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Vidéo de la leçon : Résoudre des équations exponentielles à l’aide des logarithmes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les logarithmes pour résoudre des équations exponentielles.

15:54

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les logarithmes pour résoudre des équations exponentielles. Nous allons commencer par examiner le lien entre les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes. Nous rappellerons également les lois des logarithmes.

Les fonctions logarithmes sont les réciproques des fonctions exponentielles. Si 𝑎 puissance 𝑥 est égal à 𝑏, alors 𝑥 est égal à log de base 𝑎 de 𝑏. Dans cette vidéo, nous allons utiliser cette définition pour résoudre des équations exponentielles. Par exemple, si deux puissance 𝑥 est égal à 16, 𝑥 est égal à log de base deux de 16. En utilisant une calculatrice scientifique, cela nous donne une réponse de quatre. Et nous savons que c’est correct car deux puissance quatre est bien égal à 16.

Pour résoudre des équations exponentielles, nous allons avoir besoin de quelques lois des logarithmes. La première loi stipule que log de base 𝑎 de 𝑥 plus log de base 𝑎 de 𝑦 est égal à log de base 𝑎 de 𝑥 fois 𝑦. De même, log de base 𝑎 de 𝑥 moins log de base 𝑎 de 𝑦 est égal à log de base 𝑎 de 𝑥 sur 𝑦. Enfin, log de base 𝑎 de 𝑥 puissance 𝑛 est égal à 𝑛 fois log de base 𝑎 de 𝑥.

C’est cette troisième loi, ainsi que le lien entre les équations exponentielles et les équations logarithmiques, que nous allons utiliser principalement dans cette vidéo. Remarquez que pour ces trois lois des logarithmes, la base doit être la même. On rappelle également que le log de base 10 de 𝑥 est généralement simplement noté log de 𝑥. Lorsque l’on calcule des logarithmes, on utilise donc souvent le logarithme de base 10. Cela nous permet de ne pas avoir à écrire la base à chaque fois. Nous allons maintenant étudier quelques exemples de résolutions d’équations exponentielles.

Résolvez trois puissance 𝑥 égale 11, en donnant votre réponse au millième près.

Il y a deux façons de résoudre cette équation en utilisant des logarithmes. On peut tout d’abord utiliser la définition selon laquelle si 𝑎 puissance 𝑥 est égal à 𝑏, alors 𝑥 est égal à log de base a de 𝑏. Dans cette question, les constantes 𝑎 et 𝑏 sont respectivement trois et 11. Cela signifie que 𝑥 est égal à log de base trois de 11. On peut taper cela directement dans une calculatrice scientifique, ce qui nous donne 2,182658. Comme notre réponse doit être arrondie au millième, la décimale décisive est le six. Et lorsque ce nombre est supérieur ou égal à cinq, on arrondit à l’excès. Par conséquent, 𝑥 est égal à 2,183. Nous pouvons vérifier cette réponse en replaçant cette valeur dans l’équation d’origine. Trois puissance 𝑥 est bien égal à 11.

Une autre façon de résoudre cette question consiste à prendre d’abord les logarithmes des deux membres. On rappelle qu’un logarithme écrit sans base correspond au logarithme de base 10. Une des lois des logarithmes stipule que log de 𝑥 puissance 𝑛 est égal à 𝑛 log de 𝑥. Comme l’exposant sur le membre gauche de l’équation est 𝑥, on peut le reformuler par 𝑥 fois log de trois. Et cela est égal à log de 11. On peut alors diviser les deux membres de l’équation par log de trois et on obtient 𝑥 égale log de 11 sur log de trois. Encore une fois, nous obtenons une réponse arrondie au millième de 2,183.

Dans le prochain exemple, l’exposant sera légèrement plus compliqué.

Calculez la valeur de 𝑥 au centième près telle que deux puissance 𝑥 plus huit est égal à neuf.

Dans cette question, nous devons résoudre une équation exponentielle. Et nous allons pour cela utiliser nos connaissances des logarithmes. Deux méthodes sont ici possibles. La première consiste à rappeler que si 𝑎 puissance 𝑥 est égal à 𝑏, alors 𝑥 est égal à log de base 𝑎 de 𝑏. Dans cette question, l’exposant est 𝑥 plus huit et les valeurs de 𝑎 et 𝑏 sont respectivement deux et neuf. L’exposant 𝑥 plus huit est donc égal à log de base deux de neuf. Taper le membre droit sur une calculatrice nous donne alors 3,169925. Comme nous souhaitons trouver la valeur de 𝑥, nous devons soustraire huit aux deux membres de cette équation. Cela nous donne 𝑥 égale moins 4,830074. Et on arrondit ensuite au centième. On trouve alors que 𝑥 est égal à moins 4,83. Nous pouvons alors vérifier cette réponse en replaçant 𝑥 dans l’équation deux puissance 𝑥 plus huit égale neuf.

Une autre méthode consiste à prendre le logarithme des deux membres de l’équation d’origine. On peut ensuite utiliser la loi des logarithmes qui stipule que log de 𝑥 puissance 𝑛 est égal à 𝑛 log de 𝑥. Le membre de gauche de l’équation devient ainsi 𝑥 plus huit fois log de deux. Et cela est égal à log de neuf. On peut ensuite diviser les deux membres de l’équation par log de deux pour obtenir 𝑥 plus huit égale log de neuf sur log de deux. Et le membre de droite est alors équivalent à log de base deux de neuf. Si on le tape directement dans calculatrice, on obtient à nouveau 3,169925. On soustrait ensuite huit aux deux membres de cette équation, ce qui nous donne à nouveau 𝑥 égale moins 4,83.

Ces deux méthodes sont tout à fait valides pour résoudre une équation exponentielle de ce type.

Le prochain exemple est plus compliqué car les deux membres de l’équation comportent des puissances.

Utilisez une calculatrice pour trouver la valeur de 𝑥 telle que trois puissance moins quatre 𝑥 moins trois égale huit puissance 𝑥 plus 4,7. Arrondissez votre réponse au centième.

Afin de résoudre cette équation exponentielle, nous allons commencer par prendre le logarithme des deux membres. Cela nous donne log de trois puissance moins quatre 𝑥 moins trois égale log de huit puissance 𝑥 plus 4,7. On rappelle alors qu’une des lois des logarithmes nous dit que log de 𝑥 puissance 𝑛 est égal à 𝑛 log de 𝑥. En sortant les exposants des logarithmes, on a moins quatre 𝑥 moins trois fois log de trois égale 𝑥 plus 4,7 fois log de huit.

On peut ensuite développer les parenthèses des deux côtés. Le membre de gauche devient moins quatre 𝑥 log de trois moins trois log de trois. Et le membre de droite devient 𝑥 log de huit plus 4,7 log de huit. Deux de ces quatre termes contiennent un 𝑥. Nous allons donc regrouper ces deux termes d’un côté de l’équation. On ajoute quatre 𝑥 log de trois et on soustrait 4,7 log de huit des deux côtés pour obtenir moins trois log de trois moins 4,7 log de huit égale 𝑥 log de huit plus quatre 𝑥 log de trois.

La prochaine étape consiste à factoriser par 𝑥 le membre de droite, ce qui nous donne 𝑥 fois log de huit plus quatre log de trois. On peut maintenant diviser les deux membres de l’équation par log de huit plus quatre log de trois pour isoler 𝑥. 𝑥 est donc égal à moins trois log de trois moins 4,7 log de huit sur log de huit plus quatre log de trois. En rappelant qu’un logarithme sans base représente le logarithme de base 10, on peut taper ceci dans une calculatrice et on trouve que 𝑥 est égal à moins 2,018756. En arrondissant au centième, on obtient 𝑥 égale moins 2,02. C’est la valeur de 𝑥 pour laquelle trois puissance moins quatre 𝑥 moins trois est égal à huit puissance 𝑥 plus 4,7.

Nous allons à présent étudier deux types d’équations exponentielles légèrement différentes.

Résolvez deux fois trois puissance 𝑥 égale cinq fois quatre puissance 𝑥, en donnant votre réponse au millième près.

Il existe plusieurs façons d’aborder cette question. Une d’entre elles consiste à diviser les deux membres par cinq fois trois puissance 𝑥. Cela signifie que sur le membre gauche, le trois puissance 𝑥 s’annule et il reste deux sur cinq. Et sur le membre de droite, le cinq s’annule et il reste quatre puissance 𝑥 sur trois puissance 𝑥. Lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont tous les deux élevés à une même puissance, la fraction peut être reformulée comme ceci. 𝑎 puissance 𝑥 sur 𝑏 puissance 𝑥 égle 𝑎 sur 𝑏 puissance 𝑥. Cela signifie que deux sur cinq est égal à quatre sur trois puissance 𝑥.

On peut résoudre cette équation en prenant les logarithmes des deux membres. Ou on peut utiliser la définition selon laquelle si 𝑎 puissance 𝑥 est égal à 𝑏, alors 𝑥 est égal à log de base 𝑎 de 𝑏. Les valeurs de 𝑎 et 𝑏 sont respectivement quatre sur trois et deux sur cinq. Par conséquent, 𝑥 est égal à log de base quatre sur trois de deux sur cinq. En tapant ceci dans une calculatrice, on obtient 𝑥 égale moins 3,185081. Comme nous devons arrondir le résultat au millième, nous concluons que 𝑥 est égal à moins 3,185.

Comme mentionné précédemment, on peut également prendre le logarithme des deux membres de l’équation deux sur cinq égale quatre sur trois puissance 𝑥. Cela nous donne alors log de deux sur cinq égale log de quatre sur trois puissance 𝑥. Mais une des lois des logarithmes nous dit que log de 𝑥 puissance 𝑛 est égal à 𝑛 log de 𝑥. Cela signifie que l’on peut reformuler le membre de droite par 𝑥 log de quatre sur trois. Diviser ensuite les deux membres par log de quatre sur trois nous donne 𝑥 égale log de deux sur cinq sur log de quatre sur trois. Taper ceci dans la calculatrice nous donne également une réponse de moins 3,185. Cela confirme qu’il s’agit de la valeur de 𝑥 qui vérifie l’équation deux fois trois puissance 𝑥 égale cinq fois quatre puissance 𝑥.

Nous allons maintenant étudier un dernier exemple.

Utilisez une calculatrice pour trouver la valeur de 𝑥 telle que deux puissance 𝑥 fois sept est égal à 16 fois sept puissance 𝑥 plus neuf. Arrondissez votre réponse au centième.

Nous allons commencer par prendre le logarithme des deux membres de l’équation. Cela nous donne log de deux puissance 𝑥 fois sept égale log de 16 fois sept puissance 𝑥 plus neuf. On rappelle alors qu’une des lois des logarithmes nous dit que log de 𝑥 plus log de 𝑦 est égal à log de 𝑥 fois 𝑦. Cela signifie que l’on peut reformuler le membre de gauche par log de deux puissance 𝑥 plus log de sept. Et le membre de droite peut être reformulé par log de 16 plus log de sept puissance 𝑥 plus neuf.

Une autre loi des logarithmes stipule que log de 𝑥 puissance 𝑛 est égal à 𝑛 log de 𝑥. Le premier terme du membre de gauche devient donc 𝑥 log de deux. Et le dernier terme dans le membre de droite devient 𝑥 plus neuf fois log de sept. On peut ensuite distribuer le log de sept et on obtient 𝑥 log de sept plus neuf log de sept.

L’équation est donc maintenant 𝑥 log de deux plus log de sept égale log de 16 plus 𝑥 log de sept plus neuf log de sept. Deux des cinq termes comportent un 𝑥, nous devons donc nous assurer qu’ils se trouvent sur le même membre de l’équation. Soustraire log de sept et 𝑥 log de sept des deux membres de l’équation nous donne ainsi 𝑥 log de deux moins 𝑥 log de sept égale log de 16 plus neuf log de sept moins log de sept. Les deux derniers termes à droite peuvent se simplifier. Neuf log de sept moins log de sept égale huit log de sept.

On peut alors factoriser par 𝑥 dans le membre de gauche pour obtenir 𝑥 fois log de deux moins log de sept. Et cela est égal à log de 16 plus huit log de sept. Enfin, on divise les deux membres par log de deux moins log de sept. En tapant cette expression dans une calculatrice, on trouve que 𝑥 est égal à moins 14,6395. Mais nous devons arrondir notre réponse au centième. Par conséquent, 𝑥 est égal à moins 14,64. Il s’agit de la valeur de 𝑥 telle que deux puissance 𝑥 fois sept est égal à 16 fois sept puissance 𝑥 plus neuf.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons découvert dans cette vidéo que les fonctions logarithmes sont les réciproques des fonctions exponentielles. Cela signifie que l’on peut résoudre une équation exponentielle en prenant le logarithme des deux membres. Pour résoudre de simples équations exponentielles, on peut utiliser la définition selon laquelle 𝑎 puissance 𝑥 égale 𝑏 implique que 𝑥 est égal au logarithme de base 𝑎 de 𝑏. On peut également utiliser les trois lois des logarithmes : log de 𝑥 plus log de 𝑦 égale log de 𝑥𝑦 ; log de 𝑥 moins log de 𝑦 égale log de 𝑥 sur 𝑦 et log de 𝑥 puissance 𝑛 égale 𝑛 log de 𝑥.

Nous avons de plus rappelé que lorsqu’un logarithme est écrit sans base, il s’agit du logarithme standard de base 10. En utilisant toutes ces connaissances sur les logarithmes, nous avons pu résoudre des équations exponentielles où les exposants étaient des nombres rationnels ou des binômes.

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