Vidéo de la leçon: Produit mixte Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer le produit mixte et comment appliquer cette notion dans des situations géométriques.

Le produit mixte, parfois appelé produit en boîte, est le produit scalaire d’un vecteur avec le produit vectoriel de deux autres vecteurs. Vous devez déjà être familier avec le produit scalaire et vectoriel des vecteurs. Le produit mixte de trois vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂 est défini comme le produit scalaire du vecteur 𝐀 avec le produit vectoriel des vecteurs 𝐁 et 𝐂.

Si nous décomposons cela, nous savons que le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs 𝐁 et 𝐂 est un autre vecteur. Appelons cela 𝐃. Si nous prenons alors le produit scalaire du vecteur 𝐀 avec le vecteur 𝐃, nous savons que le produit scalaire donne un scalaire. Appelons cela 𝜆. Le produit mixte est donc en fait un scalaire. Il convient de noter que nous n’avons pas besoin des parenthèses car si nous essayions de prendre le produit scalaire, c’est-à-dire le scalaire du produit de 𝐀 avec 𝐁 en premier lieu, cela nous donnerait un scalaire. Nous aurions alors un scalaire croisé avec un vecteur, ce que nous ne pouvons pas faire, car il n’est pas possible de croiser un scalaire avec un vecteur.

Et donc le produit mixte est le produit scalaire du vecteur 𝐀 avec le produit vectoriel des vecteurs 𝐁 et 𝐂. Voyons maintenant à quoi ressemble le produit mixte sous forme de composantes. Si 𝐢, 𝐣 et 𝐤 sont les vecteurs unitaires dans les directions 𝑥, 𝑦 et 𝑧, alors nos trois vecteurs sont écrits sous forme de composantes, comme indiqué. Et si nous écrivons le produit vectoriel des vecteurs 𝐁 et 𝐂 sous forme de composantes, nous avons 𝐁 croix 𝐂 est 𝐁 𝑦 𝐂 𝑧 moins 𝐁 𝑧 𝐂 𝑦 fois 𝐢 moins 𝐁 𝑥 𝐂 𝑧 moins 𝐁 𝑧 𝐂 𝑥 fois 𝐣 plus 𝐁 𝑥 𝐂 𝑦 moins 𝐁 𝑦 𝐂 𝑥 fois 𝐤. Et maintenant si nous prenons le produit scalaire du vecteur 𝐀 avec ceci, c’est-à-dire, nous multiplions les coefficients de chacun des vecteurs unitaires ensemble pour que, par exemple, notre premier terme soit 𝐀 𝑥 fois 𝐁 𝑦 𝐂 𝑧 moins 𝐁 𝑧 𝐂 𝑦.

Mais à quoi ceci nous rappelle-t-il ? Eh bien, rappelez-vous que le déterminant d’une matrice deux par deux avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Ainsi par exemple, dans notre premier terme 𝐁 𝑦 𝐂 𝑧 moins 𝐁 𝑧 𝐂 𝑦 est en fait le déterminant de la matrice deux par deux avec les éléments 𝐁 𝑦, 𝐁 𝑧, 𝐂 𝑦, 𝐂 𝑧. Et ainsi notre premier terme dans le produit mixte est 𝐀 𝑥 fois le déterminant de la matrice avec les éléments 𝐁 𝑦, 𝐁 𝑧, 𝐂 𝑦, 𝐂 𝑧, et de même pour nos deux seconds termes.

Et maintenant ceci devrait sembler familier parce que c’est le déterminant de la matrice trois par trois constituée des composantes des vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂. Donc en fait, le produit mixte des trois vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂 est simplement le déterminant de la matrice trois par trois constituée des composantes des trois vecteurs. Et bien sûr, le déterminant d’une matrice est un scalaire. Voyons maintenant comment nous pouvons l’appliquer dans un exemple.

Étant donné les vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂, où 𝐀 a les composantes un, cinq, moins cinq ; 𝐁 a les composantes deux, quatre, trois ; et 𝐂 a les composantes zéro, cinq, moins quatre, trouvez le produit mixte de 𝐀, 𝐁 et 𝐂.

On nous demande de calculer le produit mixte des vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂. Et nous savons que ceci équivaut à calculer le déterminant de la matrice constituée des composantes des trois vecteurs comme indiqué. Donc avec nos vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂, nous voulons trouver le déterminant de la matrice dont la première ligne est constituée des composantes du vecteur 𝐀, dont la deuxième ligne a des composantes du vecteur 𝐁, et dont la troisième ligne a les composantes du vecteur 𝐂.

Et n’oubliez pas quand vous calculez le déterminant d’une matrice trois par trois en utilisant la première ligne comme pivot, nous prenons le premier élément en haut à gauche 𝐀 𝑥 et le multiplions par le déterminant de la matrice deux par deux en bas au coin droit. Nous prenons ensuite l’opposé du deuxième élément de la première ligne et le multiplions par le déterminant indiqué. Et enfin, nous ajoutons le troisième élément de la première ligne, le multiplions par le déterminant formé par les quatre éléments dans le coin inférieur gauche.

Dans notre cas, ceci se traduit par un fois la matrice deux par deux avec les éléments quatre, trois, cinq, moins quatre moins cinq fois le déterminant de la matrice avec les éléments deux, trois, zéro et moins quatre plus moins cinq fois le déterminant de la matrice deux par deux avec les éléments deux, quatre, zéro, cinq. Et maintenant rappelant que le déterminant d’une matrice deux par deux avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐, nous avons un fois quatre fois moins quatre moins trois fois cinq moins cinq fois deux fois moins quatre moins trois fois zéro moins cinq fois encore fois deux fois cinq moins quatre fois zéro.

C’est-à-dire un fois moins 16 moins 15 moins cinq fois moins huit moins zéro moins cinq fois 10 moins zéro. L’évaluation de ceci nous donne moins 31 plus 40 moins 50, ce qui est moins 41. Le produit mixte des vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂 est donc moins 41.

Nous avons vu que le produit mixte de trois vecteurs est équivalent au déterminant de la matrice trois par trois constituée de leurs composantes. Et il s’avère que si nous commutons deux des vecteurs, ceci change le signe de notre résultat.

Et c’est bien sûr, ce à quoi nous nous attendions puisque si nous échangeons deux lignes dans notre déterminant, ceci change le signe. Si nous devions alors effectuer une autre permutation, par exemple, pour commuter 𝐀 avec 𝐂 ou 𝐁 avec 𝐂, le signe change à nouveau. Et ceci nous dit que le produit mixte 𝐀 point 𝐁 croix 𝐂 est le même que 𝐁 point 𝐂 croix 𝐀. Et c’est la même chose que 𝐂 point 𝐀 croix 𝐁. Et ce que ceci nous dit c’est que lorsque l’ordre cyclique des trois vecteurs reste inchangé, leurs produits mixtes sont égaux.

Considérons cette propriété du produit mixte dans un exemple.

Déterminez la somme du produit mixte 𝐢 point 𝐣 croix 𝐤 plus 𝐣 point 𝐤 croix 𝐢 plus 𝐤 point 𝐢 croix 𝐣.

On nous donne la somme de trois produits mixtes des trois mêmes vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤, où ce sont les vecteurs unitaires dans les directions 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Ces trois produits mixtes sont dans des ordres différents. Le premier est un produit scalaire de 𝐢 avec 𝐣 croix 𝐤. Le second est un produit scalaire de 𝐣 avec 𝐤 croix 𝐢. Et le troisième est le produit scalaire de 𝐤 avec 𝐢 croix 𝐣. Nous savons cependant que, comme ces trois produits mixtes ont les trois mêmes vecteurs, les valeurs absolues des produits mixtes seront les mêmes.

Nous savons également que, ce n’est que si les trois vecteurs sont dans le même ordre cyclique qu’ils auront le même signe. Dans notre cas, l’ordre cyclique du premier produit mixte est 𝐢 à 𝐣 à 𝐤. Et maintenant si nous regardons le deuxième produit mixte, nous avons 𝐣 à 𝐤 à 𝐢, qui est dans la même direction cyclique. Et le troisième produit mixte passe de 𝐤 à 𝐢 à 𝐣, qui est encore dans la même direction cyclique.

Et parce que tous sont dans le sens positif, si nous trouvons l’un des produits mixtes, nous multiplions simplement notre résultat par trois, car ils ont tous la même longueur. Maintenant, en utilisant notre diagramme cyclique à droite, à partir des propriétés cycliques, ceci nous dit que 𝐣 croix 𝐤 est égal à 𝐢 et de même 𝐤 croix 𝐢 est égal à 𝐣 et que 𝐢 croix 𝐣 est égal à 𝐤. Ceci nous indique alors que le produit scalaire de 𝐢 avec le produit vectoriel de 𝐣 et 𝐤 est simplement le produit scalaire de 𝐢 avec lui-même. Et nous savons que c’est simplement le module ou la norme de 𝐢 au carré. Et puisque 𝐢 est un vecteur unitaire, ceci est égal à un.

Et rappelons que tous nos produits mixtes ont la même norme. Et puisque les trois sont dans la même direction, ils sont tous égaux. On peut donc dire que la somme de nos trois produits mixtes est trois fois l’un des produits mixtes. Et puisque nous avons constaté que le mixte de 𝐢 avec 𝐣 croix 𝐤 est égal à un, nous avons trois fois un, ce qui est égal à trois. La somme de nos trois produits mixtes est donc trois.

Il convient de noter que nous aurions également pu utiliser la méthode du déterminant pour résoudre ce problème. Nous utilisons à nouveau le fait que leurs longueurs sont toutes égales à un et qu’elles sont toutes dans la même direction cyclique. Donc, en trouvant l’un de nos déterminants, multipliez-le par trois. Et encore une fois, notre réponse est trois.

Considérons maintenant une autre propriété du produit mixte concerné par les vecteurs coplanaires. Rappelons que le produit vectoriel d’un vecteur 𝐁 avec un autre vecteur 𝐂 est un autre vecteur perpendiculaire au plan défini par les deux vecteurs 𝐁 et 𝐂. Maintenant si le vecteur 𝐀 est dans le même plan que 𝐁 et 𝐂, alors 𝐀 doit également être perpendiculaire à 𝐁 croix 𝐂. Maintenant si nous pensons au produit scalaire de deux vecteurs, si les vecteurs sont perpendiculaires, alors leur produit scalaire est égal à zéro car l’angle entre eux est de 90 degrés et le cosinus de 90 degrés est égal à zéro.

Alors maintenant si nous revenons à notre produit mixte, si nos vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂 sont dans le même plan, alors 𝐀 est perpendiculaire à 𝐁 croix 𝐂 et leur produit mixte est égal à zéro. Et l’inverse est également vrai. Si le produit mixte est égal à zéro, alors les vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂 doivent être coplanaires. Utilisons cette propriété dans notre exemple suivant.

Trouvez la valeur de 𝑘 pour laquelle les quatre points un, sept, moins deux ; trois, cinq, six ; moins un, six, moins quatre ; et moins quatre, moins trois, se situent tous dans un seul plan.

On nous donne quatre points, qu’on nous dit qu’ils sont coplanaires ; c’est-à-dire qu’ils se trouvent tous dans le même plan. Et on nous demande de trouver la valeur de la constante inconnue 𝑘. Pour ce faire, nous allons utiliser le produit mixte puisque nous savons que si le produit mixte de trois vecteurs est nul, alors les trois vecteurs doivent être coplanaires. Avant de faire ceci, cependant, nous devons vérifier que nos trois points connus sont non colinéaires. Nous le faisons parce que nous devons être sûrs que nous ne prenons pas simplement le produit scalaire avec le vecteur zéro dans notre produit mixte.

Étiquetons nos points 𝐀, 𝐁, 𝐂 et 𝐃. Et nous pouvons prendre deux des vecteurs formés par les points 𝐀, 𝐁 et 𝐂. Choisissons 𝐁𝐀 et 𝐁𝐂. Nous savons que 𝐁𝐀 est égal à 𝐎𝐀 moins 𝐎𝐁. Et en soustrayant les composantes qui se ressemblent, nous avons moins deux, deux, moins huit. De même, 𝐁𝐂 est égal à 𝐎𝐂 moins 𝐎𝐁. Et c’est égal à moins quatre, un, moins 10. Nous savons que le produit vectoriel de 𝐁𝐀 avec 𝐁𝐂 est donné par le déterminant indiqué, où 𝐢, 𝐣 et 𝐤 sont les vecteurs unitaires dans les directions 𝑥, 𝑦 et , de sorte que notre déterminant est 𝐢 fois deux fois moins 10 moins moins huit fois un, qui est 𝐢 fois le déterminant de la matrice deux par deux dans le coin inférieur, moins 𝐣 fois le déterminant de la matrice avec les éléments moins deux, moins huit, moins quatre et moins 10 plus 𝐤 fois le déterminant de la matrice avec des éléments moins deux, deux, moins quatre, et un.

En faisant de la place, ceci donne moins 12, 12, six, ce qui n’est pas égal au vecteur zéro. Nous savons donc que nos trois points ne sont pas colinéaires. Et nous pouvons passer à l’utilisation du produit mixte pour trouver la valeur de 𝑘. On nous dit que les quatre points 𝐀, 𝐁, 𝐂 et 𝐃 sont coplanaires. Et nous savons que le produit mixte de trois vecteurs coplanaires est égal à zéro. Nous avons déjà une partie de notre produit mixte. C’est avec le produit vectoriel de 𝐁𝐀 et 𝐁𝐂. Maintenant si les quatre points se trouvent dans le plan, le vecteur 𝐀𝐃 doit également se trouver dans le plan. Le vecteur 𝐀𝐃 est donné par 𝐎𝐃 moins 𝐎𝐀. Et c’est moins cinq, moins 10, 𝑘 plus deux.

Donc, en prenant le produit mixte de 𝐀𝐃 avec 𝐁𝐀 et 𝐁𝐂, nous avons simplement le produit scalaire des deux vecteurs représentés. Ceci équivaut à moins cinq fois moins 12 plus moins 10 fois 12 plus 𝑘 plus deux fois six. Soit 60 moins 120 plus six 𝑘 plus 12, ce qui simplifie à six 𝑘 moins 48. Si les vecteurs sont coplanaires, cela doit être égal à zéro. En ajoutant 48 aux deux membres, ceci nous donne six 𝑘 est égal à 48. Et en divisant les deux membres par six, ceci nous donne 𝑘 est égal à huit. Par conséquent, la valeur de 𝑘 pour laquelle les quatre points donnés se trouvent tous dans un seul plan est 𝑘 égale huit.

La propriété finale du produit mixte que nous allons examiner découle de ce que ceci signifie géométriquement. Rappelez-vous que le produit vectoriel 𝐁 croix 𝐂 est un vecteur perpendiculaire au plan défini par les vecteurs 𝐁 et 𝐂. La norme de ce produit vectoriel est l’aire du parallélogramme généré par les vecteurs 𝐁 et 𝐂. Maintenant si nous ajoutons un autre vecteur 𝐀 et considérons le parallélépipède généré en trois dimensions par les vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂, nous savons que son volume est l’aire du parallélogramme généré par les vecteurs 𝐁 et 𝐂 multipliée par la hauteur perpendiculaire ℎ. Nous savons également que cette hauteur ℎ est égale à la norme du vecteur 𝐀 fois le cosinus de 𝜃, qui est l’angle aigu entre 𝐀 et ℎ.

Nous avons donc le volume du parallélépipède est la norme du produit vectoriel de 𝐁 et 𝐂 fois la norme du vecteur 𝐀 fois le cosinus de 𝜃. Et par définition, il s’agit de la norme du produit mixte de 𝐀 avec 𝐁 croix 𝐂. Il est intéressant de noter que si l’orientation de 𝐁 croix 𝐂 changeait vers le bas, alors l’angle entre 𝐀 et 𝐁 croix 𝐂 serait 𝜃 prime, qui est 180 moins 𝜃. Et puisque cosinus de 180 moins 𝜃 est moins cosinus 𝜃, nous avons la valeur absolue de cosinus 𝜃 prime est la valeur absolue de cosinus 𝜃. Et donc, en prenant la valeur du produit mixte, nous avons le volume du parallélépipède, quelle que soit l’orientation de 𝐁 croix 𝐂. Voyons maintenant un exemple de recherche du volume d’un parallélépipède à l’aide du produit mixte.

Trouvez le volume du parallélépipède avec les côtés adjacents 𝐮 est égal à un, un, trois ; 𝐯 est le vecteur deux, un, quatre ; et 𝐰 est le vecteur cinq, un, moins deux.

Le parallélépipède tel qu’il est défini est généré par les vecteurs 𝐮, 𝐯 et 𝐰. Et nous savons que pour trouver le volume d’un tel parallélépipède, nous pouvons utiliser le produit mixte. C’est-à-dire, que le volume du parallélépipède avec les côtés adjacents 𝐮, 𝐯 et 𝐰 est la norme du produit mixte. Nous savons également que le produit mixte est le déterminant de la matrice dont les lignes sont les composantes des vecteurs 𝐮, 𝐯 et 𝐰. Donc en fait, le volume est la norme de ceci.

Dans notre cas, alors c’est la valeur absolue du déterminant de la matrice dont les éléments sont un, un, trois ; deux, un, quatre ; et cinq, un, moins deux. C’est là que les lignes sont nos vecteurs 𝐮, 𝐯 et 𝐰. C’est un fois le déterminant de la matrice deux par deux avec les éléments un, quatre, un, moins deux moins un fois la matrice deux par deux avec les éléments deux, quatre, cinq et moins deux plus trois fois le déterminant de la matrice deux par deux avec les éléments deux, un, cinq et un.

Et en utilisant le fait que le déterminant d’une matrice deux par deux avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐, ceci donne la valeur moins six plus 24 moins neuf, soit neuf. Le volume du parallélépipède avec les côtés adjacents 𝐮, 𝐯 et 𝐰 est donc de neuf unités cubiques.

Terminons cette vidéo en notant certains des points clés que nous avons couverts. Nous savons que le produit mixte de trois vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂 est un scalaire. Le produit mixte est équivalent au déterminant de la matrice trois par trois dont les lignes sont les composantes des vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂. Les produits mixtes sont égaux si l’ordre cyclique est inchangé. Si les vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂 sont coplanaires, alors leur produit mixte est égal à zéro. Et enfin, le volume du parallélépipède généré par les vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂 est donné par la norme de leur produit mixte.