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Quelle est la valeur de logarithme de base trois de 81 fois racine carrée de trois ?
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser certaines de nos lois sur les logarithmes pour simplifier l’expression. Tout d’abord nous remarquons que, à l’intérieur du log, on multiplie 81 par la racine carrée de trois. Nous pouvons écrire cela en deux expressions distinctes, ce qui donne log de base trois de 81 plus log de base trois de racine carrée de trois. Et puisque nous travaillons en base trois, nous pouvons simplifier en écrivant 81 et la racine carrée de trois en base de trois et un exposant.
Nous savons que 81 est égal à neuf fois neuf et que neuf est égal à trois au carré. Et cela signifie que nous pouvons réécrire 81 comme trois puissance quatre. Nous avons à présent log de base trois de trois puissance quatre. Et de la même manière, nous pouvons réécrire la racine carrée de trois comme trois puissance un demi. Nous savons également que log de base 𝑏 de 𝑥 puissance 𝑛 est égal à 𝑛 fois log de base 𝑏 de 𝑥. Et cela signifie que nous pouvons réécrire la première partie comme quatre fois log de base trois de trois et la seconde partie comme un demi fois log de base trois de trois. Nous savons que log de base 𝑏 de 𝑏 est égal à un. Donc, log de base trois de trois est égal à un.
Et le premier terme devient quatre fois un. Encore une fois, nous avons log de base trois de trois, qui est égal à un, ce qui fait de notre second terme un demi fois un. Ce qui nous donne quatre plus un demi. Pour additionner les fractions, nous voulons un dénominateur commun. Nous avons donc huit sur deux plus un sur deux, ce qui est égal à neuf demis. Ce que j’ai montré ici est probablement la façon la plus courante de résoudre le problème. Mais je vais montrer une autre méthode. Au lieu de séparer ce logarithme en deux termes, nous aurions pu dire que 81 est égal à trois puissance quatre. Et la racine carrée de trois est égale à trois puissance un demi, ce qui signifie que 81 fois la racine carrée de trois est égal à trois puissance quatre fois trois puissance un demi.
De nos connaissances des exposants, nous savons que lorsqu’on multiplie des exposants avec la même base, on additionne simplement leurs puissances, ce qui donne trois puissance quatre plus un demi. Nous avons déjà vu que quatre plus un demi est égal à neuf demis. Nous aurions alors pu substituer trois puissance neuf demis dans notre expression et dire que log de base trois de trois puissance neuf demis est égal à neuf demis fois log de base trois de trois, ce qui est simplement neuf demis. Je pense qu’il est probablement plus courant d’utiliser la première méthode. Cependant, celle-ci est tout aussi valide.
