Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Fiche explicative de la leçon : Résoudre des équations trigonométriques avec les formules de duplication Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des équations trigonométriques en utilisant les formules d’angle double et d’angle moitié.

Les équations trigonométriques ont plusieurs applications dans divers domaines, tels que la physique, l’ingénierie, l’architecture, la robotique, le solfège et la navigation pour n’en citer que quelques-unes. En physique, elles peuvent être utilisées pour le mouvement des projectiles, modéliser la mécanique des ondes électromagnétiques, analyser les courants alternatifs et continus et déterminer la trajectoire d’une masse autour d’un corps massif sous la gravitation.

Commençons par rappeler les fonctions trigonométriques dont nous allons étudier les formules d’angle double et d’angle moitié dans cette fiche explicative. On considère un triangle rectangle.

Les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en fonction du rapport des côtés du triangle, sinOHcosAHtanOA𝜃=,𝜃=,𝜃=.

Ces fonctions vérifient l’identité trigonométrique suivante:tansincos𝜃=𝜃𝜃.

On remarque que ces rapports trigonométriques sont définis pour des angles aigus 0<𝜃<90 et que les fonctions trigonométriques sont définies pour toutes les valeurs de 𝜃 sur le cercle trigonométrique en utilisant la trigonométrie des triangles rectangles.

On suppose qu’un point se déplace le long du cercle trigonométrique dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Pour une position particulière (𝑥;𝑦) sur le cercle trigonométrique d’angle 𝜃, la fonction sinus est définie par 𝑦=𝜃sin et la fonction cosinus par 𝑥=𝜃cos, comme indiqué sur le schéma ci-dessus. En d’autres termes, les fonctions trigonométriques sont définies en utilisant les coordonnées du point d’intersection du cercle trigonométrique et du côté final de 𝜃 par rapport à l’axe des abscisses positives.

L’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs d’entrée possibles et l’ensemble image est l’ensemble des valeurs de sortie possibles étant donné l’ensemble de définition. Pour les fonctions trigonométriques, ils sont les suivants.

Ensemble de définitionEnsemble image
sin𝜃[1;1]
cos𝜃[1;1]
tan𝜃𝜋2+𝑛𝜋,𝑛

Comme la fonction tangente est définie par le rapport des fonctions sinus et cosinus, elle n’est pas définie lorsque son dénominateur cos𝜃 est nul. En d’autres termes, la fonction tangente doit exclure les valeurs de 𝜃cos𝜃=0 pour être définie. C’est pourquoi l’ensemble de définition de la tangente est 𝜋2+𝑛𝜋,𝑛, ce qui signifie simplement que l’on retire de l’ensemble des nombres réels les valeurs de 𝜃 telles que cos𝜃=0 afin de les exclure des valeurs d’entrée.

Les fonctions trigonométriques sont périodiques, ce qui signifie que si on ajoute un multiple entier de 2𝜋 en radians ou 360 à l’angle 𝜃, la valeur de la fonction reste la même:sinsincoscostantan(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃.

On peut s’en rendre compte directement à partir de la définition des fonctions trigonométriques en fonction du cercle trigonométrique. En fait, la fonction tangente a une période de 𝜋 en radians ou 180 car tantan(180+𝜃)=𝜃.

Cette propriété est importante pour la recherche de solutions générales aux fonctions trigonométriques. Les ensembles de définition des fonctions trigonométriques doivent être limités à un sous-ensemble particulier pour que leurs fonctions réciproques soient définies.

Les fonctions trigonométriques réciproques désignées par sin, cos et tan sont les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques sin, cos et tan. Cela signifie qu’elles fonctionnent dans l’autre sens ou « en arrière » par rapport aux fonctions trigonométriques habituelles. Elles sont définies par 𝑦=𝑥𝑥=𝑦,𝑦=𝑥𝑥=𝑦,𝑦=𝑥𝑥=𝑦.sinsincoscostantan

Elles peuvent également être notées arcsin𝑥, arccos𝑥 et arctan𝑥. L’ensemble de définition et l’ensemble image des fonctions trigonométriques réciproques sont les suivants.

Ensemble de définitionEnsemble image
sin𝜃[1;1]𝜋2;𝜋2
cos𝜃[1;1][0;𝜋]
tan𝜃𝜋2;𝜋2

Les ensembles images de ces fonctions réciproques sont en général définis en restreignant les ensembles de définition des fonctions trigonométriques à un intervalle particulier. Cela permet de garantir que les fonctions sont injectives, c’est-à-dire que chaque valeur d’entrée donne une unique valeur de sortie.

Par exemple, si on a une équation trigonométrique particulière, telle que sin𝜃=𝑦, on peut trouver les solutions dans l’intervalle 𝜃𝜋2;𝜋2 en appliquant la fonction trigonométrique réciproque:𝜃=(𝑦).sin

Cependant, si on souhaite déterminer toutes les solutions possibles, les solutions générales doivent être exprimées en fonction d’un entier 𝑛, que l’on peut obtenir à partir du diagramme CEST et de la périodicité des fonctions trigonométriques.

Rappelons ce qu’est le diagramme CEST.

Définition : Diagramme CAST

  • Dans le premier quadrant, l’ensemble des fonctions trigonométriques sont positives.
  • Dans le deuxième quadrant, seule la fonction sinus est positive.
  • Dans le troisième quadrant, seule la fonction tangente est positive.
  • Dans le quatrième quadrant, seule la fonction cosinus est positive.

Rappelons comment nous pouvons trouver les solutions à des équations trigonométriques.

Propriété : Solutions aux équations trigonométriques

Le diagramme CEST aide à se souvenir des signes des fonctions trigonométriques dans chaque quadrant.

En particulier, le diagramme CEST indique que les solutions aux équations trigonométriques sont les suivantes.

  • Si sin𝜃=𝑥 et 1𝑥1, 𝜃=𝑥𝜃=180𝑥,sinsin pour 𝜃[90;270], ou en radians, 𝜃=𝑥𝜃=𝜋𝑥,sinsin pour 𝜃𝜋2;3𝜋2.
  • Si cos𝜃=𝑥 et 1𝑥1, alors on peut exprimer l’angle 𝜃 en fonction du cosinus réciproque en degrés comme 𝜃=𝑥𝜃=360𝑥,coscos pour 𝜃[0;360], ou en radians, 𝜃=𝑥𝜃=2𝜋𝑥,coscos pour 𝜃[0;2𝜋].
  • Si tan𝜃=𝑥, alors on peut exprimer l’angle 𝜃 en fonction de la tangente réciproque en degrés comme 𝜃=𝑥𝜃=180+𝑥,tantan pour 𝜃]90;90[]90;270[, ou en radians, 𝜃=𝑥𝜃=𝜋+𝑥,tantan pour 𝜃𝜋2;𝜋2𝜋2;3𝜋2.

Les intervalles de 𝜃 sont déduits des ensembles images des fonctions trigonométriques réciproques.

On peut également le vérifier sur le cercle trigonométrique ci-dessous.

Les solutions générales aux équations trigonométriques peuvent être trouvées à partir des solutions 𝜃 obtenues par le diagramme CEST ou les fonctions trigonométriques réciproques en y ajoutant un multiple entier de 360 ou de 2𝜋 en radians. On peut le faire pour toutes les solutions que l’on détermine car les fonctions trigonométriques sont périodiques. Par conséquent, la solution générale ̂𝜃, pour 𝑛, est ̂𝜃=𝜃+360𝑛 en degrés ou ̂𝜃=𝜃+2𝜋𝑛 en radians.

Lorsque l’on résout des équations trigonométriques, un intervalle particulier pour l’angle 𝜃 est généralement spécifié pour les solutions, ce qui signifie que l’on ne doit parfois considérer que quelques valeurs de 𝑛. L’ensemble image est l’ensemble des valeurs des solutions à l’équation trigonométrique dans l’intervalle requis.

Rappelons maintenant les formules d’addition du sinus, cosinus et de la tangente:sinsincoscossincoscoscossinsintantantantantan(𝜃±𝜃)=𝜃𝜃±𝜃𝜃,(𝜃±𝜃)=𝜃𝜃𝜃𝜃,(𝜃±𝜃)=𝜃±𝜃1𝜃𝜃.

Nous allons utiliser ces formules d’addition pour calculer les formules d’angle double.

En substituant 𝜃=𝜃=𝜃 dans les formules d’addition, nous obtenons les formules d’angle double des fonctions trigonométriques.

Définition : Formules d’angle double trigonométriques

Les formules d’angle double trigonométriques sont sinsincoscoscossintantantan2𝜃=2𝜃𝜃,2𝜃=𝜃𝜃,2𝜃=2𝜃1𝜃.

Étudions un exemple qui montre comment nous pouvons utiliser la formule d’angle double du sinus pour résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle spécifié.

Exemple 1: Résoudre une équation dans un intervalle spécifié en utilisant les formules d’angle double

Déterminez l’ensemble des solutions à 2𝜃𝜃=0sincos sachant que 𝜃[0;360[.

Réponse

Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique sur un intervalle particulier en utilisant les formules d’angle double.

La formule d’angle double du sinus est sinsincos2𝜃=2𝜃𝜃.

Par conséquent, 2𝜃𝜃=0sincos est équivalent à sin2𝜃=0.

La solution générale à cette équation pour 𝑛 (en utilisant le diagramme CEST) est 2𝜃=0+360𝑛 ou 2𝜃=(1800)+360𝑛,ce qui est équivalent à 𝜃=180𝑛 ou 𝜃=90+180𝑛, pour 𝑛. La première expression donne 𝜃=0,180 et la deuxième expression 𝜃=90,270, pour 𝑛=0;1. Pour les autres entiers 𝑛, on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.

Par conséquent, pour 𝜃[0;360[, les solutions sont {0,90,180,270}.

Les formules d’angle double peuvent également être utilisées pour résoudre des équations trigonométriques de la forme 𝑎𝜃+𝑏𝜃=𝑐,sincos en mettant au carré les deux membres et en utilisant l’identité de Pythagore. Étudions maintenant un exemple où nous devons trouver les solutions à une équation trigonométrique sous cette forme.

Exemple 2: Résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles rémarquables

Sachant que 𝜃]180;360[ et sincos𝜃+𝜃=1, déterminez la valeur de 𝜃.

Réponse

Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle particulier en utilisant les formules d’angle double.

Afin de résoudre sincos𝜃+𝜃=1, on commence par mettre au carré les deux membres et distribuer:(𝜃+𝜃)=(1)𝜃+𝜃+2𝜃𝜃=1.sincossincossincos

En appliquant l’identité de Pythagore sincos𝜃+𝜃=1 et la formule de l’angle double sinsincos2𝜃=2𝜃𝜃, on a 1+2𝜃=12𝜃=0.sinsin

La solution générale à cette équation pour 𝑛 (en utilisant le diagramme de CEST) est 2𝜃=(0)+360𝑛=360𝑛sin ou 2𝜃=180(0)+360𝑛=180+360𝑛,sin ce qui est équivalent à 𝜃=180𝑛 ou 𝜃=90+180𝑛, pour 𝑛. La deuxième expression donne 𝜃=270 pour 𝑛=1. Pour les autres entiers 𝑛, on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.

Par conséquent, sachant que 𝜃]180;360[, la seule solution est 𝜃=270.

Voyons comment nous pouvons utiliser les formules d’angle double pour résoudre d’autres équations trigonométriques dans un intervalle spécifié. Par exemple, on suppose que l’on souhaite trouver toutes les solutions dans l’intervalle 𝜃[0;720] à l’équation trigonométrique 9𝜃4=2𝜃.sincos

En appliquant la formule d’angle double du cosinus et en utilisant l’identité de Pythagore, cela donne:9𝜃4=2𝜃=𝜃𝜃=1𝜃𝜃=12𝜃2𝜃+9𝜃5=0.sincoscossinsinsinsinsinsin

Si on définit 𝑦=𝜃sin, cela équivaut à résoudre l’équation du second degré 2𝑦+9𝑦5=0.

On peut résoudre ce problème en utilisant la formule des racines du second degré ou en factorisant pour obtenir 2𝑦+9𝑦5=(2𝑦1)(𝑦+5)=0.

Les solutions sont donc 𝑦=12 et 𝑦=5. Pour 𝑦=𝜃sin, on a 1𝑦1 et on peut donc ignorer la deuxième solution. On ne considère donc que les solutions avec 𝑦=12, soit sin𝜃=12, pour 𝜃[0;720]. La solution aiguë est 𝜃=12=30.sin

On peut trouver les solutions générales en utilisant le diagramme CEST et la périodicité de la fonction sinus pour 𝑛, 𝜃=12+360𝑛=30+360𝑛sin et 𝜃=18012+360𝑛=(18030)+360𝑛=150+360𝑛.sin

On peut maintenant substituer des valeurs entières spécifiques de 𝑛 afin de trouver toutes les solutions dans l’intervalle requis. En particulier, pour 𝑛=0 et 𝑛=1, les première et deuxième expressions donnent respectivement les solutions 𝜃=30,390 et 𝜃=150,510. Pour les autres entiers 𝑛, on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle [0;720].

En résumé, les solutions à 9𝜃4=2𝜃sincos en degrés pour 𝜃[0;720] sont 𝜃=30,150,390,510.

Étudions maintenant quelques exemples supplémentaires afin de pratiquer et d’approfondir notre compréhension de la résolution d’équations trigonométriques en utilisant les formules d’angle double.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser les formules d’angle double du sinus pour trouver des solutions en degrés.

Exemple 3: Résoudre une équation trigonométrique en utilisant des formules d’angle double

Déterminez l’ensemble des solutions dans l’intervalle 0<𝑥<180 à l’équation (𝑥+𝑥)=22𝑥sincossin.

Réponse

Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle particulier en utilisant les formules d’angle double.

En distribuant les parenthèses sur le membre gauche de l’équation et en appliquant l’identité de Pythagore sincos𝑥+𝑥=1, (𝑥+𝑥)=𝑥+2𝑥𝑥+𝑥=1+2𝑥𝑥.sincossinsincoscossincos

La formule d’angle double du sinus est sinsincos2𝑥=2𝑥𝑥.

En la substituant, on a (𝑥+𝑥)=1+2𝑥𝑥=1+2𝑥,sincossincossin et donc l’équation trigonométrique (𝑥+𝑥)=22𝑥sincossin est équivalente à 1+2𝑥=22𝑥22𝑥2𝑥1=0.sinsinsinsin

Si on définit 𝑦=2𝑥sin, on a 2𝑦𝑦1=0.

Les solutions sont 𝑦=1 et 𝑦=12. Pour 𝑦=1, on a sin2𝑥=1, qui a les solutions générales pour 𝑛 (en utilisant le diagramme CEST), 2𝑥=(1)+360𝑛=90+360𝑛𝑥=45+180𝑛sin et 2𝑥=180(1)+360𝑛=(18090)+360𝑛=90+360𝑛𝑥=45+180𝑛.sin

Ces deux expressions sont équivalentes. Pour 𝑦=12, on a sin2𝑥=12, qui a les solutions générales 2𝑥=12+360𝑛=30+360𝑛𝑥=15+180𝑛sin et 2𝑥=18012+360𝑛=(180+30)+360𝑛=210+360𝑛𝑥=105+180𝑛.sin

En résumé, les solutions générales pour 𝑛 sont 𝑥=45+180𝑛,𝑥=15+180𝑛,𝑥=105+180𝑛.

Pour 𝑛=0, on obtient les solutions 𝑥=45 et 𝑥=105 à partir de la première et de la troisième expression respectivement;pour 𝑛=1, on obtient 𝑥=165 à partir de la deuxième expression. Pour les autres entiers 𝑛, on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.

Par conséquent, pour 0𝑥<180, les solutions sont {45,105,165}.

Étudions maintenant un exemple où nous utilisons la formule d’angle double du cosinus pour trouver des solutions à une équation trigonométrique en degrés. Cette fois, nous devons également considérer une équation du second degré et l’ensemble image de la fonction cosinus.

Exemple 4: Utiliser les formules d’angle double pour résoudre une équation trigonométrique

Déterminez l’ensemble solution de 𝑥 sachant que coscos2𝑥+133𝑥=19𝑥]0;360[.

Réponse

Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle particulier en utilisant les formules d’angle double.

La formule d’angle double du cosinus est coscossin2𝑥=𝑥𝑥.

En appliquant l’identité de Pythagore, on peut la réécrire comme coscoscoscos2𝑥=𝑥1𝑥=2𝑥1.

En le substituant au membre gauche de l’équation, on obtient coscoscoscos2𝑥+133𝑥=2𝑥1+133𝑥.

L’équation trigonométrique coscos2𝑥+133𝑥=19 peut donc être réécrite comme 2𝑥1+133𝑥=192𝑥+133𝑥+18=0.coscoscoscos

Si on définit 𝑦=𝑥cos, elle peut être écrite comme une équation du second degré:2𝑦+133𝑦+18=0.

On peut trouver les solutions à cette équation du second degré en utilisant la formule des racines du second degré pour obtenir 𝑦=133±1334×2×182×2=133±3634.

Cela donne 𝑦=63 et 𝑦=32, mais comme 𝑦=𝑥cos et 1𝑦1, on peut ignorer la première solution et résoudre cos𝑥=32.

Les solutions générales pour 𝑛 (en utilisant le diagramme CEST) sont 𝑥=32+360𝑛=150+360𝑛cos et 𝑥=36032+360𝑛=(360150)+360𝑛=210+360𝑛.cos

La première expression donne 𝑥=150 et la deuxième expression 𝑥=210, pour 𝑛=0. Pour les autres entiers 𝑛, on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.

Par conséquent, pour 𝑥]0;360[, les solutions sont {150,210}.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment utiliser la formule d’angle double du sinus pour résoudre une équation trigonométrique après quelques manipulations.

Exemple 5: Résoudre une équation trigonométrique à l’aide des formules d’angle double

Déterminez l’ensemble des valeurs de 𝑥 qui vérifient 1𝑥𝑥=2coscos, 0<𝑥<360.

Réponse

Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle particulier en utilisant les formules d’angle double.

On rappelle que la formule d’angle double du sinus est sinsincos2𝑥=2𝑥𝑥.

Pour résoudre l’équation trigonométrique donnée, on remarque que le dénominateur sur le membre gauche peut être reformulé en utilisant l’identité de Pythagore 𝑥𝑥=𝑥(1𝑥)=𝑥𝑥=|𝑥𝑥|.coscoscoscoscossincossin

On remarque que la valeur absolue est nécessaire pour prendre en compte que l'expression cossin𝑥𝑥 peut prendre des valeurs négatives sur l'intervalle 0<𝑥<360. Alors, en utilisant les formules d'angle double, le membre gauche de l'équation trigonométrique donnée devient 1𝑥𝑥=1|𝑥𝑥|=1||2𝑥||=2|2𝑥|.coscoscossinsinsin

En remplaçant cette expression dans l'équation trigonométrique donnée, on obtient 2|2𝑥|=22=2|2𝑥|1=|2𝑥|2𝑥=±1.sinsinsinsin

Considérons maintenant les deux valeurs possibles de sin2𝑥 cas par cas. Premièrement, pour sin2𝑥=1, la solution générale, pour 𝑛, est 2𝑥=(1)+360𝑛=90+360𝑛𝑥=45+180𝑛.sin

Normalement, on vérifierait aussi les angles supplémentaires, mais étant donné que sinsin(18090)=(90), on obtiendrait une expression équivalente. Donc, les seules deux solutions de sin2𝑥=1 dans l'intervalle 0<𝑥<360 sont 𝑥=45 et 𝑥=225 (trouvées en prenant 𝑛=0 et 1 respectivement). Maintenant, considéront sin2𝑥=1. La solution générale pour cette équation, pour 𝑛, est 2𝑥=(1)+360𝑛=90+360𝑛𝑥=45+180𝑛.sin

Et pour les angles supplémentaires, on obtient 2𝑥=180(1)+360𝑛=(180(90))+360𝑛=270+360𝑛𝑥=135+180𝑛.sin

En regardant de plus près, on peut voir que ces expressions sont équivalentes car 135=45+180. Alors, les deux solutions de sin2𝑥=1 sur l'intervalle 0<𝑥<360 sont 135 et 315 (trouvées en prenant 𝑛=0 et 1 respectivement).

En considérant les solutions de sin2𝑥=1 et sin2𝑥=1 ensemble, on a {45,135,225,315}.

Certaines équations trigonométriques peuvent nécessiter l’utilisation des formules d’angle moitié des fonctions trigonométriques qui résultent directement des formules d’angle double.

Les formules d’angle moitié des fonctions trigonométriques sont les suivantes.

Définition : Formules d’angle moitié trigonométriques

Les formules d’angle moitié trigonométriques sont sincoscoscostancossin𝜃2=±1𝜃2,𝜃2=±1+𝜃2,𝜃2=1𝜃𝜃.

Elles peuvent être déduites des formules d’angle double. Par exemple, si on considère la formule d’angle double du cosinus, coscossinsin(2𝑥)=𝑥𝑥=12𝑥, on la réarrange pour isoler sin𝑥:2𝑥=12𝑥𝑥=12𝑥2𝑥=±12𝑥2.sincossincossincos

Si on définit maintenant 𝑥=𝜃2, cela peut être écrit comme sincos𝜃2=±1𝜃2, qui est la formule d’angle moitié du sinus. Les autres formules d’angle moitié peuvent être démontrées de la même manière.

Étudions maintenant un exemple où nous utilisons la formule d’angle moitié du sinus pour résoudre une équation trigonométrique en radians.

Exemple 6: Résoudre une équation trigonométrique impliquant des demi-angles

En utilisant la formule d’angle moitié sincos𝑥2=1𝑥2 ou autrement, résolvez l’équation sincos𝑥2+𝑥=1, 0𝑥<2𝜋.

Réponse

Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle particulier en utilisant la formule d’angle moitié du sinus.

Si on substitue la formule d’angle moitié, l’équation peut être réécrite comme suit 1𝑥2+𝑥=11𝑥2=1𝑥.coscoscoscos

En mettant les deux membres au carré, on a 1𝑥2=(1𝑥)1𝑥=2(1𝑥)1𝑥=24𝑥+2𝑥2𝑥3𝑥+1=0.coscoscoscoscoscoscoscoscos

Si on définit 𝑦=𝑥cos, on doit résoudre 2𝑦3𝑦+1=0.

Les solutions sont 𝑦=1 et 𝑦=12. Pour 𝑦=1, on a cos𝑥=1, qui a les solutions générales pour 𝑛 (en utilisant le diagramme CEST), 𝑥=(1)+2𝜋𝑛=0+2𝜋𝑛=2𝜋𝑛cos et 𝑥=2𝜋(1)+2𝜋𝑛=(2𝜋0)+2𝜋𝑛=2𝜋+2𝜋𝑛.cos

On remarque que la deuxième expression est équivalente à la première;la solution générale est un multiple entier de 2𝜋. Pour 𝑦=12, on a cos𝑥=12, qui a les solutions générales pour 𝑛 , 𝑥=12+2𝜋𝑛=𝜋3+2𝜋𝑛cos et 𝑥=2𝜋12+2𝜋𝑛=2𝜋𝜋3+2𝜋𝑛=5𝜋3+2𝜋𝑛.cos

En résumé, les solutions générales pour 𝑛 sont 𝑥=2𝜋𝑛,𝑥=𝜋3+2𝜋𝑛,𝑥=5𝜋3+2𝜋𝑛.

Pour 𝑛=0, on obtient les solutions 𝑥=0, 𝑥=𝜋3 et 𝑥=5𝜋3 à partir de la première, deuxième et troisième expression respectivement. Pour les autres entiers 𝑛, on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.

Par conséquent, pour 0𝑥<2𝜋, les solutions sont 𝑥0,13𝜋,53𝜋.

Nous allons terminer par un exemple où nous utilisons la formule d’angle moitié de la tangente pour résoudre une équation trigonométrique en radians.

Exemple 7: Résoudre une équation trigonométrique impliquant des demi-angles

Résolvez tansin𝑥2=𝑥, 0𝑥<2𝜋.

Réponse

Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle particulier en utilisant les formules d’angle moitié.

La formule d’angle moitié de la tangente est tancossin𝑥2=1𝑥𝑥.

On doit donc résoudre 1𝑥𝑥=𝑥1𝑥=𝑥.cossinsincossin

En appliquant l’identité de Pythagore, on a 1𝑥=1𝑥𝑥𝑥=0.coscoscoscos

Si on définit 𝑦=𝑥cos, 𝑦𝑦=0𝑦(𝑦1)=0.

Les solutions à cette équation du second degré sont 𝑦=0 et 𝑦=1. Pour 𝑦=0, on a cos𝑥=0, qui a les solutions générales pour 𝑛 (en utilisant le diagramme CEST), 𝑥=(0)+2𝜋𝑛=𝜋2+2𝜋𝑛cos et 𝑥=2𝜋(0)+2𝜋𝑛=2𝜋𝜋2+2𝜋𝑛=3𝜋2+2𝜋𝑛.cos

Pour 𝑦=1, on a cos𝑥=1, qui a les solutions générales 𝑥=(1)+2𝜋𝑛=0+2𝜋𝑛=2𝜋𝑛cos et 𝑥=2𝜋(1)+2𝜋𝑛=(2𝜋0)+2𝜋𝑛=2𝜋+2𝜋𝑛.cos

On note que la deuxième expression est équivalente à la première, la solution générale est donc un multiple entier de 2𝜋. En résumé, les solutions générales pour 𝑛, sont 𝑥=𝜋2+2𝜋𝑛,𝑥=3𝜋2+2𝜋𝑛,𝑥=2𝜋𝑛.

Pour 𝑛=0, on obtient les solutions 𝑥=𝜋2, 𝑥=3𝜋2 et 𝑥=0 à partir de la première, deuxième et troisième expression respectivement. Pour les autres entiers 𝑛, on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.

Par conséquent, pour 0𝑥<2𝜋, les solutions sont 𝑥0,𝜋2,3𝜋2.

Terminons par résumer quelques points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • On peut résoudre des équations trigonométriques en utilisant les formules d’angle double ou d’angle moitié.
  • Les formules d’angle double trigonométriques sont sinsincoscoscossintantantan2𝜃=2𝜃𝜃,2𝜃=𝜃𝜃,2𝜃=2𝜃1𝜃.
  • Les formules d’angle moitié trigonométriques sont sincoscoscostancossin𝜃2=±1𝜃2,𝜃2=±1+𝜃2,𝜃2=1𝜃𝜃. Elles résultent directement des formules d’angle double.
  • Après avoir trouvé la solution en degrés ou en radians, on peut trouver la solution générale des fonctions trigonométriques pour 𝑛 en utilisant le diagramme CEST et la périodicité des fonctions trigonométriques.
  • Un intervalle particulier de l’angle 𝜃 est généralement spécifié, ce qui signifie que l’on ne considère que certaines valeurs de 𝑛 pour déterminer les solutions.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.