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Vidéo de la leçon : Calculer des logarithmes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer des logarithmes dans différentes bases en utilisant les règles spécifiques à la fonction logarithme.

18:09

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer des logarithmes dans différentes bases en utilisant les règles spécifiques à la fonction logarithme.

Un logarithme est une opération mathématique qui détermine le nombre de fois 𝑛, qu’on multiplie un nombre, la base 𝑏, par lui-même pour obtenir un autre nombre, 𝑚. Et les logarithmes sont utiles dans les endroits les plus insolites. Par exemple, nous savons que les notes de musique varient suivant une échelle logarithmique et qu’on peut calculer l’espace entre les cordes d’une guitare ou d’un ukulélé à l’aide de logarithmes. Nous allons commencer notre discussion sur comment calculer des logarithmes en notant que la fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle. Donc, par exemple, si on considère la fonction exponentielle 𝑦 égale 10 à la puissance 𝑥, si, par exemple, 𝑥 est égal à trois, alors 𝑦 est égal à 10 puissance trois. Et cela est égal à 1000. Donc, si 𝑦 égale 10 au cube est 1000, alors log en base 10 de 1000 est égal à trois.

Donc, en général, si le log en base 𝑏 de 𝑚 est égal à 𝑛, alors on dit que 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑚, où 𝑏 est la base du logarithme, 𝑚 est l’argument, et 𝑛 est l’exposant. Et on peut écrire cela sous trois formes essentiellement équivalentes. Si le logarithme en base 𝑏 de 𝑚 est égal à 𝑛, alors 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑚 et la racine 𝑛 ième de 𝑚 est égale à 𝑏. Et il est important de pouvoir quitter d’une de ces formes à une autre lorsqu’on résout des problèmes à l’aide de logarithmes.

Il est également important de savoir qu’il existe deux bases spéciales de logarithmes, et on les voit souvent sans la base explicitement écrite. Lorsqu’on voit log sans base, alors cela signifie log en base 10. Et lorsqu’on voit L-N, qui est ln ou le logarithme naturel, cela signifie log en base 𝑒, où 𝑒 est le nombre d’Euler. Nous allons nous focaliser sur nos deux premières expressions. Alors, examinons quelques exemples sur comment utiliser l’équivalence entre nos expressions pour calculer certains logarithmes.

Quelle est la valeur du logarithme en base deux de huit ?

Le log en base deux de huit est en fait le nombre de fois qu’on doit multiplier deux par lui-même pour obtenir huit. Donc, on nous demande : « Quelle puissance de deux est égale à huit ? » Pour trouver cela, nous allons utiliser le fait que la réciproque du logarithme est l’exponentielle. Cela signifie que si le log en base 𝑏 de 𝑚 est égal à 𝑛, alors 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑚. Dans notre cas, 𝑏 égale deux et, 𝑚 égale huit. Et nous voulons calculer la valeur de 𝑛.

Si on convertit cela en exponentielles, on a deux à la puissance 𝑛 est égal à huit. Et donc, nous devons résoudre cette équation pour déterminer 𝑛. Maintenant, nous savons que deux à la puissance un est égal à deux, deux au carré égale quatre et deux au cube égale huit. Cela signifie donc que notre 𝑛 est égal à trois. Et donc, la valeur du log en base deux de huit est égale à trois.

Maintenant, voyons un exemple un peu plus difficile dans lequel la base est un nombre rationnel.

Quelle est la valeur du log en base un demi de 128 ?

On nous demande de calculer la valeur d’un logarithme où la base est un nombre rationnel, c’est-à-dire le logarithme en base un demi de 128. Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser le fait que le logarithme est la réciproque des fonctions exponentielles, de sorte que si log en base 𝑏 de 𝑚 est égal à 𝑥, alors 𝑏 à la puissance 𝑥 est égal à 𝑚. Dans notre cas, la base 𝑏 est égale à un demi, 𝑚 est égal à 128, et nous voulons calculer la valeur de 𝑥. Maintenant, nous avons déjà noté que notre base 𝑏 est un nombre rationnel. Et nous savons que lorsqu’on élève un demi à une puissance positive, cela donne une autre fraction. Donc, par exemple, un demi au carré est égal à un quart, un demi au cube égale un huitième, et ainsi de suite.

Mais nous savons du rapport qui existe entre les logarithmes et les exponentielles que un sur deux à la puissance 𝑥 est égal à 128. Selon les lois des exposants, cela signifie que un sur deux à la puissance 𝑥 égale 128. Mais nous savons aussi des lois des exposants que un sur 𝑎 à la puissance 𝑥 est égal à 𝑎 à la puissance moins 𝑥. Et cela signifie que notre exposant sera un nombre négatif. Maintenant, afin de résoudre notre nouvelle équation, c’est-à-dire, deux puissance moins 𝑥 égale 128, regardons les valeurs des puissances de deux.

Nous savons que deux puissance un égale deux, deux au carré égale quatre, et ainsi de suite jusqu’à deux puissance six égale 64. Et deux puissance sept égale 128. Et c’est ce deux puissance sept qui nous intéresse. Parce que si deux puissance moins 𝑥 égale 128 et deux puissance sept est 128, alors moins 𝑥 doit être égal à sept. Et si moins 𝑥 est égal à sept, alors 𝑥 doit être égal à moins sept. Ainsi, la valeur de logarithme en base un demi de 128 est égale à moins sept.

Maintenant, les logarithmes ont des propriétés vraiment utiles qu’on peut utiliser pour les évaluer. Donc, avant de passer à d’autres exemples, énonçons les lois des logarithmes. Les lois des logarithmes s’appliquent à toute base 𝑏 supérieure à zéro, tout nombre 𝑚 supérieur à zéro, tout 𝑛 supérieur à zéro et tout nombre réel 𝑥.

Notre première loi est que pour toute base 𝑏, le log de un est égal à zéro. Notre deuxième loi stipule que pour toute base 𝑏, log en base 𝑏 de 𝑏 est égal à un. Notre troisième loi, qui s’appelle la loi des puissances des logarithmes, stipule que le log en base 𝑏 de 𝑚 puissance 𝑥 est égal à 𝑥 multiplié par log en base 𝑏 de 𝑚. Ce qui se passe ici, c’est que si l’argument du log a un exposant, on met l’exposant devant le log et on multiplie.

Notre quatrième loi stipule que log en base 𝑏 de 𝑚 fois 𝑛 est égal à log en base 𝑏 de 𝑚 plus log en base 𝑏 de 𝑛. Et ça c’est la loi de la multiplication des logarithmes. Et notre cinquième et dernière loi stipule que log en base 𝑏 de 𝑚 sur 𝑛 est égal à log en base 𝑏 de 𝑚 moins log en base 𝑏 de 𝑛. Et ça c’est la loi de la division des logarithmes.

Nous pouvons voir qu’il y a un lien entre ces lois et les lois des exposants. Nous savons, par exemple, que tout nombre positif 𝑏 à la puissance zéro est égal à un, et tout nombre positif à la puissance un est égal à lui-même. Il n’y a pas de loi des exposants équivalente à la loi des puissances des logarithmes. Cependant, nous pouvons voir comment dériver cela en utilisant les exposants. Nous savons de la définition d’un logarithme que log en base 𝑏 de 𝑚 est égal à 𝑛 est équivalent à 𝑏 puissance 𝑛 égale à 𝑚.

Et maintenant, si on introduit 𝑛 dans l’exposant de log en 𝑏 de 𝑚, on obtient 𝑏 à la puissance du logarithme en base 𝑏 de 𝑚 est égal à 𝑚. Et maintenant, nous avons élevé les deux côtés à la puissance 𝑛. Et selon les lois des exposants, 𝑎 à la puissance 𝑏 à la puissance 𝑐 est égal à 𝑎 puissance 𝑏 fois 𝑐. Nous avons 𝑏 à la puissance 𝑛 fois log en base 𝑏 de 𝑚 est égal à 𝑚 à la puissance 𝑛.

Mais maintenant, si nous examinons notre expression, que nous avons dérivée de la définition de notre logarithme, 𝑏 à la puissance logarithme en base 𝑏 de 𝑚 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑚 à la puissance 𝑛. Donc, on a 𝑏 à la puissance logarithme en base 𝑏 de 𝑚 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑚 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑏 puissance 𝑛 log en base 𝑏 de 𝑚. Et à partir des lois des exposants pour 𝑎 différent de moins un, zéro ou un, si 𝑎 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑐, alors 𝑏 doit être égal à 𝑐. Dans notre cas, cela signifie que log en base 𝑏 de 𝑚 à la puissance 𝑛 doit être égal à 𝑛 fois log en base 𝑏 de 𝑚. Et voici la loi des puissances des logarithmes.

Si nous examinons maintenant la loi de la multiplication, l’équivalent de la loi de la multiplication pour les exponentielles est 𝑏 puissance 𝑛 fois 𝑏 puissance 𝑚 est égal à 𝑏 puissance 𝑚 plus 𝑛. Et de même, pour la loi de la division, l’équivalent pour les exponentielles est 𝑏 puissance 𝑛 divisé par 𝑏 puissance 𝑚 est égal à 𝑏 puissance 𝑛 moins 𝑚. Alors maintenant que nous avons nos lois des logarithmes, utilisons-les dans quelques exemples.

Quelle est la valeur du logarithme en base deux de un sur 128 ?

Pour calculer la valeur du logarithme en base deux de un sur 128, notons d’abord que un sur 128 est égal à 128 puissance moins un. Donc, cela signifie que le logarithme en base deux de un sur 128 est le logarithme en base deux de 128 à la puissance moins un. Et maintenant, nous pouvons appliquer la loi des puissances des logarithmes. Elle stipule que le log en base 𝑏 de 𝑚 à la puissance 𝑥 est égal à 𝑥 fois log en base 𝑏 de 𝑚. Et cela signifie que si notre argument a un exposant 𝑥, nous pouvons réduire ce nombre et multiplier notre logarithme par lui.

Dans notre cas, notre exposant est moins un, et donc nous avons moins un log en base deux de 128. Maintenant, rappelons notre définition d’un logarithme, si le logarithme en base 𝑏 de 𝑚 est égal à 𝑛, alors 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑚. Et cela signifie que 𝑛 est le nombre de fois qu’on doit multiplier la base 𝑏 par elle-même pour obtenir 𝑚. Alors maintenant, nous recherchons le négatif du nombre de fois qu’on doit multiplier la base deux par elle-même pour obtenir 128. Donc, nous devons trouver une valeur de 𝑛 de sorte que deux à la puissance 𝑛 égale 128.

Et si nous considérons les puissances de deux, nous pouvons voir que deux à la puissance sept est égal à 128. Donc notre 𝑛 est égal à sept. Cela signifie que log en base deux de 128 est égal à sept. Par conséquent, moins log en base deux de 128 est égal à moins sept. Et nous avons notre solution à log en base deux de un sur 128 qui est moins sept.

Il convient de noter, que nous aurions pu le faire d’une manière légèrement différente, en utilisant le fait que deux puissance sept égale 128. Lorsqu’on écrit log en base deux de un sur 128 égale à moins log en base deux de 128, on peut l’écrire comme moins log en base deux de deux à la puissance sept. Et si on utilise encore la loi des puissances des logarithmes, on obtient moins sept log en base deux de deux. Nous savons de nos lois des logarithmes que log en base 𝑏 de 𝑏 est égal à un. Et nous avons ici log en base deux de deux, donc c’est égal à un. Donc, encore une fois, nous obtenons notre résultat de moins sept.

Maintenant, voyons un exemple dans lequel on utilise une combinaison des lois des puissances et de la multiplication pour calculer les logarithmes.

Calculez deux log de quatre plus sept log de 13, et donnez votre réponse au millième près.

On nous demande de calculer deux log de quatre plus sept log de 13. Nous pouvons commencer par utiliser la loi des puissances des logarithmes. Elle stipule que 𝑥 fois le logarithme en base 𝑏 de 𝑚 est égal au logarithme en base 𝑏 de 𝑚 à la puissance 𝑥. Dans notre cas, nous pouvons l’utiliser deux fois. Dans notre première expression, deux log de quatre, 𝑥 est deux et 𝑚 est quatre. Donc, si on élève 𝑚 à la puissance 𝑥, on peut réécrire ceci comme log de quatre au carré. Et puis pour notre seconde expression sept log de 13, où 𝑥 est sept et 𝑚 est 13, nous avons log de 13 à la puissance sept.

Il convient de rappeler ici que si on écrit le logarithme sans base, qui est le cas dans notre exemple, cela signifie que la base est 10. Et donc, on a deux log de quatre plus sept log de 13 est égal à log de quatre au carré plus log de 13 puissance sept, où tous nos logarithmes sont en base 10. Maintenant, pour simplifier notre expression sur le côté droit, nous allons utiliser la loi de la multiplication des logarithmes. Elle stipule que le log en base 𝑏 de 𝑚 fois 𝑛 est égal à log en base 𝑏 de 𝑚 plus log en base 𝑏 de 𝑛.

Et avec 𝑚 égal à quatre au carré et 𝑛 égal à 13 puissance sept, on a deux log de quatre plus sept log de 13 est égal à log de quatre au carré fois 13 à la puissance sept. Et maintenant, nous devons simplement utiliser le bouton log de notre calculatrice pour calculer cela. Cela nous donne 9,00172 et ainsi de suite, qui au millième près est 9,002. Et donc au millième près, on a deux log de quatre plus sept log de 13 est égal à 9,002.

Dans notre dernier exemple, nous allons utiliser une combinaison des lois des logarithmes pour évaluer une expression logarithmique.

Déterminez la valeur du logarithme en base deux de log de 𝑥 à la puissance 32 moins log en base deux de log de 𝑥 à la puissance quatre.

On nous demande de déterminer la valeur de ce qui ressemble à une expression logarithmique compliquée. On a un logarithme en base deux d’un autre logarithme en base 10. Rappelant qu’un logarithme écrit sans la base est log en base 10, qui est le cas pour logarithme de 𝑥 à la puissance 32. Et notre seconde expression est similaire. Cependant, notez que ce qu’on a est un logarithme en base deux moins un autre logarithme en base deux. Et cela signifie qu’on peut utiliser la loi de la division des logarithmes. Elle stipule que log en base 𝑏 de 𝑚 moins log en base 𝑏 de 𝑛 est égal à log en base 𝑏 de 𝑚 divisé par 𝑛.

Donc, dans notre cas où notre base 𝑏 est égale à deux, nous avons log en base deux de log de 𝑥 à la puissance 32 divisé par log de 𝑥 à la puissance quatre. Et pour chacune des expressions de notre quotient, nous pouvons utiliser la loi des puissances des logarithmes. Elle stipule que le logarithme en base 𝑏 de 𝑚 à la puissance 𝑥 est égal à 𝑥 fois le logarithme en base 𝑏 de 𝑚. Autrement dit, si notre argument a un exposant, on multiplie simplement par l’exposant. Dans notre cas, nos exposants sont 32 et quatre. Et si on les utilise comme argument, on a 32 log de 𝑥 divisé par quatre log de 𝑥. log de 𝑥 divisé par log de 𝑥 est égal à un. Donc, nous avons simplement log en base deux de 32 sur quatre, ce qui est égal à log en base deux de huit.

Et maintenant, nous pouvons utiliser la définition de notre logarithme pour calculer la valeur de cela. Notamment, si le log en base 𝑏 de 𝑚 est égal à 𝑛, alors 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑚. De sorte que 𝑛 est le nombre de fois qu’on multiplie 𝑏, la base, par elle-même pour obtenir 𝑚. Dans notre cas, la base 𝑏 est deux, et 𝑚, l’argument, est huit. Donc, nous devons déterminer combien de fois on multiplie deux par lui-même pour obtenir huit ou quelle puissance 𝑛 de deux est égale à huit. Maintenant, nous savons que deux fois deux fois deux, qui est deux au cube, est égal à huit. Donc notre 𝑛 est égal à trois. Et nous avons log en base deux de log de 𝑥 à la puissance 32 moins log en base deux de log de 𝑥 à la puissance quatre est égal à trois.

Notez que nous aurions également pu utiliser la loi des puissances dans les dernières étapes pour obtenir notre réponse. Puisque log en base deux de huit est égal à log en base deux de deux à la puissance trois. Et selon la loi des puissances, cela est égal à trois fois log en base deux de deux. Et puisque log en base 𝑏 de 𝑏 est égal à un pour toute base 𝑏, log en base deux de deux est égal à un. Et obtient le même résultat, soit trois.

Terminons en rappelant quelques points clés pour calculer des logarithmes. Retenez qu’un logarithme en base 𝑏 de 𝑚 qui est égal à 𝑛 est le nombre de fois 𝑛 qu’on multiplie la base par elle-même pour obtenir l’argument 𝑚. La fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle. De sorte que si le logarithme en base 𝑏 de 𝑚 est égal à 𝑛, alors 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑚. Les deux cas où les bases ne sont pas indiquées, c’est-à-dire log, signifie log en base 10, et L-N ou ln est log en base 𝑒, le logarithme naturel. Et on peut utiliser les lois des logarithmes pour simplifier, calculer et évaluer des logarithmes et expressions logarithmiques.

Où pour la base 𝑏 supérieure à zéro, 𝑚 supérieur à zéro, 𝑛 supérieur à zéro et 𝑥 un nombre réel, nos lois sont log en base 𝑏 de un est égal à zéro, log en base 𝑏 de 𝑏 est égal à un , log en base 𝑏 de 𝑚 à la puissance 𝑥 est égal à 𝑥 fois log en base 𝑏 de 𝑚. Et il s’agit de la loi des puissances. log en base 𝑏 de 𝑚 fois 𝑛 est égal à log en base 𝑏 de 𝑚 plus log en base 𝑏 de 𝑛. Et ça c’est la loi de la multiplication. Et enfin, log en base 𝑏 de 𝑚 sur 𝑛 est égal à log en base 𝑏 de 𝑚 moins log en base 𝑏 de 𝑛. Et ça c’est la loi de la division.

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