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Fiche explicative de la leçon : Calculer des logarithmes Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer des logarithmes dans différentes bases en utilisant les règles spécifiques à la fonction logarithme.

Tout d’abord, rappelons que la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Pour cette raison, il est possible d’écrire la même équation sous forme exponentielle ou sous forme logarithmique en modifiant l’équation de la manière suivante.

Définition : Logarithmes

Une équation exponentielle de la forme 𝑎=𝑛, 𝑎>0, peut s’écrire sous forme logarithmique log𝑛=𝑥,𝑎 est la base du logarithme, 𝑛 est l’argument et 𝑥 est l’exposant.

Rappelons que nous pouvons utiliser la définition ci-dessus pour faciliter le calcul des logarithmes. Par exemple, résoudre l’équation log16, revient à répondre à la question « à quelle puissance doit être élevé 4 pour obtenir 16? ».

Ou, si nous écrivons que log16 est égal à 𝑥, alors, log16=𝑥, et 4=16.

Comme nous le savons, 16 est égal à 4 et donc 4=4𝑥=2.

Par conséquent, log16=2.

Nous allons traiter une question similaire dans le premier exemple.

Exemple 1: Calcul d’un logarithme

Quelle est la valeur de log8?

Réponse

Pour déterminer la valeur de log8, nous pouvons utiliser la définition du logarithme et réécrire cette expression sous forme exponentielle. Nous savons que 𝑎=𝑥𝑥=𝑛,log𝑎>0.

En écrivant que log8 est égal à 𝑥, nous pouvons réécrire l’expression ainsi log8=𝑥2=8.

Nous devons donc déterminer à quelle puissance il faut élever 2 pour obtenir 8. La réponse est 3, donc 2=8,𝑥=3.

Et, log8=3.

La valeur est donc 3.

Il est possible de calculer les valeurs des logarithmes en les réécrivant sous forme exponentielle;mais il est parfois plus facile ou même nécessaire d’utiliser les lois des logarithmes pour effectuer un calcul de logarithmes. Rappelons les lois des logarithmes.

Propriété : Lois des logarithmes

  • Pour des logarithmes de même base 𝑎, 𝑎>0, les règles suivantes s’appliquent:
    • Loi de la multiplication:logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑥>0 et 𝑦>0.
    • Loi de la division:logloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦,𝑥>0 et 𝑦>0.
    • Loi des puissances:loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑥>0.
  • Pour toute base 𝑎>0 , on a les règles suivantes:
    • log𝑎=1,
    • log1=0.
  • Pour changer la base d’un logarithme, on peut utiliser les règles suivantes:
    • Règle de changement de base:logloglog𝑥=𝑥𝑦,𝑎>0, 𝑥>0, 𝑦>0 et 𝑦1.
    • Inverse d’un logarithme:loglog𝑥=1𝑦,𝑥>0, 𝑦>0 et 𝑦1.

Appliquons les lois des logarithmes sur l’exemple précédent de log16.

Comme nous sommes en base 4, nous pouvons écrire 16 comme 4 puissance 2, ce qui nous donne loglog16=4.

En utilisant la loi des puissances, qui dit que loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑎>0 et 𝑥>0, on peut écrire log4 sous la forme loglog4=24.

Maintenant, comme nous savons que log𝑎=1 pour 𝑎>0, alors log4=1 ce qui donne 24=2×1=2.log

Donc log16=2, ce qui correspond à ce que nous avions trouvé précédemment, mais cette fois-ci en utilisant les lois des logarithmes.

Pour calculer des logarithmes de base ou d’arguments non entiers, il est intéressant d’utiliser la lois des puissances exprimées sous forme de fraction ou par des nombres négatifs, comme indiqué dans la propriété ci-dessous.

Propriété : Lois des puissances des exposants fractionnaires ou négatifs

  • 𝑎=𝑎, 𝑛0
  • 𝑎=1𝑎, 𝑎0

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment utiliser ces lois spécifiques aux puissances fractionnaires ou négatives.

Exemple 2: Calcul de logarithmes

Quelle est la valeur de log5?

Réponse

Pour déterminer la valeur de log5, il est utile d’écrire l’argument 5 comme une puissance de la base 0,2.

En utilisant la loi des puissances négatives, 𝑎=1𝑎,𝑎0, on peut écrire 5 comme une puissance de 0,2 de la manière suivante:5=15=0,2.

Cela nous donne alors loglog5=0,2.

En utilisant la loi des puissances pour les logarithmes, qui dit que loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑎>0 et 𝑥>0, on peut simplifier log0,2 comme suit:loglog0,2=1×0,2.

Comme log𝑎=1 pour 𝑎>0, alors log0,2=1, ce qui nous donne =1×0,2=1.log

La valeur de log5 est donc 1.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la loi des puissances fractionnaires et les autres lois des logarithmes pour calculer un logarithme dont l’argument contient des puissances et des racines.

Exemple 3: Calcul de logarithmes en utilisant les règles spécifiques aux logarithmes

Détermine la valeur de log256 sous la forme la plus simple possible.

Réponse

Pour déterminer la valeur de log256, il est intéressant d’exprimer la racine quatrième comme une puissance de 14, ce qui donne loglog256=256.

Maintenant que nous avons exprimé la racine quatrième comme une puissance, nous pouvons appliquer la loi des puissances pour les logarithmes, qui dit que loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑎>0 et 𝑥>0.

En appliquant ceci à log256, nous obtenons loglog256=14256.

Comme nous voulons calculer la valeur de cette expression, il est intéressant d’écrire 256 comme une puissance de 2. On peut vérifier que 256 vaut 2, donc en remplaçant 256 par 2 et en appliquant à nouveau la loi des puissances pour les logarithmes, nous obtenons 14256=142=14×82=842=22.logloglogloglog

Comme log𝑎=1 pour 𝑎>0, donc log2=1 et nous obtenons 22=2×1=2.log

La valeur de log256 est donc 2.

Jusqu’à présent nous avons calculé la valeur d’un seul logarithme;nous allons maintenant utiliser les lois des logarithmes pour calculer des expressions avec plusieurs termes logarithmiques, comme dans l’exemple suivant.

Exemple 4: Calcul d’expressions logarithmiques à l’aide des lois des logarithmes

Détermine la valeur de logloglog71005623+2523 sans utiliser de calculatrice.

Réponse

Dans cette question, il faut utiliser les lois des logarithmes pour simplifier cette expression puis la calculer.

Comme tous les logarithmes sont dans la même base, nous pouvons utiliser les lois de la multiplication et de la division pour les simplifier.

En utilisant d’abord la loi de la division, qui dit que logloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦,𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0, on peut simplifier loglog71005623, ce qui donne logloglogloglogloglog71005623+2523=+2523=7100×2356+2523.

Ensuite, en utilisant la loi de la multiplication, qui dit que logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0, on peut simplifier loglog7100×2356+2523, ce qui donne logloglogloglogloglog7100×2356+2523=7100×2356×2523=7100×2356×2523=74×25×237×8×2523=14×18×11=132.

Maintenant que nous avons un seul logarithme, il est intéressant d’exprimer l’argument comme une puissance de la base, qui est 2 dans ce cas. En utilisant les lois sur les puissances, on peut écrire que 132 est égal à 32, puis que 32 est égal à 2. Cela nous donne loglog132=2.

Enfin, en utilisant la loi des puissances pour les logarithmes, qui dit que loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑎>0 et 𝑥>0, on peut simplifier log2, ce qui donne loglog2=52=5, car log2=1.

Par conséquent, logloglog71005623+2523=5.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment calculer une expression avec des logarithmes en utilisant les lois des logarithmes pour annuler certains termes.

Exemple 5: Calcul d’expressions logarithmiques en utilisant les lois des logarithmes

Quelle est la valeur de loglog32256?

Réponse

Pour simplifier cette expression, il faut d’abord utiliser les lois des logarithmes pour simplifier le quotient de deux logarithmes;cependant, il n’existe pas de loi pour cela (nous ne disposons que de la soustraction de deux logarithmes, qui revient à diviser les arguments).

Mais ici nous allons voir comment simplifier les deux expressions de manière à pouvoir annuler les deux logarithmes. Cela est possible seulement si la base et l’argument sont identiques;pour cela, nous devons exprimer l’argument du logarithme situé au numérateur comme une puissance d’un nombre qui doit être le même que l’argument du logarithme au dénominateur.

L’argument du logarithme situé au numérateur est 32 et l’argument du logarithme situé au dénominateur est 256. Ces nombres sont tous les deux des puissances de 2 et nous pouvons écrire 32 comme 2 et 256 comme 2. Cela nous donne loglogloglog32256=22.

Pour simplifier log2 et log2, nous utilisons la loi des puissances pour les logarithmes, qui dit que loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑎>0 et 𝑥>0.

En appliquant cette loi au numérateur et au dénominateur, nous obtenons loglogloglog22=5282.

En simplifiant par log2 au numérateur et au dénominateur, nous obtenons alors 5282=58.loglog

Donc loglog32256=58.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la règle de changement de base pour calculer l’aire d’un triangle en fonction de logarithmes.

Exemple 6: Utiliser les lois des logarithmes pour déterminer l’aire d’un triangle rectangle

Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐴. Calcule son aire sachant que 𝐴𝐵=49logcm et 𝐴𝐶=512logcm.

Réponse

Pour calculer l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶, faisons d’abord un schéma et indiquons les longueurs données pour chaque côté. Pour cela, nous dessinons un triangle rectangle en appelant 𝐴 le sommet correspondant à l’angle droit, comme indiqué dans l’énoncé, et les deux autres sommets 𝐵 et 𝐶.

Pour déterminer l’aire d’un triangle, il faut utiliser la formule airebasehauteur=12×, ce qui nous donne airedutriangleloglog𝐴𝐵𝐶=12×512×49.

L’expression de l’aire comporte des logarithmes de base 7 et de base 2;donc pour simplifier cette expression, il faut les exprimer dans la même base. Nous pouvons choisir n’importe quelle base, mais il est plus pratique de choisir une des bases déjà utilisées, donc 2 ou 7. Dans ce cas, nous choisissons la base 2.

Pour avoir deux logarithmes de base 2, il faut faire un changement de base pour le premier logarithme log512. Pour cela, nous utilisons la règle de changement de base, qui dit que logloglog𝑥=𝑥𝑦,𝑎>0, 𝑥>0, 𝑦>0 et 𝑦1.

Cela nous donne alors logloglog512=5127.

En exprimant 512 comme une puissance de 2 et en utilisant la loi des puissances pour les logarithmes, nous obtenons logloglogloglogloglog5127=27=927=97.

En remplaçant loglog512=97 dans la formule de l’aire du triangle, nous obtenons airedutriangleloglogloglogloglog𝐴𝐵𝐶=12×512×49=12×97×49=94927.

En écrivant 49 comme 7 à la puissance 2 et en utilisant à nouveau la loi des puissances, nous obtenons airedutriangleloglogloglogloglog𝐴𝐵𝐶=9727=9×2727=977=9.

L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 vaut donc 9 cm2.

Dans le dernier exemple, nous allons utiliser la formule de l’inverse d’un logarithme pour calculer une expression.

Exemple 7: Simplification d’expressions rationnelles en utilisant les lois des logarithmes

Simplifie 112+112+112logloglog.

Réponse

Comme nous avons trois termes avec un 1 au numérateur et un logarithme au dénominateur, nous pouvons réécrire ces expressions en utilisant la formule de l’inverse d’un logarithme. Pour cela, nous utilisons la règle loglog𝑥=1𝑦,𝑥>0, 𝑦>0 et 𝑦1.

Pour le premier terme, 112log nous obtenons 112=2.loglog

Pour le deuxième terme, 112log nous obtenons 112=8.loglog

Pour le troisième terme, 112log nous obtenons 112=9.loglog

En remplaçant chacun des termes dans l’expression initiale nous obtenons 112+112+112=2+8+9.loglogloglogloglog

Comme tous les termes de l’expression sont maintenant dans la même base, nous pouvons appliquer la loi de la multiplication pour les logarithmes, qui dit que logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦,𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0.

En appliquant cette loi aux trois termes, nous obtenons logloglogloglog2+8+9=2×8×9=144.

Comme 144 est une puissance de 12, nous pouvons écrire loglog144=12.

Ensuite, en appliquant la loi des puissances pour les logarithmes, qui dit que loglog𝑥=𝑛𝑥,𝑎>0, 𝑥>0 et 𝑦>0, nous obtenons loglog12=212.

Et comme log12=1, nous obtenons 212=2.log

Par conséquent, 112+112+112=2logloglog.

Dans cette fiche explicative, nous avons appris à calculer des logarithmes en utilisant les lois des logarithmes et si nécessaire les lois des puissances. Récapitulons les points clés.

Points clés

  • Il est possible d’écrire les expressions logarithmiques sous forme exponentielle pour faciliter leurs calculs:𝑎=𝑥𝑥=𝑛,log𝑎>0.
  • Lorsqu’il y a plusieurs logarithmes dans une expression, nous pouvons utiliser les lois des logarithmes pour calculer leurs valeurs.
  • Lorsque les puissances sont des fractions ou des entiers négatifs, nous pouvons utiliser les lois des puissances pour faciliter le calcul des logarithmes.
  • Si dans une expression, les logarithmes sont dans des bases différentes, il est souvent intéressant de faire un changement de base avant tout autre calcul.

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