Transcription de la vidéo
La longueur du côté du cube ci-dessous est de 44 divisé par 17 unités. Quelle est la longueur de la projection du vecteur 𝐎𝐀 sur le vecteur 𝐂𝐁 ? Donnez le résultat approché au centième près.
Bon, en regardant ce cube, nous voyons que le sommet 𝑂 est à l’origine d’un système de coordonnées 𝑥𝑦𝑧. Nous voyons également trois autres sommets du cube étiquetés 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Nous voulons résoudre la projection scalaire du vecteur 𝐎𝐀 montré dans notre croquis sur le vecteur 𝐂𝐁 qui va du sommet 𝐶 de notre cube au sommet 𝐵. Ce vecteur ressemblerait à ceci. Pour commencer à travailler sur notre solution, rappelons que la projection scalaire d’un vecteur 𝐀 sur un autre vecteur 𝐁 est égale au produit scalaire de ces vecteurs divisé par la norme du vecteur sur lequel on projette. Dans notre cas, ce que nous voulons calculer est 𝐎𝐀 en pointillé avec 𝐂𝐁 divisé par la norme du vecteur 𝐂𝐁.
Pour calculer cette fraction, nous allons devoir connaître les composantes vectorielles de ces deux vecteurs, 𝐎𝐀 et 𝐂𝐁. Nous pouvons les trouver en travaillant avec les coordonnées des quatre points donnés. Nous pouvons commencer par les coordonnées du point 𝑂, qui est à l’origine. Pour cette raison, nous savons que les coordonnées 𝑥𝑦𝑧 de ce point doivent être zéro, zéro, zéro.
Ensuite, considérons les coordonnées du point 𝐴. Ce point a une valeur 𝑥 égale à cette longueur, une longueur du côté du cube, ue l’on nous dit égale à quarante-quatre dix-septièmes, une valeur 𝑦 qui est égale à cette longueur, également une longueur du côté du cube, puis une valeur 𝑧 égale à cette longueur, encore une fois, quarante-quatre dix-septièmes.
Maintenant que nous connaissons les coordonnées de ces deux points, nous pouvons trouver le vecteur 𝐎𝐀. Ce vecteur est égal aux coordonnées du point 𝐴 moins celles du point 𝑂. Comme nous l’avons vu, les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de 𝐴 sont toutes égales à quarante-quatre dix-septièmes, et celles du point 𝑂 sont toutes égales à zéro. Cela nous indique que les composantes du vecteur 𝐎𝐀 sont également identiques. Elles valent toutes quarante-quatre dix-septièmes. Sachant cela, calculons maintenant les coordonnées des deux autres points 𝐶 et 𝐵. En commençant par le point 𝐵, nous pouvons voir que celui-ci a une coordonnée 𝑥 valant zéro, une coordonnée 𝑦 valant zéro, mais ensuite une coordonnée 𝑧 de valeur quarante-quatre dix-septièmes. Le point 𝐶 est alors en quelque sorte le contraire. Il a des valeurs 𝑥 et 𝑦 de 44 sur 17 et une valeur 𝑧 égale à zéro.
Le vecteur 𝐂𝐁 est égal à la forme vectorielle des coordonnées de 𝐵 moins celles de 𝐶. Et lorsque nous substituons ces valeurs et effectuons cette soustraction, nous trouvons ce résultat. Une composante 𝑥 de moins quarante-quatre dix-septièmes, une composante 𝑦 de même valeur et une composante 𝑧 de plus de quarante-quatre dix-septièmes. Nous avons donc ici les composantes de nos vecteurs d’intérêt, ce qui signifie que nous pouvons commencer à calculer cette fraction. Pour commencer, libérons un peu d’espace à l’écran. Et maintenant, substituons les valeurs connues pour 𝐎𝐀 et 𝐂𝐁 dans cette fraction. Cela nous donne cette expression, où nous avons rappelé que la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes.
Dans notre numérateur, notre prochaine étape consiste à multiplier ensemble les composantes correspondantes de ces vecteurs dans les directions 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Dans notre dénominateur, nous pouvons mettre au carré ces différentes composantes du vecteur 𝐂𝐁. Lorsque nous faisons cela, dans notre numérateur, nous avons moins la quantité quarante-quatre dix-septièmes au carré moins la même quantité au carré plus cette quantité au carré et dans notre dénominateur la racine carrée de trois fois la quantité 44 sur 17 au carré. Dans notre numérateur alors, ce terme s’élimine avec ce terme et dans notre dénominateur, en reconnaissant que la racine carrée de quarante-quatre dix-septièmes carrés est simplement de quarante-quatre dix-septièmes, nous avons maintenant cette quantité ici. Et nous voyons qu’un facteur de 44 sur 17 peut s’éliminer en haut et en bas.
Cela nous donne moins un sur racine de trois fois quarante-quatre dix-septièmes. Cette réponse est exacte, mais nous voulons fournir notre résultat à la deuxième décimale près. À ce niveau de précision, cela équivaut à moins 1,49. C’est la projection du vecteur 𝐎𝐀 sur le vecteur 𝐂𝐁 dans notre cube.
