances des angles remarquables et des propriétés des angles associés des fonctions sinus et cosinus.

Commençons par considérer les cinq mesures d’angles qui nous sont données et leur position correspondant sur le diagramme CAST.

Comme 45, 405 et 315 ont la même position sur le diagramme, nous savons que le sinus et le cosinus de ces angles seront égaux.

Par exemple, on sait que sin45=22.

Donc, sinetsin405=22315=22.

De même, cos45=22.

Donc, cosetcos405=22315=22.

Il suffit donc de considérer les trois options A, B et C.

Premièrement, considérons 𝑥=45. En le substituant dans le membre de gauche de notre équation, nous avons sincossincos(45)+6(3×45)12=(45)+6(135)12.

On rappelle la propriété des angles associés coscos(180𝜃)=𝜃.

Si 𝜃=45, alors coscoscoscos(18045)=45135=45.

En substituant sin45=22 et cos135=22 dans cette expression on a 22+62212=123212=32.

Deuxièmement, considérons 𝑥=135. En le substituant dans le membre de gauche de notre équation, nous avons sincossincos(135)+6(3×135)12=(135)+6(405)12.

On rappelle la propriété des angles associés sinsin(180𝜃)=𝜃.

Si 𝜃=45, alors sinsinsinsin(18045)=45135=45.

En substituant sin135=22 et cos405=22 dans cette expression on a 22+62212=12+3212=32.

Enfin, considérons 𝑥=315. En le substituant dans le membre de gauche de notre équation, on a sincossincos(315)+6(3×315)12=(315)+6(945)12.

On rappelle la propriété des angles associés sinsin(360𝜃)=𝜃.

Si 𝜃=45, alors sinsinsinsin(36045)=45315=45.

En substituant sin315=22 et cos945=22 dans cette expression on a 22+62212=123212=32.

On peut donc conclure que 𝑥=135 ne vérifie pas l’équation sincos𝑥+6(3𝑥)12=32, tandis que les quatre autres options la vérifient.

Exemple 6: Déterminer la valeur des expressions trigonométriques impliquant des angles remarquables

Déterminez la valeur de 33060060+27045sinsincossecsincos.

Réponse

Pour répondre à cette question, nous devons rappeler les fonctions trigonométriques inverses et les angles remarquables.

D’après notre connaissance des angles remarquables, nous savons que sin30=12, sin60=32 et cos45=22.

En utilisant les courbes représentatives de sinus et cosinus ci-dessous, nous remarquons que cos0=1 et sin270=1.

Comme seccos𝜃=1𝜃, alors seccos60=160=1÷12=2.

Nous pouvons maintenant utiliser toutes ces valeurs dans l’expression donnée:33060060+27045=31232(1)(2)+(1)22=334212=334104=10+334.sinsincossecsincos

Nous terminerons cette fiche explicative en récapitulant certains des points clés.

Points clés

  • Nous pouvons évaluer des fonctions et des expressions trigonométriques en utilisant notre connaissance sur les angles remarquables:sinsinsincoscoscostantantan30=12,45=22,60=32,30=32,45=22,60=12,30=13,45=1,60=3.
  • Nous pouvons utiliser des fonctions trigonométriques inverses pour résoudre des problèmes plus compliqués:cscsinseccoscottan𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃.
  • Nous pouvons aussi utiliser les relations des angles associés pour trouver la valeur des expressions trigonométriques:

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