Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer le produit mixte de trois vecteurs et à l’utiliser dans des applications géométriques.
À noter qu’il est nécessaire de maîtriser le produit scalaire et le produit vectoriel avant de s’intéresser au produit mixte. Dans cette fiche explicative, nous allons nous familiariser avec un produit de trois vecteurs qui combine à la fois le produit scalaire et le produit vectoriel.
Définition : Produit mixte de trois vecteurs
Le produit mixte de trois vecteurs , et est défini par
On peut également écrire le produit mixte sous la forme . Cependant, les parenthèses ne sont pas nécessaires, car commencer par calculer donnerait un scalaire, or il est impossible de faire le produit vectoriel d’un scalaire et d’un vecteur.
Le résultat d’un produit mixte de trois vecteurs est un scalaire.
On sait que
Par conséquent,
Propriété : Calculer le produit mixte de trois vecteurs à partir des coordonnées des vecteurs
Calculer le produit mixte de trois vecteurs revient à calculer le déterminant
Essayons d’utiliser cette équivalence dans notre premier exemple.
Exemple 1: Calculer le produit mixte de trois vecteurs
Soient trois vecteurs , et , cfalculez .
Réponse
On sait que calculer équivaut à calculer . Remplaçons donc par les coordonnées des vecteurs , et pour calculer ce déterminant :
Voyons maintenant quelques propriétés du produit mixte de trois vecteurs. On sait qu’intervertir deux lignes d’un déterminant change son signe. Par conséquent, permuter deux vecteurs dans un produit mixte change le signe du produit :
Si nous effectuons une nouvelle permutation, le signe sera de nouveau inversé. Ainsi, en permutant et ou et dans , on trouve que
On remarque que le produit mixte reste inchangé lorsque l’ordre cyclique des trois vecteurs est conservé, ici , puis .
Nous allons utiliser cette propriété dans le prochain exemple.
Exemple 2: Calculer le produit mixte de trois vecteurs unitaires et ses permutations
Trouvez .
Réponse
Nous avons trois produits mixtes tous composés des mêmes trois vecteurs, , et , mais dans des ordres différents. Les produits mixtes composés des mêmes trois vecteurs ont toujours des valeurs absolues égales, mais ils n’ont le même signe que si les trois vecteurs restent dans le même ordre cyclique. Ici, l’ordre cyclique dans le premier produit mixte est , et on remarque que c’est aussi le cas dans les deux autres produits mixtes.
Par conséquent, la valeur totale de notre expression est égale à 3 fois la valeur de l’un de ses termes.
Pour calculer la valeur de l’un des produits mixtes, on peut se servir du fait que , et donc
On aurait aussi pu utiliser la méthode du déterminant :
On en déduit que
Propriété : Produit mixte de trois vecteurs coplanaires
Le produit mixte de trois vecteurs est le produit scalaire de avec , c’est-à-dire le produit scalaire de avec un vecteur normal au plan défini par et .
Il en découle que si , et sont coplanaires (c’est-à-dire appartiennent au même plan), alors , car le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul.
Et réciproquement, si , alors , et sont coplanaires.
Utilisons cette propriété pour résoudre la question suivante.
Exemple 3: Trouver les coordonnées inconnues de vecteurs coplanaires
Déterminez la valeur de qui fait que les quatre points , , et appartiennent tous au même plan.
Réponse
Étant donné que trois points non colinéaires définissent un plan, si , et sont effectivement non colinéaires, alors il faut déterminer la valeur de pour laquelle appartient au plan contenant , et .
Vérifions d’abord que , et sont non colinéaires. Pour ce faire, il nous suffit de vérifier que le produit vectoriel de et est non nul (on peut prendre n’importe quels deux vecteurs différents définis par les points qui nous sont donnés) :
Déterminons maintenant la valeur de pour laquelle appartient au plan . Comme le produit mixte de trois vecteurs coplanaires est égal à zéro, on doit alors trouver la valeur de pour laquelle, par exemple, . Les coordonnées de sont . Ainsi,
si , c’est-à-dire si .
Ainsi, la valeur de pour laquelle les quatre points , , et appartiennent tous au même plan est 8.
Une autre propriété utile du produit mixte de trois vecteurs provient de sa signification géométrique. Comme mentionné ci-dessus, le produit mixte de trois vecteurs est le produit scalaire de avec . On sait que est un vecteur normal au plan défini par et , et dont la norme est égale à l’aire du parallélogramme engendré par et .
Considérons un parallélépipède engendré par , et . Son volume correspond à l’aire du parallélogramme engendré par et , multipliée par sa hauteur , comme montré sur la figure ci-dessous. La hauteur peut à son tour être calculée par la formule , où est l’angle aigu formé par le vecteur et .
Puisque est un vecteur normal au plan défini par et , alors
Inverser le sens de (vers le haut ou vers le bas) ne change pas la valeur absolue de son produit scalaire avec , comme c’est montré sur la figure avec , l’angle entre et (vers le bas). Puisque , donc .
Ainsi, le volume du parallélépipède est :
Propriété : Signification géométrique du produit mixte de trois vecteurs
La valeur absolue du produit mixte de trois vecteurs est le volume du parallélépipède engendré par ces trois vecteurs :
Il est important de noter que trois vecteurs coplanaires ne définissent aucun parallélépipède, et que par conséquent, leur produit mixte est nul.
Utilisons maintenant cette propriété pour calculer le volume d’un parallélépipède.
Exemple 4: Déterminer le volume d’un parallélépipède
Calculez le volume du parallélépipède de côtés adjacents , et .
Réponse
Le parallélépipède est engendré par les vecteurs , et . Son volume est donné par la valeur absolue du produit mixte de ces trois vecteurs.
Ainsi, le volume du parallélépipède ayant comme côtés adjacents les vecteurs , et est égal à 9 unités de volume.
Dans le dernier exemple, nous allons essayer de trouver les valeurs possibles d’une coordonnée vectorielle inconnue à partir du volume d’un parallélépipède engendré par trois vecteurs.
Exemple 5: Déterminer une coordonnée vectorielle inconnue étant donné le volume d’un parallélépipède engendré par trois vecteurs
Le parallélépipède défini par les vecteurs de coordonnées , et a un volume de 48. Quelles sont les valeurs possibles de ?
Réponse
Le volume du parallélépipède engendré par les vecteurs , et est donné par
Le volume du parallélépipède est de 48 unités de volume, donc,
Cette équation est vérifiée si , ou si , donc, ou
Le parallélépipède défini par les vecteurs de coordonnées , et a un volume de 48 si ou si .
Points clés
- Le produit mixte de trois vecteurs , et est défini comme
- Le produit mixte de trois vecteurs est équivalent à un déterminant :
- Les produits mixtes de trois vecteurs sont égaux si l’ordre cyclique des trois vecteurs reste inchangé :
- Le produit mixte de trois vecteurs coplanaires est nul. Et réciproquement, si , alors , et sont coplanaires.
- Le volume du parallélépipède engendré par les vecteurs , et est donné par
