Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des équations trigonométriques en utilisant les formules d’angle double et d’angle moitié.
Les équations trigonométriques ont plusieurs applications dans divers domaines, tels que la physique, l’ingénierie, l’architecture, la robotique, le solfège et la navigation pour n’en citer que quelques-unes. En physique, elles peuvent être utilisées pour le mouvement des projectiles, modéliser la mécanique des ondes électromagnétiques, analyser les courants alternatifs et continus et déterminer la trajectoire d’une masse autour d’un corps massif sous la gravitation.
Commençons par rappeler les fonctions trigonométriques dont nous allons étudier les formules d’angle double et d’angle moitié dans cette fiche explicative. On considère un triangle rectangle.
Les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en fonction du rapport des côtés du triangle,
Ces fonctions vérifient l’identité trigonométrique suivante :
On remarque que ces rapports trigonométriques sont définis pour des angles aigus et que les fonctions trigonométriques sont définies pour toutes les valeurs de sur le cercle trigonométrique en utilisant la trigonométrie des triangles rectangles.
On suppose qu’un point se déplace le long du cercle trigonométrique dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Pour une position particulière sur le cercle trigonométrique d’angle , la fonction sinus est définie par et la fonction cosinus par , comme indiqué sur le schéma ci-dessus. En d’autres termes, les fonctions trigonométriques sont définies en utilisant les coordonnées du point d’intersection du cercle trigonométrique et du côté final de par rapport à l’axe des abscisses positives.
L’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs d’entrée possibles et l’ensemble image est l’ensemble des valeurs de sortie possibles étant donné l’ensemble de définition. Pour les fonctions trigonométriques, ils sont les suivants.
| Ensemble de définition | Ensemble image | |
|---|---|---|
Comme la fonction tangente est définie par le rapport des fonctions sinus et cosinus, elle n’est pas définie lorsque son dénominateur est nul. En d’autres termes, la fonction tangente doit exclure les valeurs de où pour être définie. C’est pourquoi l’ensemble de définition de la tangente est , ce qui signifie simplement que l’on retire de l’ensemble des nombres réels les valeurs de telles que afin de les exclure des valeurs d’entrée.
Les fonctions trigonométriques sont périodiques, ce qui signifie que si on ajoute un multiple entier de en radians ou à l’angle , la valeur de la fonction reste la même :
On peut s’en rendre compte directement à partir de la définition des fonctions trigonométriques en fonction du cercle trigonométrique. En fait, la fonction tangente a une période de en radians ou car
Cette propriété est importante pour la recherche de solutions générales aux fonctions trigonométriques. Les ensembles de définition des fonctions trigonométriques doivent être limités à un sous-ensemble particulier pour que leurs fonctions réciproques soient définies.
Les fonctions trigonométriques réciproques désignées par , et sont les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques , et . Cela signifie qu’elles fonctionnent dans l’autre sens ou « en arrière » par rapport aux fonctions trigonométriques habituelles. Elles sont définies par
Elles peuvent également être notées , et . L’ensemble de définition et l’ensemble image des fonctions trigonométriques réciproques sont les suivants.
| Ensemble de définition | Ensemble image | |
|---|---|---|
Les ensembles images de ces fonctions réciproques sont en général définis en restreignant les ensembles de définition des fonctions trigonométriques à un intervalle particulier. Cela permet de garantir que les fonctions sont injectives, c’est-à-dire que chaque valeur d’entrée donne une unique valeur de sortie.
Par exemple, si on a une équation trigonométrique particulière, telle que on peut trouver les solutions dans l’intervalle en appliquant la fonction trigonométrique réciproque :
Cependant, si on souhaite déterminer toutes les solutions possibles, les solutions générales doivent être exprimées en fonction d’un entier , que l’on peut obtenir à partir du diagramme CEST et de la périodicité des fonctions trigonométriques.
Rappelons ce qu’est le diagramme CEST.
Définition : Diagramme CAST
- Dans le premier quadrant, l’ensemble des fonctions trigonométriques sont positives.
- Dans le deuxième quadrant, seule la fonction sinus est positive.
- Dans le troisième quadrant, seule la fonction tangente est positive.
- Dans le quatrième quadrant, seule la fonction cosinus est positive.
Rappelons comment nous pouvons trouver les solutions à des équations trigonométriques.
Propriété : Solutions aux équations trigonométriques
Le diagramme CEST aide à se souvenir des signes des fonctions trigonométriques dans chaque quadrant.
En particulier, le diagramme CEST indique que les solutions aux équations trigonométriques sont les suivantes.
- Si et , pour , ou en radians, pour .
- Si et , alors on peut exprimer l’angle en fonction du cosinus réciproque en degrés comme pour , ou en radians, pour .
- Si , alors on peut exprimer l’angle en fonction de la tangente réciproque en degrés comme pour , ou en radians, pour .
Les intervalles de sont déduits des ensembles images des fonctions trigonométriques réciproques.
On peut également le vérifier sur le cercle trigonométrique ci-dessous.
Les solutions générales aux équations trigonométriques peuvent être trouvées à partir des solutions obtenues par le diagramme CEST ou les fonctions trigonométriques réciproques en y ajoutant un multiple entier de ou de en radians. On peut le faire pour toutes les solutions que l’on détermine car les fonctions trigonométriques sont périodiques. Par conséquent, la solution générale , pour , est en degrés ou en radians.
Lorsque l’on résout des équations trigonométriques, un intervalle particulier pour l’angle est généralement spécifié pour les solutions, ce qui signifie que l’on ne doit parfois considérer que quelques valeurs de . L’ensemble image est l’ensemble des valeurs des solutions à l’équation trigonométrique dans l’intervalle requis.
Rappelons maintenant les formules d’addition du sinus, cosinus et de la tangente :
Nous allons utiliser ces formules d’addition pour calculer les formules d’angle double.
En substituant dans les formules d’addition, nous obtenons les formules d’angle double des fonctions trigonométriques.
Définition : Formules d’angle double trigonométriques
Les formules d’angle double trigonométriques sont
Étudions un exemple qui montre comment nous pouvons utiliser la formule d’angle double du sinus pour résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle spécifié.
Exemple 1: Résoudre une équation dans un intervalle spécifié en utilisant les formules d’angle double
Déterminez l’ensemble des solutions à sachant que .
Réponse
Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique sur un intervalle particulier en utilisant les formules d’angle double.
La formule d’angle double du sinus est
Par conséquent, est équivalent à
La solution générale à cette équation pour (en utilisant le diagramme CEST) est ou ce qui est équivalent à ou pour . La première expression donne et la deuxième expression , pour . Pour les autres entiers , on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.
Par conséquent, pour , les solutions sont
Les formules d’angle double peuvent également être utilisées pour résoudre des équations trigonométriques de la forme en mettant au carré les deux membres et en utilisant l’identité de Pythagore. Étudions maintenant un exemple où nous devons trouver les solutions à une équation trigonométrique sous cette forme.
Exemple 2: Résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles rémarquables
Sachant que et , déterminez la valeur de .
Réponse
Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle particulier en utilisant les formules d’angle double.
Afin de résoudre , on commence par mettre au carré les deux membres et distribuer :
En appliquant l’identité de Pythagore et la formule de l’angle double , on a
La solution générale à cette équation pour (en utilisant le diagramme de CEST) est ou ce qui est équivalent à ou pour . La deuxième expression donne pour . Pour les autres entiers , on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.
Par conséquent, sachant que , la seule solution est
Voyons comment nous pouvons utiliser les formules d’angle double pour résoudre d’autres équations trigonométriques dans un intervalle spécifié. Par exemple, on suppose que l’on souhaite trouver toutes les solutions dans l’intervalle à l’équation trigonométrique
En appliquant la formule d’angle double du cosinus et en utilisant l’identité de Pythagore, cela donne :
Si on définit , cela équivaut à résoudre l’équation du second degré
On peut résoudre ce problème en utilisant la formule des racines du second degré ou en factorisant pour obtenir
Les solutions sont donc et . Pour , on a et on peut donc ignorer la deuxième solution. On ne considère donc que les solutions avec , soit pour . La solution aiguë est
On peut trouver les solutions générales en utilisant le diagramme CEST et la périodicité de la fonction sinus pour , et
On peut maintenant substituer des valeurs entières spécifiques de afin de trouver toutes les solutions dans l’intervalle requis. En particulier, pour et , les première et deuxième expressions donnent respectivement les solutions et . Pour les autres entiers , on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle .
En résumé, les solutions à en degrés pour sont
Étudions maintenant quelques exemples supplémentaires afin de pratiquer et d’approfondir notre compréhension de la résolution d’équations trigonométriques en utilisant les formules d’angle double.
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser les formules d’angle double du sinus pour trouver des solutions en degrés.
Exemple 3: Résoudre une équation trigonométrique en utilisant des formules d’angle double
Déterminez l’ensemble des solutions dans l’intervalle à l’équation .
Réponse
Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle particulier en utilisant les formules d’angle double.
En distribuant les parenthèses sur le membre gauche de l’équation et en appliquant l’identité de Pythagore ,
La formule d’angle double du sinus est
En la substituant, on a et donc l’équation trigonométrique est équivalente à
Si on définit , on a
Les solutions sont et . Pour , on a qui a les solutions générales pour (en utilisant le diagramme CEST), et
Ces deux expressions sont équivalentes. Pour , on a qui a les solutions générales et
En résumé, les solutions générales pour sont
Pour , on obtient les solutions et à partir de la première et de la troisième expression respectivement ; pour , on obtient à partir de la deuxième expression. Pour les autres entiers , on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.
Par conséquent, pour , les solutions sont
Étudions maintenant un exemple où nous utilisons la formule d’angle double du cosinus pour trouver des solutions à une équation trigonométrique en degrés. Cette fois, nous devons également considérer une équation du second degré et l’ensemble image de la fonction cosinus.
Exemple 4: Utiliser les formules d’angle double pour résoudre une équation trigonométrique
Déterminez l’ensemble solution de sachant que où .
Réponse
Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle particulier en utilisant les formules d’angle double.
La formule d’angle double du cosinus est
En appliquant l’identité de Pythagore, on peut la réécrire comme
En le substituant au membre gauche de l’équation, on obtient
L’équation trigonométrique peut donc être réécrite comme
Si on définit , elle peut être écrite comme une équation du second degré :
On peut trouver les solutions à cette équation du second degré en utilisant la formule des racines du second degré pour obtenir
Cela donne et , mais comme et , on peut ignorer la première solution et résoudre
Les solutions générales pour (en utilisant le diagramme CEST) sont et
La première expression donne et la deuxième expression , pour . Pour les autres entiers , on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.
Par conséquent, pour , les solutions sont
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment utiliser la formule d’angle double du sinus pour résoudre une équation trigonométrique après quelques manipulations.
Exemple 5: Résoudre une équation trigonométrique à l’aide des formules d’angle double
Déterminez l’ensemble des valeurs de qui vérifient , où .
Réponse
Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle particulier en utilisant les formules d’angle double.
On rappelle que la formule d’angle double du sinus est
Pour résoudre l’équation trigonométrique donnée, on remarque que le dénominateur sur le membre gauche peut être reformulé en utilisant l’identité de Pythagore
On remarque que la valeur absolue est nécessaire pour prendre en compte que l'expression peut prendre des valeurs négatives sur l'intervalle . Alors, en utilisant les formules d'angle double, le membre gauche de l'équation trigonométrique donnée devient
En remplaçant cette expression dans l'équation trigonométrique donnée, on obtient
Considérons maintenant les deux valeurs possibles de cas par cas. Premièrement, pour , la solution générale, pour , est
Normalement, on vérifierait aussi les angles supplémentaires, mais étant donné que , on obtiendrait une expression équivalente. Donc, les seules deux solutions de dans l'intervalle sont et (trouvées en prenant et 1 respectivement). Maintenant, considéront . La solution générale pour cette équation, pour , est
Et pour les angles supplémentaires, on obtient
En regardant de plus près, on peut voir que ces expressions sont équivalentes car . Alors, les deux solutions de sur l'intervalle sont et (trouvées en prenant et 1 respectivement).
En considérant les solutions de et ensemble, on a
Certaines équations trigonométriques peuvent nécessiter l’utilisation des formules d’angle moitié des fonctions trigonométriques qui résultent directement des formules d’angle double.
Les formules d’angle moitié des fonctions trigonométriques sont les suivantes.
Définition : Formules d’angle moitié trigonométriques
Les formules d’angle moitié trigonométriques sont
Elles peuvent être déduites des formules d’angle double. Par exemple, si on considère la formule d’angle double du cosinus, on la réarrange pour isoler :
Si on définit maintenant , cela peut être écrit comme qui est la formule d’angle moitié du sinus. Les autres formules d’angle moitié peuvent être démontrées de la même manière.
Étudions maintenant un exemple où nous utilisons la formule d’angle moitié du sinus pour résoudre une équation trigonométrique en radians.
Exemple 6: Résoudre une équation trigonométrique impliquant des demi-angles
En utilisant la formule d’angle moitié ou autrement, résolvez l’équation , où .
Réponse
Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle particulier en utilisant la formule d’angle moitié du sinus.
Si on substitue la formule d’angle moitié, l’équation peut être réécrite comme suit
En mettant les deux membres au carré, on a
Si on définit , on doit résoudre
Les solutions sont et . Pour , on a qui a les solutions générales pour (en utilisant le diagramme CEST), et
On remarque que la deuxième expression est équivalente à la première ; la solution générale est un multiple entier de . Pour , on a qui a les solutions générales pour , et
En résumé, les solutions générales pour sont
Pour , on obtient les solutions , et à partir de la première, deuxième et troisième expression respectivement. Pour les autres entiers , on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.
Par conséquent, pour , les solutions sont
Nous allons terminer par un exemple où nous utilisons la formule d’angle moitié de la tangente pour résoudre une équation trigonométrique en radians.
Exemple 7: Résoudre une équation trigonométrique impliquant des demi-angles
Résolvez , où .
Réponse
Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle particulier en utilisant les formules d’angle moitié.
La formule d’angle moitié de la tangente est
On doit donc résoudre
En appliquant l’identité de Pythagore, on a
Si on définit ,
Les solutions à cette équation du second degré sont et . Pour , on a qui a les solutions générales pour (en utilisant le diagramme CEST), et
Pour , on a qui a les solutions générales et
On note que la deuxième expression est équivalente à la première, la solution générale est donc un multiple entier de . En résumé, les solutions générales pour , sont
Pour , on obtient les solutions , et à partir de la première, deuxième et troisième expression respectivement. Pour les autres entiers , on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.
Par conséquent, pour , les solutions sont
Terminons par résumer quelques points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- On peut résoudre des équations trigonométriques en utilisant les formules d’angle double ou d’angle moitié.
- Les formules d’angle double trigonométriques sont
- Les formules d’angle moitié trigonométriques sont Elles résultent directement des formules d’angle double.
- Après avoir trouvé la solution en degrés ou en radians, on peut trouver la solution générale des fonctions trigonométriques pour en utilisant le diagramme CEST et la périodicité des fonctions trigonométriques.
- Un intervalle particulier de l’angle est généralement spécifié, ce qui signifie que l’on ne considère que certaines valeurs de pour déterminer les solutions.
