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Résolvez deux fois trois puissance 𝑥 égale cinq fois quatre puissance 𝑥, en donnant votre réponse au millième près.
Afin de déterminer la valeur d’un exposant ou une puissance dans une équation exponentielle, nous devons utiliser les logarithmes. Il existe plusieurs façons d’aborder ce problème. L’une d’elles serait de mettre tous les termes ayant 𝑥 comme exposant d’un côté de l’équation. Nous pouvons faire cela en divisant les deux côtés de l’équation par deux fois quatre puissance 𝑥. Dans le membre de gauche, les deux s’éliminent nous laissant avec trois puissance 𝑥 sur quatre puissance 𝑥. Dans le membre de droite, il nous reste cinq sur deux ou cinq demis.
Nous rappelons qu’on peut écrire le quotient de deux constantes élevées au même exposant comme suit. On a 𝑎 puissance 𝑥 divisé par 𝑏 puissance 𝑥 est égal à 𝑎 sur 𝑏 le tout à la puissance 𝑥. Cela signifie que nous pouvons réécrire membre de gauche de notre équation comme trois quarts puissance 𝑥. Nous rappelons ensuite le lien entre les exponentielles et les logarithmes. Si 𝑎 puissance 𝑥 est égal à 𝑏, alors 𝑥 est égal à log de base 𝑎 de 𝑏. Puisque 𝑎 est égal à trois quarts et que 𝑏 est égal à cinq sur deux, alors 𝑥 est égal à log de base trois quarts de cinq sur deux.
Si on saisit cela sur une calculatrice on obtient moins 3,185081 et ainsi de suite. Puisque nous voulons notre réponse au millième près, le nombre décisif est le zéro. Comme c’est moins de cinq, le troisième chiffre après la décimale ne change pas. La valeur de 𝑥 au millième près est de moins 3,185.
Nous aurions pu utiliser une autre méthode à partir de l’étape trois quarts puissance 𝑥 égale cinq sur deux. Nous pourrions prendre un logarithme des deux côtés de l’équation, ce qui donne log de trois quarts puissance 𝑥 égale log de cinq sur deux.
Une de nos lois des logarithmes stipule que log de 𝑎 puissance 𝑥 est égal à 𝑥 log de 𝑎. On peut donc écrire le membre de gauche comme 𝑥 fois log de trois quarts. Nous pouvons ensuite diviser les deux côtés de l’équation par log de trois quarts. Alors 𝑥 est égal à log de cinq sur deux divisé par log de trois quarts. Encore une fois, cela nous donne un résultat de moins 3,185081, qui au millième près est moins 3,185. Nous pouvons vérifier ce résultat en substituant notre valeur dans les deux côtés de l’équation originale.
