Video Transcript
Le parallélépipède sur les vecteurs de coordonnées moins deux, moins deux, 𝑚; deux, zéro, moins deux; et moins cinq, un, zéro est de volume 48. Que peut valoir 𝑚 ?
Nous commençons par rappeler qu’un parallélépipède est une forme tridimensionnelle dont chaque face est un parallélogramme. Son volume est calculé en trouvant la valeur absolue du produit mixte des trois vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂 comme indiqué. Dans cette question, nous allons poser le vecteur 𝐀 égal à moins deux, moins deux, 𝑚. Le vecteur 𝐁 est égal à deux, zéro, moins deux. Le vecteur 𝐂 est égal à moins cinq, un, zéro. Il est important de noter, cependant, que l’ordre dans lequel nous prenons ces vecteurs n’a pas d’importance.
Nous rappelons que le produit mixte de trois vecteurs est égal au déterminant d’une matrice trois par trois. Nous allons remplir cette matrice en ajoutant les composantes du vecteur 𝐀 dans la ligne supérieure, les composantes du vecteur 𝐁 dans la ligne du milieu et les composantes du vecteur 𝐂 dans la ligne du bas. Le produit mixte des vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂 est le déterminant de la matrice trois sur trois moins deux, moins deux, 𝑚, deux, zéro, moins deux, moins cinq, un, zéro.
En développant selon la ligne du haut, cela équivaut à moins deux multiplié par le déterminant de la matrice deux par deux : zéro, moins deux, un, zéro moins moins deux multiplié par le déterminant de la matrice deux par deux : deux, moins deux, moins cinq, zéro plus 𝑚 multiplié par le déterminant de la matrice deux par deux : deux, zéro, moins cinq, un. Le déterminant d’une matrice deux deux avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Notre expression se simplifie donc en moins deux fois deux plus deux fois moins 10 plus 𝑚 fois deux. Cela équivaut à moins quatre moins 20 plus deux 𝑚, ce qui simplifie en deux 𝑚 moins 24. Le produit mixte des vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂 est deux 𝑚 moins 24.
Puisque le volume d’un parallélépipède est égal à la valeur absolue du produit mixte et qu’on nous dit que le volume est égal à 48, nous avons la valeur absolue de deux 𝑚 moins 24 égale 48. Cela nous donne deux solutions possibles : soit deux 𝑚 moins 24 est égal à 48, soit deux 𝑚 moins 24 est égal à moins 48. En ajoutant 24 aux deux côtés des deux équations, nous avons deux 𝑚 égal à 72 et deux 𝑚 égal à moins 24. Nous pouvons alors diviser par deux ce qui nous donne 𝑚 est égal à 36 ou 𝑚 est égal à moins 12. Les deux valeurs que 𝑚 peut prendre telles que le volume du parallélépipède donné est de 48 sont 36 et moins 12.
