Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer des logarithmes dans différentes bases en utilisant les règles spécifiques à la fonction logarithme.
Tout d’abord, rappelons que la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Pour cette raison, il est possible d’écrire la même équation sous forme exponentielle ou sous forme logarithmique en modifiant l’équation de la manière suivante.
Définition : Logarithmes
Une équation exponentielle de la forme , où , peut s’écrire sous forme logarithmique où est la base du logarithme, est l’argument et est l’exposant.
Rappelons que nous pouvons utiliser la définition ci-dessus pour faciliter le calcul des logarithmes. Par exemple, résoudre l’équation revient à répondre à la question « à quelle puissance doit être élevé 4 pour obtenir 16 ? ».
Ou, si nous écrivons que est égal à , alors, et
Comme nous le savons, 16 est égal à et donc
Par conséquent,
Nous allons traiter une question similaire dans le premier exemple.
Exemple 1: Calcul d’un logarithme
Quelle est la valeur de ?
Réponse
Pour déterminer la valeur de , nous pouvons utiliser la définition du logarithme et réécrire cette expression sous forme exponentielle. Nous savons que où .
En écrivant que est égal à , nous pouvons réécrire l’expression ainsi
Nous devons donc déterminer à quelle puissance il faut élever 2 pour obtenir 8. La réponse est 3, donc
Et,
La valeur est donc 3.
Il est possible de calculer les valeurs des logarithmes en les réécrivant sous forme exponentielle ; mais il est parfois plus facile ou même nécessaire d’utiliser les lois des logarithmes pour effectuer un calcul de logarithmes. Rappelons les lois des logarithmes.
Propriété : Lois des logarithmes
- Pour des logarithmes de même base , où , les règles suivantes s’appliquent :
- Loi de la multiplication : où et .
- Loi de la division : où et .
- Loi des puissances : où .
- Pour toute base , on a les règles suivantes :
- ,
- .
- Pour changer la base d’un logarithme, on peut utiliser les règles suivantes :
- Règle de changement de base : où , , et .
- Inverse d’un logarithme : où , et .
Appliquons les lois des logarithmes sur l’exemple précédent de .
Comme nous sommes en base 4, nous pouvons écrire 16 comme 4 puissance 2, ce qui nous donne
En utilisant la loi des puissances, qui dit que où et , on peut écrire sous la forme
Maintenant, comme nous savons que pour , alors ce qui donne
Donc , ce qui correspond à ce que nous avions trouvé précédemment, mais cette fois-ci en utilisant les lois des logarithmes.
Pour calculer des logarithmes de base ou d’arguments non entiers, il est intéressant d’utiliser la lois des puissances exprimées sous forme de fraction ou par des nombres négatifs, comme indiqué dans la propriété ci-dessous.
Propriété : Lois des puissances des exposants fractionnaires ou négatifs
- ,
- ,
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment utiliser ces lois spécifiques aux puissances fractionnaires ou négatives.
Exemple 2: Calcul de logarithmes
Quelle est la valeur de ?
Réponse
Pour déterminer la valeur de , il est utile d’écrire l’argument 5 comme une puissance de la base 0,2.
En utilisant la loi des puissances négatives, où , on peut écrire 5 comme une puissance de 0,2 de la manière suivante :
Cela nous donne alors
En utilisant la loi des puissances pour les logarithmes, qui dit que où et , on peut simplifier comme suit :
Comme pour , alors , ce qui nous donne
La valeur de est donc .
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la loi des puissances fractionnaires et les autres lois des logarithmes pour calculer un logarithme dont l’argument contient des puissances et des racines.
Exemple 3: Calcul de logarithmes en utilisant les règles spécifiques aux logarithmes
Détermine la valeur de sous la forme la plus simple possible.
Réponse
Pour déterminer la valeur de , il est intéressant d’exprimer la racine quatrième comme une puissance de , ce qui donne
Maintenant que nous avons exprimé la racine quatrième comme une puissance, nous pouvons appliquer la loi des puissances pour les logarithmes, qui dit que où et .
En appliquant ceci à , nous obtenons
Comme nous voulons calculer la valeur de cette expression, il est intéressant d’écrire 256 comme une puissance de 2. On peut vérifier que 256 vaut , donc en remplaçant 256 par et en appliquant à nouveau la loi des puissances pour les logarithmes, nous obtenons
Comme pour , donc et nous obtenons
La valeur de est donc 2.
Jusqu’à présent nous avons calculé la valeur d’un seul logarithme ; nous allons maintenant utiliser les lois des logarithmes pour calculer des expressions avec plusieurs termes logarithmiques, comme dans l’exemple suivant.
Exemple 4: Calcul d’expressions logarithmiques à l’aide des lois des logarithmes
Détermine la valeur de sans utiliser de calculatrice.
Réponse
Dans cette question, il faut utiliser les lois des logarithmes pour simplifier cette expression puis la calculer.
Comme tous les logarithmes sont dans la même base, nous pouvons utiliser les lois de la multiplication et de la division pour les simplifier.
En utilisant d’abord la loi de la division, qui dit que où , et , on peut simplifier , ce qui donne
Ensuite, en utilisant la loi de la multiplication, qui dit que où , et , on peut simplifier , ce qui donne
Maintenant que nous avons un seul logarithme, il est intéressant d’exprimer l’argument comme une puissance de la base, qui est 2 dans ce cas. En utilisant les lois sur les puissances, on peut écrire que est égal à , puis que est égal à . Cela nous donne
Enfin, en utilisant la loi des puissances pour les logarithmes, qui dit que où et , on peut simplifier , ce qui donne car .
Par conséquent, .
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment calculer une expression avec des logarithmes en utilisant les lois des logarithmes pour annuler certains termes.
Exemple 5: Calcul d’expressions logarithmiques en utilisant les lois des logarithmes
Quelle est la valeur de ?
Réponse
Pour simplifier cette expression, il faut d’abord utiliser les lois des logarithmes pour simplifier le quotient de deux logarithmes ; cependant, il n’existe pas de loi pour cela (nous ne disposons que de la soustraction de deux logarithmes, qui revient à diviser les arguments).
Mais ici nous allons voir comment simplifier les deux expressions de manière à pouvoir annuler les deux logarithmes. Cela est possible seulement si la base et l’argument sont identiques ; pour cela, nous devons exprimer l’argument du logarithme situé au numérateur comme une puissance d’un nombre qui doit être le même que l’argument du logarithme au dénominateur.
L’argument du logarithme situé au numérateur est 32 et l’argument du logarithme situé au dénominateur est 256. Ces nombres sont tous les deux des puissances de 2 et nous pouvons écrire 32 comme et 256 comme . Cela nous donne
Pour simplifier et , nous utilisons la loi des puissances pour les logarithmes, qui dit que où et .
En appliquant cette loi au numérateur et au dénominateur, nous obtenons
En simplifiant par au numérateur et au dénominateur, nous obtenons alors
Donc .
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la règle de changement de base pour calculer l’aire d’un triangle en fonction de logarithmes.
Exemple 6: Utiliser les lois des logarithmes pour déterminer l’aire d’un triangle rectangle
Le triangle est rectangle en . Calcule son aire sachant que et .
Réponse
Pour calculer l’aire du triangle , faisons d’abord un schéma et indiquons les longueurs données pour chaque côté. Pour cela, nous dessinons un triangle rectangle en appelant le sommet correspondant à l’angle droit, comme indiqué dans l’énoncé, et les deux autres sommets et .
Pour déterminer l’aire d’un triangle, il faut utiliser la formule , ce qui nous donne
L’expression de l’aire comporte des logarithmes de base 7 et de base 2 ; donc pour simplifier cette expression, il faut les exprimer dans la même base. Nous pouvons choisir n’importe quelle base, mais il est plus pratique de choisir une des bases déjà utilisées, donc 2 ou 7. Dans ce cas, nous choisissons la base 2.
Pour avoir deux logarithmes de base 2, il faut faire un changement de base pour le premier logarithme . Pour cela, nous utilisons la règle de changement de base, qui dit que où , , et .
Cela nous donne alors
En exprimant 512 comme une puissance de 2 et en utilisant la loi des puissances pour les logarithmes, nous obtenons
En remplaçant dans la formule de l’aire du triangle, nous obtenons
En écrivant 49 comme 7 à la puissance 2 et en utilisant à nouveau la loi des puissances, nous obtenons
L’aire du triangle vaut donc 9 cm2.
Dans le dernier exemple, nous allons utiliser la formule de l’inverse d’un logarithme pour calculer une expression.
Exemple 7: Simplification d’expressions rationnelles en utilisant les lois des logarithmes
Simplifie .
Réponse
Comme nous avons trois termes avec un 1 au numérateur et un logarithme au dénominateur, nous pouvons réécrire ces expressions en utilisant la formule de l’inverse d’un logarithme. Pour cela, nous utilisons la règle où , et .
Pour le premier terme, nous obtenons
Pour le deuxième terme, nous obtenons
Pour le troisième terme, nous obtenons
En remplaçant chacun des termes dans l’expression initiale nous obtenons
Comme tous les termes de l’expression sont maintenant dans la même base, nous pouvons appliquer la loi de la multiplication pour les logarithmes, qui dit que où , et .
En appliquant cette loi aux trois termes, nous obtenons
Comme 144 est une puissance de 12, nous pouvons écrire
Ensuite, en appliquant la loi des puissances pour les logarithmes, qui dit que où , et , nous obtenons
Et comme , nous obtenons
Par conséquent, .
Dans cette fiche explicative, nous avons appris à calculer des logarithmes en utilisant les lois des logarithmes et si nécessaire les lois des puissances. Récapitulons les points clés.
Points clés
- Il est possible d’écrire les expressions logarithmiques sous forme exponentielle pour faciliter leurs calculs : où .
- Lorsqu’il y a plusieurs logarithmes dans une expression, nous pouvons utiliser les lois des logarithmes pour calculer leurs valeurs.
- Lorsque les puissances sont des fractions ou des entiers négatifs, nous pouvons utiliser les lois des puissances pour faciliter le calcul des logarithmes.
- Si dans une expression, les logarithmes sont dans des bases différentes, il est souvent intéressant de faire un changement de base avant tout autre calcul.
