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Si thêta appartient à l’intervalle ouvert allant de 180 degrés à 360 degrés et que sinus thêta plus cosinus thêta égale moins un, que vaut thêta ?
Considérons tout d'abord que l'équation sinus thêta plus cosinus thêta égale moins un. Nous devons d'abord élever au carré les deux membres de l'équation. On obtient alors l'équation suivante : sinus thêta plus cosinus thêta au carré égale moins un au carré. Pour mettre au carré sinus thêta plus cosinus thêta, on doit écrire deux fois les parenthèses.
Moins un au carré égale un, car multiplier un nombre négatif par un autre négatif nous donne un positif. On peut développer ces parenthèses en utilisant la méthode standard de multiplication de deux binômes. Si on multiplie les premiers termes, sinus thêta et sinus thêta, on obtient sinus carré de thêta. Multiplier les termes extérieurs nous donne sinus thêta cosinus thêta. La multiplication des termes intérieurs nous donne également sinus thêta cosinus thêta. Et finalement, la multiplication des derniers termes nous donne cosinus carré de thêta.
Cela nous donne l'équation suivante : sinus carré thêta plus sinus thêta cosinus thêta plus sinus thêta cosinus thêta plus cosinus carré thêta égale un. Comme les deux termes du milieu sont les mêmes, on les regroupe. Ce qui nous donne deux sinus thêta cosinus thêta. On peut aussi simplifier les trois autres termes, sinus carré thêta, cosinus carré thêta et un.
Une de nos identités trigonométriques stipule que la somme du sinus carré thêta et du cosinus carré thêta est égale à un. Cela veut dire que l'équation pourrait être réécrite comme suit : deux sinus thêta cosinus thêta plus un égale un. Une autre identité, l'une des formules de duplication, stipule que deux sinus thêta cosinus thêta égale sinus deux thêta. Autrement dit, sinus deux thêta plus un égale un. On peut donc soustraire un des deux côtés de cette équation. Ce qui signifie que sinus deux thêta vaut zéro.
On doit résoudre cette équation pour toutes les valeurs de thêta comprises entre 180 degrés et 360 degrés. Sans inclure 180 ni 360. Si on considère le graphique du sinus deux thêta, il a une valeur maximale de un et une valeur minimale de moins un. Les valeurs de thêta qui donnent ces valeurs maximales et minimales sont représentées sur le graphique. La représentation de ce graphique montre que de nombreuses valeurs existent pour lesquelles le sinus deux thêta est nul. Ces valeurs se trouvent à zéro degré, 90 degrés, 180 degrés, 270 degrés et 360 degrés. Mais comme nous cherchons des valeurs entre 180 et 360 degrés, la seule solution dans ce cas est thêta égale 270 degrés. Si sinus thêta plus cosinus thêta est égal à moins un, la solution comprise entre 180 et 360 degrés est 270 degrés.
