Vidéo de la leçon: Résoudre des équations trigonométriques à l’aide des formules d’angle double Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations trigonométriques en utilisant les formules d’angle double. Nous devrons trouver des solutions dans un intervalle donné, en degrés ou en radians. Les équations que nous allons traiter pourront être simplifiées en utilisant les formules d’angle double ou les formules d’angle moitié. Commençons par rappeler comment résoudre des équations simples en utilisant un diagramme CEST ou les représentations graphiques des fonctions trigonométriques.

Comme déjà mentionné, des angles peuvent être mesurés en degrés ou en radians. On rappelle que 180 degrés est égal à 𝜋 radians. Cela signifie que 90 degrés égale 𝜋 sur deux radians et que 360 degrés égale deux 𝜋 radians. Nous pouvons trouver les solutions à une équation trigonométrique en traçant un graphique adapté ou en utilisant un diagramme CEST. Bien qu’il existe un nombre infini de solutions aux équations que nous allons étudier, nous nous concentrerons dans cette vidéo sur les solutions entre zéro et 360 degrés ou entre zéro et deux π radians. Les angles sont mesurés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positif comme illustré. Nous pouvons remplacer les valeurs en degrés par leurs valeurs correspondantes en radians.

Dans le premier quadrant, désigné par E, l’ensemble des valeurs de sinus 𝜃, cosinus 𝜃 et tangente 𝜃 sont positives. Dans le deuxième quadrant, désigné par S, la valeur de sin 𝜃 est positive, tandis que les valeurs de cos 𝜃 et tan 𝜃 sont négatives. Dans le troisième quadrant, désigné par T, tan 𝜃 est positive, alors que sin 𝜃 et cos 𝜃 sont négatifs. Ces propriétés sont vraies lorsque 𝜃 est compris entre 180 et 270 degrés. Enfin, lorsque 𝜃 est compris entre 270 et 360 degrés, dans le quatrième quadrant désigné par C, la valeur de cos 𝜃 est positive, tandis que les valeurs de sin 𝜃 et tan 𝜃 sont négatives. Nous pouvons utiliser ces informations pour résoudre de simples équations trigonométriques.

Déterminez l’ensemble de toutes les solutions à cos 𝜃 égale un sur deux, sachant que 𝜃 est compris entre zéro et 360 degrés inclus.

Les crochets signifient ici que 𝜃 doit être supérieur ou égal à zéro degré et inférieur ou égal à 360 degrés. Si nous avions à la place des parenthèses, alors 𝜃 serait strictement supérieur ou inférieur à la valeur. Pour résoudre l’équation cos 𝜃 égale un sur deux, on prend le cosinus réciproque des deux membres de l’équation. Résoudre cela nous donne une mesure de 𝜃 égale à 60 degrés. Nous pouvons maintenant tracer un diagramme CEST car il nous permet de voir dans quel quadrant se situent les solutions. Comme cos 𝜃 est positif, les solutions sont dans les premier et quatrième quadrants.

Nous avons déjà la solution située dans le premier quadrant. Elle est égale à 60 degrés. Nous pouvons ensuite calculer la solution située dans le quatrième quadrant en soustrayant 60 degrés à 360 degrés. Cela nous donne une réponse de 300 degrés. L’ensemble des solutions à cos 𝜃 égale un sur deux comprises entre zéro et 360 degrés sont 60 degrés et 300 degrés.

Nous allons maintenant étudier quelques problèmes plus complexes à l’aide des formules d’angle double.

Les formules d’angle double sont les suivantes. Tout d’abord, sin de deux 𝜃 est égal à deux sin 𝜃 cos 𝜃. Notez que les formules peuvent parfois être notée avec une triple ligne, ce qui indique qu’elles sont vraies pour toutes les valeurs de la variable. Cos de deux 𝜃 égale cos carré de 𝜃 moins sin carré de 𝜃. En utilisant le fait que sin carré de 𝜃 plus cos carré de 𝜃 égale un, cos de deux 𝜃 est aussi égal à deux cos carré de 𝜃 moins un et à un moins deux sin carré de 𝜃. Enfin, tan de deux 𝜃 est égale à deux tan 𝜃 sur un moins tan carré de 𝜃.

Nous n’allons pas démontrer ces formules dans cette vidéos. Nous allons cependant faire appel à elles pour résoudre nos équations. Dans la prochaine question, nous allons utiliser sin de deux 𝜃 égale deux sin 𝜃 cos 𝜃.

Déterminez l’ensemble des solutions à deux sin 𝜃 cos 𝜃 égale zéro, sachant que 𝜃 est supérieur ou égal à zéro et inférieur à 360 degrés.

Le crochet nous indique que 𝜃 est supérieur ou égal à zéro degré alors que la parenthèse indique que 𝜃 est strictement inférieur à 360 degrés. Nous pouvons résoudre cette équation en utilisant les formules d’angle double. Nous savons que sin de deux 𝜃 est égal à deux sin 𝜃 cos 𝜃. Cela signifie que nous devons résoudre sin de deux 𝜃 égale zéro. En prenant le sinus réciproque des deux membres de cette équation, on obtient deux 𝜃 égale sinus moins un de zéro.

Bien que résoudre cette équation nous donne une solution, il est utile de tracer les courbes représentatives de sinus 𝜃 et de sinus deux 𝜃 avant de continuer. Nous savons que sinus 𝜃 est une fonction périodique, et nous nous intéressons aux valeurs comprises entre zéro et 360 degrés. Il a une valeur maximale de un et une valeur minimale de moins un, comme illustré. La courbe représentative de sinus de deux 𝜃 est une dilatation. Elle est étirée horizontalement par un facteur d’échelle de un demi. Cela signifie qu’elle ressemble à ceci.

Elle a une valeur maximale de un lorsque 𝜃 égale 45 degrés et une valeur minimale de moins un lorsque 𝜃 égale 135 degrés. Nous nous intéressons aux points où la fonction est égale à zéro. Cinq points sur notre graphique vérifient cela: zéro, 90, 180, 270 et 360 degrés. Nous rappelons cependant que 𝜃 doit être strictement inférieur à 360 degrés. Le dernier point n’est donc pas une solution. Les quatre solutions à l’équation deux sin 𝜃 cos 𝜃 égale zéro, avec 𝜃 supérieur ou égal à zéro degré et inférieur à 360 degrés sont zéro, 90, 180 et 270 degrés.

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser une des formules d’angle double impliquant cos de deux 𝜃.

Déterminez l’ensemble solution pour 𝑥 sachant que cos de deux 𝑥 plus 13 racine carrée de trois cos 𝑥 égale moins 19, où 𝑥 appartient à zéro, deux 𝜋.

Les parenthèses nous indiquent que 𝑥 est strictement supérieur à zéro et strictement inférieur à deux 𝜋. Cela nous indique également que nous devons donner nos solutions en radians. Nous pouvons résoudre l’équation dans cet intervalle en utilisant les formules d’angle double.

Une de ces formule indique que cos de deux 𝑥 est égal à deux cos carré de 𝑥 moins un. On peut donc réécrire l’équation comme cela. On peut ensuite ajouter 19 aux deux membres de l’équation, ce qui nous donne deux cos carré de 𝑥 plus 13 racine carrée de trois cos 𝑥 plus 18 égale zéro. Si on définit 𝑦 égal cos 𝑥, on peut la réécrire par deux 𝑦 carré plus 13 racine carrée de trois 𝑦 plus 18 égale zéro.

Nous avons maintenant une équation du second degré sous la forme 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro que nous pouvons résoudre en utilisant la formule des racines du second degré. Les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont respectivement deux, 13 racine carrée de trois et 18. En substituant ces valeurs dans la formule, on obtient deux valeurs de 𝑦. 𝑦 égale moins racine carrée de trois sur deux ou moins six racine carrée de trois. Cela signifie que cos 𝑥 doit être égal à moins racine carrée de trois sur deux ou moins six racine carrée de trois.

Comme la valeur de cos 𝑥 doit être comprise entre moins un et un inclus, la deuxième option n’a pas de solution. On peut maintenant résoudre l’équation cos 𝑥 égale moins racine carrée de trois sur deux en utilisant un diagramme CEST. Comme le cosinus de l’angle est négatif, les solutions se situent dans les deuxième et troisième quadrants. Une des solutions sera entre π sur deux et 𝜋 et la seconde entre 𝜋 et trois 𝜋 sur deux.

Nous savons que cos de 30 degrés ou de 𝜋 sur six radians est égal à racine carrée de trois sur deux. Cela signifie que les deux solutions sont égales à 𝜋 moins 𝜋 sur six et à 𝜋 plus 𝜋 sur six. Cela nous donne deux solutions: cinq 𝜋 sur six et sept 𝜋 sur six. L’ensemble solution de l’équation cos de deux 𝑥 plus 13 racine carrée de trois cos 𝑥 égale moins 19 est cinq 𝜋 sur six, sept 𝜋 sur six.

Avant d’étudier la dernière question, rappelons les formules d’angle moitié.

Tout d’abord, sin de 𝜃 sur deux égale plus ou moins racine carrée de un moins cos 𝜃 sur deux. La deuxième formule est très similaire. Cos de 𝜃 sur deux égale plus ou moins racine carrée de un plus cos 𝜃 sur deux. Enfin, tan de 𝜃 sur deux égale sin 𝜃 sur un plus cos 𝜃. Alternativement, cela est égal à un moins cos 𝜃 sur sin 𝜃. Nous allons maintenant étudier une question où nous devons utiliser une de ces formules.

Résolvez tan de 𝑥 sur deux égale sin 𝑥, où 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et inférieur à deux π radians.

La question indique que nos solutions doivent être supérieures ou égales à zéro et strictement inférieures à deux 𝜋. Cela signifie que nous pourrons résoudre cette équation en utilisant un diagramme CEST ou en traçant les courbes représentatives des fonctions trigonométriques. En rappelant une des formules d’angle moitié, nous savons que tan de 𝑥 sur deux est égal à un moins cos 𝑥 sur sin 𝑥. Cela signifie que nous pouvons réécrire l’équation par un moins cos 𝑥 sur sin 𝑥 égale sin 𝑥

Multiplier les deux membres de l’équation par sin 𝑥 nous donne un moins cos 𝑥 égale sin carré de 𝑥. Comme sin carré de 𝑥 est égal à un moins cos carré de 𝑥, on obtient un moins cos 𝑥 égale un moins cos carré de 𝑥. On peut alors ajouter cos carré de 𝑥 et soustraire un aux deux membres de l’équation. Cela nous donne cos carré de 𝑥 moins cos 𝑥 égale zéro. Factoriser par cos 𝑥 nous donne cos 𝑥 fois cos 𝑥 moins un égale zéro. Cela signifie que soit cos 𝑥 égale zéro, soit cos 𝑥 moins un égale zéro. La deuxième équation peut être reformulée par cos égale un.

Nous avons maintenant deux équations qui peuvent être résolues en utilisant un diagramme CEST ou en traçant la courbe représentative de cos 𝑥. La courbe représentative du cosinus entre zéro et deux 𝜋 ressemble à cela. En se rappelant que nos valeurs doivent être supérieures ou égales à zéro et strictement inférieures à deux 𝜋, nous voyons que la courbe est égale à zéro lorsque 𝑥 égale 𝜋 sur deux et trois 𝜋 sur deux. Et que cos 𝑥 est égal à un lorsque 𝑥 est égal à zéro ou à deux 𝜋. Cependant, deux 𝜋 n’appartient pas à l’intervalle des valeurs de 𝑥. Cela signifie que l’équation a trois solutions. tan de 𝑥 sur deux égale sin 𝑥 lorsque 𝑥 égale zéro, 𝜋 sur deux et trois 𝜋 sur deux.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que nous pouvons résoudre des équations trigonométriques en utilisant les formules d’angle double. Nous pouvons également utiliser des adaptations de ces formules, connues sous le nom de formules d’angle moitié. Dans les deux cas, un intervalle de valeurs est généralement précisé, avec des valeurs souvent comprises entre zéro et 360 degrés ou zéro et deux π radians. Nous pouvons ensuite utiliser un diagramme CEST ou les courbes représentatives des fonctions trigonométriques pour nous aider à résoudre les équations.