Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Fiche explicative de la leçon : Résoudre des équations exponentielles à l’aide des logarithmes Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les logarithmes pour résoudre des équations exponentielles.

On commence par considérer l’équation exponentielle 2=8. On peut voir que 2 est élevé à la puissance 𝑥 sur le membre gauche. En d’autres termes, une variable apparaît dans un exposant. C’est une caractéristique commune à toutes les équations exponentielles.

Définition : Équation exponentielle

Une équation exponentielle est une équation dans laquelle une variable est utilisée dans un exposant ou plus.

Avant d’étudier comment résoudre 2=8 en utilisant des logarithmes, on va explorer deux méthodes alternatives que l’on peut utiliser pour la résoudre. On doit obtenir la même solution, en utilisant ces méthodes, que celle obtenue en utilisant les logarithmes.

La première méthode alternative consiste à définir les fonctions 𝑓(𝑥)=2 et 𝑔(𝑥)=8. On peut alors représenter graphiquement 𝑦=𝑓(𝑥) et 𝑦=𝑔(𝑥) sur le même repère et déterminer le point d’intersection des courbes comme illustré.

L’abscisse 𝑥 du point d’intersection est 3, avec cette méthode on obtient donc la solution 𝑥=3.

La deuxième méthode alternative consiste à utiliser le fait que 8 est une puissance de 2 pour reformuler l’équation. On sait que 2=2×2×2=8, on peut donc substituer 2 à 8 pour obtenir 2=2. On peut ensuite égaliser les exposants pour obtenir à nouveau la solution 𝑥=3.

Maintenant, étudions comment résoudre 2=8 en utilisant la relation entre les fonctions exponentielles et logarithmiques.

Définition : Fonction logarithmique

Une fonction logarithmique est la réciproque d’une fonction exponentielle. Si 𝑦=𝑎, alors 𝑥=𝑦log.

Comme 2=8, ou 8=2, est sous la forme 𝑦=𝑎, on sait que la valeur de 𝑦 vaut 8 et que la valeur de 𝑎 vaut 2. Par conséquent, on peut écrire l’équation 𝑥=8log. Pour simplifier le membre droit, on peut se demander:« quelle puissance de 2 est égale à 8? ». La réponse est 3, donc on obtient 𝑥=3, la même réponse que l’on a obtenue avec les deux méthodes précédentes.

Certaines équations exponentielles sont cependant plus complexes, nous devons donc souvent utiliser une ou plusieurs des formules des logarithmes ci-dessous lors de leur résolution en utilisant des logarithmes.

Propriétés : Formule des logarithmes

Formule du produit:logloglog𝑚𝑛=𝑚+𝑛

Formule du quotient:logloglog𝑚𝑛=𝑚𝑛

Formule de la puissance:loglog𝑚=𝑘𝑚

Remarquez que dans chacune des formules, les bases des logarithmes sont les mêmes dans les deux membres de l’équation.

  • La formule du produit stipule que le log du produit de deux nombres est la somme du log du premier facteur et du log du second facteur. On peut utiliser la formule du produit pour déterminer que logloglog(927)=9+27=2+3=5.
  • La formule du quotient stipule que le log du quotient de deux nombres est la différence du log du dividende et du log du diviseur. On peut utiliser la formule du quotient pour déterminer que logloglog6416=6416=64=2.
  • La formule de la puissance stipule que le log d’une base élevée à une puissance est le produit de la puissance et du log de la base. On peut utiliser la formule de la puissance pour déterminer que loglog4=84=8(1)=8.

Lorsque l’on résout des équations exponentielles en utilisant des logarithmes, on utilise souvent une base de 10 ou une base de 𝑒 pour le log à cause des boutons sur les calculatrices. Cependant, la base n’a pas d’importance. On rappelle que lorsque la base est 10, par convention, il n’est pas nécessaire de le spécifier, et lorsque la base est 𝑒, on prend le log népérien. Il est important de noter que si on utilise une base de 10 ou une base de 𝑒 en prenant le log d’un nombre, le résultat ne sera pas souvent un entier. Cela ne pose pas de problème cependant, car l’un des avantages d’utiliser des logarithmes pour résoudre une équation exponentielle est que l’équation n’a pas besoin d’avoir une solution entière. On peut utiliser une calculatrice scientifique pour approcher la solution. Étudions comment le faire dans les exemples suivants.

Exemple 1: Résoudre des équations exponentielles à l’aide des logarithmes

Résolvez 3=11 pour trouver 𝑥, en donnant votre réponse au millième près.

Réponse

On commence par rappeler que la fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle. Si 𝑦=𝑎, alors 𝑥=𝑦log. Comme 3=11, ou 11=3, est sous la forme 𝑦=𝑎, on sait que la valeur de 𝑦 vaut 11 et que la valeur de 𝑎 vaut 3. Par conséquent, on peut écrire l’équation 𝑥=11.log

Comme 11 n’est pas une puissance de 3, on doit utiliser une calculatrice scientifique pour simplifier le membre droit. On doit s’assurer d’utiliser les touches appropriées, en gardant à l’esprit que la base est 3 et non 10. Ce faisant, on obtient 𝑥=2,182658, Le problème demande la valeur de 𝑥 au millième près, on doit donc considérer la quatrième décimale, qui est 6. Comme ce chiffre est supérieur ou égal à 5, on doit arrondir le chiffre 2 des millièmes pour obtenir la réponse 𝑥2,183.

Une autre façon de résoudre l’équation 3=11 est de prendre le log des deux membres. Utiliser une base de 10 donne loglog(3)=11.

Notez que la base n’est pas spécifiée dans l’équation. La formule de la puissance des logarithmes permet alors de réécrire log(3) comme 𝑥3log de sorte que l’équation devient 𝑥3=11.loglog

On peut ensuite diviser les deux membres par log3 pour obtenir 𝑥=113loglog puis utiliser le bouton log sur une calculatrice scientifique pour obtenir 𝑥=1131,041390,477122,182658loglog.

Comme auparavant, on arrondit le chiffre 2 des millièmes pour obtenir la réponse 𝑥2,183.

Note

Lors de l’utilisation d’une calculatrice scientifique pour estimer la valeur de l’expression loglog113, il est important d’écrire log11 et log3 avec un nombre suffisant de décimales si on les calcule séparément. Si, par exemple, on les écrit seulement au millième près, on aurait 𝑥=1131,0410,4772,182389.loglog

Dans ce cas, on aurait gardé le 2 aux millièmes au lieu de l’arrondir, et on aurait eu une réponse incorrecte de 𝑥2,182. Pour cette raison, il est préférable de saisir loglog113 dans la calculatrice en une seule expression plutôt que de calculer chaque log individuel.

Nous allons maintenant résoudre un problème impliquant une équation exponentielle avec un exposant binomial.

Exemple 2: Résoudre des équations exponentielles avec des exposants binomiaux en utilisant des logarithmes

Déterminez, au centième près, la valeur de 𝑥 pour laquelle 2=9.

Réponse

Afin de déterminer 𝑥, on peut commencer par prendre le log des deux membres. Si on utilise une base de 10, on n’a pas besoin de la spécifier et on obtient l’équation loglog2=9.

En utilisant la formule de la puissance des logarithmes, on peut alors réécrire log2 comme (𝑥+8)(2)log, donc l’équation devient (𝑥+8)(2)=9.loglog

Diviser les deux membres de l’équation par log2 donne 𝑥+8=92,loglog et après avoir soustrait 8 aux deux membres, on obtient 𝑥=928.loglog

On peut maintenant utiliser le bouton log sur une calculatrice scientifique pour arrondir la valeur de 𝑥. Pour cela, il est préférable de saisir loglog928 dans la calculatrice comme une seule expression plutôt que de trouver log9 et log2 séparément avant de simplifier. De cette façon, il n’y a pas de risque d’erreur d’arrondi. Cela donne 𝑥=928=4,830074999,loglog ce qui donne la réponse 𝑥4,83 au centième près.

Étudions maintenant comment résoudre une équation avec deux exposants binomiaux au lieu d’un.

Exemple 3: Résoudre des équations exponentielles avec des exposants binomiaux en utilisant des logarithmes

Utilisez une calculatrice pour déterminer la valeur de 𝑥 pour laquelle 3=8. Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

Pour commencer, on prend le log des deux membres de l’équation. En utilisant une base de 10, on obtient loglog3=8.

La formule de la puissance des logarithmes permet alors de réécrire log3 comme (4𝑥3)(3)log et log8 comme (𝑥+4,7)(8)log, ce qui donne l’équation (4𝑥3)(3)=(𝑥+4,7)(8).loglog

Après avoir distribué log3 sur le membre gauche de l’équation et log8 sur le membre droit, l’équation devient 4𝑥333=𝑥8+4,78.loglogloglog

Maintenant, pour isoler la variable, on regroupe les termes contenant 𝑥 sur un membre de l’équation et les termes ne contenant pas 𝑥 sur l’autre membre. Tout d’abord, on ajoute 4𝑥3log aux deux membres pour obtenir 33=𝑥8+4,78+4𝑥3.loglogloglog

Ensuite, on soustrait 4,78log aux deux membres de sorte que l’équation devient 334,78=𝑥8+4𝑥3.loglogloglog

Il est maintenant possible de factoriser 𝑥 dans le membre droit de l’équation, ce qui donne 334,78=𝑥(8+43),loglogloglog et après avoir divisé les deux membres de l’équation par l’expression loglog8+43, on arrive à 334,788+43=𝑥.loglogloglog

Enfin, on peut utiliser le bouton log sur une calculatrice scientifique pour entrer l’expression de 𝑥. La calculatrice donne 𝑥=2,018756992, ce qui donne la réponse 𝑥2,02 au centième près.

Dans l’exemple qui suit, nous devons aussi regrouper les termes de la variable sur un membre de l’équation.

Exemple 4: Résoudre des équations exponentielles à l’aide des logarithmes

Résolvez 23=54 pour trouver 𝑥, en donnant votre réponse au millième près.

Réponse

La première étape dans la résolution de 23=54 pour trouver 𝑥 est de regrouper les termes avec un exposant de 𝑥 sur un membre de l’équation et les termes sans exposant de 𝑥 sur l’autre membre. Si on divise les deux membres de l’équation par 24 on obtient 2324=5424.

On peut voir qu’il y a maintenant un 2 au numérateur et au dénominateur de la fraction du membre gauche de l’équation et un 4 au numérateur et au dénominateur de la fraction du membre droit. Ces termes s’annulent, ce qui donne 34=52.

On rappelle que si deux constantes 𝑎 et 𝑏 sont toutes deux élevées à la puissance 𝑥, alors 𝑎𝑏=𝑎𝑏;on peut donc remplacer 34 par 34, pour obtenir 34=52.

Comme la fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle, on sait que si 𝑦=𝑎, alors 𝑥=𝑦log. L’équation 34=52, ou 52=34, est sous la forme 𝑦=𝑎, ce qui indique que la valeur de 𝑦 est 52 et que la valeur de 𝑎 est 34. On peut donc écrire l’équation 𝑥=52.log

On peut maintenant utiliser une calculatrice scientifique pour simplifier le membre droit, en gardant à l’esprit que la base est 34 et non 10. Ce faisant, on obtient 𝑥=3,185081, ce qui donne la réponse 𝑥3,185 au millième près.

On peut aussi prendre le log des deux membres de l’équation 34=52 pour la résoudre. Si on utilise une base de 10, on obtient loglog34=52.

En utilisant la formule de la puissance des logarithmes, on peut réécrire log34 comme 𝑥34log, ce qui donne l’équation 𝑥34=52.loglog

On peut maintenant diviser les deux membres par log34 pour obtenir 𝑥=,loglog puis utiliser le bouton log sur une calculatrice scientifique pour entrer l’expression de 𝑥, ce qui donne 𝑥=3,185081.

Encore une fois, on doit conserver la 5e décimale pour arriver à la réponse de 𝑥3,185.

Étudions enfin un exemple dans lequel nous devons utiliser deux formules différentes des logarithmes.

Exemple 5: Résoudre des équations exponentielles avec des exposants binomiaux en utilisant des logarithmes

Utilisez une calculatrice pour déterminer la valeur de 𝑥 pour laquelle 2×7=16×7. Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

On commence par prendre le log des deux membres de l’équation. Utiliser une base de 10 donne loglog(2×7)=16×7.

La formule du produit des logarithmes permet de réécrire log(2×7) comme loglog(2)+7 et log16×7 comme loglog16+7, ce qui donne l’équation loglogloglog(2)+7=16+7.

On peut maintenant utiliser la formule de la puissance des logarithmes pour réécrire log(2) comme 𝑥2log. On peut aussi l’utiliser pour réécrire log7 comme (𝑥+9)7log, ce qui donne l’équation 𝑥2+7=16+(𝑥+9)7.loglogloglog

Après avoir distribué 𝑥+9 sur le membre droit, on obtient 𝑥7+7=16+𝑥7+97.logloglogloglog

On doit ensuite regrouper les termes contenant 𝑥 sur un membre de l’équation et les termes ne contenant pas 𝑥 sur l’autre membre. Soustraire 𝑥7log aux deux membres donne 𝑥2+7𝑥7=16+97,logloglogloglog puis soustraire log7 aux deux membres donne 𝑥2𝑥7=16+977.logloglogloglog

Les deux derniers termes sur le membre droit peuvent maintenant être combinés pour obtenir l’équation 𝑥2𝑥7=16+87.loglogloglog

Il est maintenant possible de factoriser par 𝑥 sur le membre gauche de l’équation, ce qui donne 𝑥(27)=16+87,loglogloglog et après avoir divisé les deux membres de l’équation par l’expression loglog27, on arrive à 𝑥=16+8727.loglogloglog

Enfin, on peut utiliser le bouton log sur une calculatrice scientifique pour saisir l’expression de 𝑥. La calculatrice donne 𝑥=14,63953707, ce qui donne la réponse 𝑥14,64 au centième près.

Terminons maintenant par récapituler quelques points clés.

Points clés

  • Une équation exponentielle est une équation dans laquelle une variable est utilisée dans un exposant ou plus.
  • La fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle. Si 𝑦=𝑎, alors 𝑥=𝑦log.
  • Lors de la résolution d’équations exponentielles en utilisant des logarithmes, on doit souvent utiliser une ou plusieurs des formules des logarithmes. Trois formules logarithmiques utilisées pour résoudre des équations exponentielles sont la formule du produit, la formule du quotient et la formule de la puissance.
  • La formule du produit, ou logloglog𝑚𝑛=𝑚+𝑛, stipule que le log du produit de deux nombres est la somme du log du premier facteur et du log du second facteur.
  • La formule du quotient, ou logloglog𝑚𝑛=𝑚𝑛, stipule que le log du quotient de deux nombres est la différence du log du dividende et du log du diviseur.
  • La formule de la puissance, ou loglog𝑚=𝑘𝑚, stipule que le log d’une base élevée à une puissance est le produit de la puissance et du log de la base.
  • Il est préférable de saisir des expressions contenant plusieurs log dans la calculatrice scientifique comme une seule expression plutôt que de calculer chaque log individuel. Cela permet d’éviter les erreurs d’arrondi.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.