Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les logarithmes pour résoudre des équations exponentielles.
On commence par considérer l’équation exponentielle . On peut voir que 2 est élevé à la puissance sur le membre gauche. En d’autres termes, une variable apparaît dans un exposant. C’est une caractéristique commune à toutes les équations exponentielles.
Définition : Équation exponentielle
Une équation exponentielle est une équation dans laquelle une variable est utilisée dans un exposant ou plus.
Avant d’étudier comment résoudre en utilisant des logarithmes, on va explorer deux méthodes alternatives que l’on peut utiliser pour la résoudre. On doit obtenir la même solution, en utilisant ces méthodes, que celle obtenue en utilisant les logarithmes.
La première méthode alternative consiste à définir les fonctions et . On peut alors représenter graphiquement et sur le même repère et déterminer le point d’intersection des courbes comme illustré.
L’abscisse du point d’intersection est 3, avec cette méthode on obtient donc la solution .
La deuxième méthode alternative consiste à utiliser le fait que 8 est une puissance de 2 pour reformuler l’équation. On sait que , on peut donc substituer à 8 pour obtenir . On peut ensuite égaliser les exposants pour obtenir à nouveau la solution .
Maintenant, étudions comment résoudre en utilisant la relation entre les fonctions exponentielles et logarithmiques.
Définition : Fonction logarithmique
Une fonction logarithmique est la réciproque d’une fonction exponentielle. Si , alors .
Comme , ou , est sous la forme , on sait que la valeur de vaut 8 et que la valeur de vaut 2. Par conséquent, on peut écrire l’équation . Pour simplifier le membre droit, on peut se demander : « quelle puissance de 2 est égale à 8 ? ». La réponse est 3, donc on obtient , la même réponse que l’on a obtenue avec les deux méthodes précédentes.
Certaines équations exponentielles sont cependant plus complexes, nous devons donc souvent utiliser une ou plusieurs des formules des logarithmes ci-dessous lors de leur résolution en utilisant des logarithmes.
Propriétés : Formule des logarithmes
Formule du produit :
Formule du quotient :
Formule de la puissance :
Remarquez que dans chacune des formules, les bases des logarithmes sont les mêmes dans les deux membres de l’équation.
- La formule du produit stipule que le du produit de deux nombres est la somme du du premier facteur et du du second facteur. On peut utiliser la formule du produit pour déterminer que .
- La formule du quotient stipule que le du quotient de deux nombres est la différence du du dividende et du du diviseur. On peut utiliser la formule du quotient pour déterminer que .
- La formule de la puissance stipule que le d’une base élevée à une puissance est le produit de la puissance et du de la base. On peut utiliser la formule de la puissance pour déterminer que .
Lorsque l’on résout des équations exponentielles en utilisant des logarithmes, on utilise souvent une base de 10 ou une base de pour le à cause des boutons sur les calculatrices. Cependant, la base n’a pas d’importance. On rappelle que lorsque la base est 10, par convention, il n’est pas nécessaire de le spécifier, et lorsque la base est , on prend le népérien. Il est important de noter que si on utilise une base de 10 ou une base de en prenant le d’un nombre, le résultat ne sera pas souvent un entier. Cela ne pose pas de problème cependant, car l’un des avantages d’utiliser des logarithmes pour résoudre une équation exponentielle est que l’équation n’a pas besoin d’avoir une solution entière. On peut utiliser une calculatrice scientifique pour approcher la solution. Étudions comment le faire dans les exemples suivants.
Exemple 1: Résoudre des équations exponentielles à l’aide des logarithmes
Résolvez pour trouver , en donnant votre réponse au millième près.
Réponse
On commence par rappeler que la fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle. Si , alors . Comme , ou , est sous la forme , on sait que la valeur de vaut 11 et que la valeur de vaut 3. Par conséquent, on peut écrire l’équation
Comme 11 n’est pas une puissance de 3, on doit utiliser une calculatrice scientifique pour simplifier le membre droit. On doit s’assurer d’utiliser les touches appropriées, en gardant à l’esprit que la base est 3 et non 10. Ce faisant, on obtient , Le problème demande la valeur de au millième près, on doit donc considérer la quatrième décimale, qui est 6. Comme ce chiffre est supérieur ou égal à 5, on doit arrondir le chiffre 2 des millièmes pour obtenir la réponse .
Une autre façon de résoudre l’équation est de prendre le des deux membres. Utiliser une base de 10 donne
Notez que la base n’est pas spécifiée dans l’équation. La formule de la puissance des logarithmes permet alors de réécrire comme de sorte que l’équation devient
On peut ensuite diviser les deux membres par pour obtenir puis utiliser le bouton sur une calculatrice scientifique pour obtenir .
Comme auparavant, on arrondit le chiffre 2 des millièmes pour obtenir la réponse .
Note
Lors de l’utilisation d’une calculatrice scientifique pour estimer la valeur de l’expression , il est important d’écrire et avec un nombre suffisant de décimales si on les calcule séparément. Si, par exemple, on les écrit seulement au millième près, on aurait
Dans ce cas, on aurait gardé le 2 aux millièmes au lieu de l’arrondir, et on aurait eu une réponse incorrecte de . Pour cette raison, il est préférable de saisir dans la calculatrice en une seule expression plutôt que de calculer chaque individuel.
Nous allons maintenant résoudre un problème impliquant une équation exponentielle avec un exposant binomial.
Exemple 2: Résoudre des équations exponentielles avec des exposants binomiaux en utilisant des logarithmes
Déterminez, au centième près, la valeur de pour laquelle .
Réponse
Afin de déterminer , on peut commencer par prendre le des deux membres. Si on utilise une base de 10, on n’a pas besoin de la spécifier et on obtient l’équation
En utilisant la formule de la puissance des logarithmes, on peut alors réécrire comme , donc l’équation devient
Diviser les deux membres de l’équation par donne et après avoir soustrait 8 aux deux membres, on obtient
On peut maintenant utiliser le bouton sur une calculatrice scientifique pour arrondir la valeur de . Pour cela, il est préférable de saisir dans la calculatrice comme une seule expression plutôt que de trouver et séparément avant de simplifier. De cette façon, il n’y a pas de risque d’erreur d’arrondi. Cela donne ce qui donne la réponse au centième près.
Étudions maintenant comment résoudre une équation avec deux exposants binomiaux au lieu d’un.
Exemple 3: Résoudre des équations exponentielles avec des exposants binomiaux en utilisant des logarithmes
Utilisez une calculatrice pour déterminer la valeur de pour laquelle . Donnez votre réponse au centième près.
Réponse
Pour commencer, on prend le des deux membres de l’équation. En utilisant une base de 10, on obtient
La formule de la puissance des logarithmes permet alors de réécrire comme et comme , ce qui donne l’équation
Après avoir distribué sur le membre gauche de l’équation et sur le membre droit, l’équation devient
Maintenant, pour isoler la variable, on regroupe les termes contenant sur un membre de l’équation et les termes ne contenant pas sur l’autre membre. Tout d’abord, on ajoute aux deux membres pour obtenir
Ensuite, on soustrait aux deux membres de sorte que l’équation devient
Il est maintenant possible de factoriser dans le membre droit de l’équation, ce qui donne et après avoir divisé les deux membres de l’équation par l’expression , on arrive à
Enfin, on peut utiliser le bouton log sur une calculatrice scientifique pour entrer l’expression de . La calculatrice donne ce qui donne la réponse au centième près.
Dans l’exemple qui suit, nous devons aussi regrouper les termes de la variable sur un membre de l’équation.
Exemple 4: Résoudre des équations exponentielles à l’aide des logarithmes
Résolvez pour trouver , en donnant votre réponse au millième près.
Réponse
La première étape dans la résolution de pour trouver est de regrouper les termes avec un exposant de sur un membre de l’équation et les termes sans exposant de sur l’autre membre. Si on divise les deux membres de l’équation par on obtient
On peut voir qu’il y a maintenant un 2 au numérateur et au dénominateur de la fraction du membre gauche de l’équation et un au numérateur et au dénominateur de la fraction du membre droit. Ces termes s’annulent, ce qui donne
On rappelle que si deux constantes et sont toutes deux élevées à la puissance , alors ; on peut donc remplacer par , pour obtenir
Comme la fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle, on sait que si , alors . L’équation , ou , est sous la forme , ce qui indique que la valeur de est et que la valeur de est . On peut donc écrire l’équation
On peut maintenant utiliser une calculatrice scientifique pour simplifier le membre droit, en gardant à l’esprit que la base est et non 10. Ce faisant, on obtient , ce qui donne la réponse au millième près.
On peut aussi prendre le des deux membres de l’équation pour la résoudre. Si on utilise une base de 10, on obtient
En utilisant la formule de la puissance des logarithmes, on peut réécrire comme , ce qui donne l’équation
On peut maintenant diviser les deux membres par pour obtenir puis utiliser le bouton sur une calculatrice scientifique pour entrer l’expression de , ce qui donne
Encore une fois, on doit conserver la 5e décimale pour arriver à la réponse de .
Étudions enfin un exemple dans lequel nous devons utiliser deux formules différentes des logarithmes.
Exemple 5: Résoudre des équations exponentielles avec des exposants binomiaux en utilisant des logarithmes
Utilisez une calculatrice pour déterminer la valeur de pour laquelle . Donnez votre réponse au centième près.
Réponse
On commence par prendre le log des deux membres de l’équation. Utiliser une base de 10 donne
La formule du produit des logarithmes permet de réécrire comme et comme , ce qui donne l’équation
On peut maintenant utiliser la formule de la puissance des logarithmes pour réécrire comme . On peut aussi l’utiliser pour réécrire comme , ce qui donne l’équation
Après avoir distribué sur le membre droit, on obtient
On doit ensuite regrouper les termes contenant sur un membre de l’équation et les termes ne contenant pas sur l’autre membre. Soustraire aux deux membres donne puis soustraire aux deux membres donne
Les deux derniers termes sur le membre droit peuvent maintenant être combinés pour obtenir l’équation
Il est maintenant possible de factoriser par sur le membre gauche de l’équation, ce qui donne et après avoir divisé les deux membres de l’équation par l’expression , on arrive à
Enfin, on peut utiliser le bouton sur une calculatrice scientifique pour saisir l’expression de . La calculatrice donne ce qui donne la réponse au centième près.
Terminons maintenant par récapituler quelques points clés.
Points clés
- Une équation exponentielle est une équation dans laquelle une variable est utilisée dans un exposant ou plus.
- La fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle. Si , alors .
- Lors de la résolution d’équations exponentielles en utilisant des logarithmes, on doit souvent utiliser une ou plusieurs des formules des logarithmes. Trois formules logarithmiques utilisées pour résoudre des équations exponentielles sont la formule du produit, la formule du quotient et la formule de la puissance.
- La formule du produit, ou , stipule que le du produit de deux nombres est la somme du du premier facteur et du du second facteur.
- La formule du quotient, ou , stipule que le du quotient de deux nombres est la différence du du dividende et du du diviseur.
- La formule de la puissance, ou , stipule que le d’une base élevée à une puissance est le produit de la puissance et du de la base.
- Il est préférable de saisir des expressions contenant plusieurs dans la calculatrice scientifique comme une seule expression plutôt que de calculer chaque individuel. Cela permet d’éviter les erreurs d’arrondi.
