Vidéo de la leçon: Projection d’un vecteur sur un autre Mathématiques

Transcription de la vidéo

Le sujet de cette vidéo est la projection. Et comme vous pouvez le deviner, cela n’est pas exactement ce que vous voyez à l’écran ! La projection qu’on va présenter consiste à déterminer quelle portion d’un vecteur se situe le long d’un autre.

On va commencer par introduire cette notion de projection. Soit un vecteur en trois dimensions, que l’on appelle 𝐀. Dans ce cas, on peut dire que les composantes du vecteur 𝐀 représentent les portions de ce vecteur le long des trois axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Par exemple, si on faisait descendre le vecteur 𝐀 sur le plan 𝑥 𝑧, c’est-à-dire qu’on le projetait sur ce plan, alors on trouverait que la composante en 𝑥 de ce nouveau vecteur est 𝐀 𝑥 et que sa composante en z est 𝐀 𝑧. On pourrait alors dire que ces composantes représentent les projections de ce vecteur sur ces axes du repère.

Mais rien de nous empêche de projeter un vecteur dans une autre direction que celles des axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧. On peut en fait choisir un vecteur dans n’importe quelle direction et déterminer ensuite quelle portion de 𝐀 se situe le long de celui-ci. Quelle que soit la réponse que l’on trouve, ce sera une quantité scalaire au lieu d’une quantité vectorielle. C’est ce que l’on entend lorsqu’on parle de projection : quelle portion d’un vecteur se situe le long d’un autre.

Soit un autre vecteur quelconque, que l’on appelle le vecteur 𝐁 et qui a ces trois composantes. On peut alors calculer mathématiquement la projection du vecteur 𝐀 sur le vecteur 𝐁 avec cette formule. On calcule le produit scalaire de ces deux vecteurs et on le divise par la norme du vecteur sur lequel on projette, dans ce cas le vecteur 𝐁. D’après cette formule de la projection, on peut voir qu’on a normalement besoin des composantes des deux vecteurs concernés, dans ce cas 𝐀 et 𝐁. Mais en rappelant la formule générale du produit scalaire de deux vecteurs, on voit que ce n’est pas toujours nécessaire.

On rappelle que le produit scalaire de deux vecteurs 𝐕 un et 𝐕 deux est égal au produit des normes de ces vecteurs fois le cosinus de l’angle entre eux. Cette relation signifie que l’on peut remplacer 𝐀 scalaire 𝐁 dans la formule de la projection par la norme de 𝐀 fois la norme de 𝐁 fois le cosinus de l’angle entre 𝐀 et 𝐁. En revenant au schéma, on peut indiquer cet angle ici. Et on l’appelle 𝜃.

En regardant la deuxième façon d’écrire la projection, on voit qu’on peut simplifier la norme du vecteur 𝐁 du numérateur et du dénominateur. On a donc ces deux façons équivalentes de calculer la projection d’un vecteur 𝐀 sur un vecteur 𝐁. Et remarquez qu’avec la deuxième formule, il suffit de connaître la norme du premier vecteur et l’angle entre les deux vecteurs.

Pour bien comprendre la projection, il peut être utile de voir à quoi elle correspond graphiquement. Considérons ces deux vecteurs 𝐂 et 𝐃, dans un plan. Si on projette le vecteur 𝐂 sur le vecteur 𝐃, alors on calcule cette longueur ici. Il s’agit de la distance sur laquelle ces vecteurs coïncident. Et on a vu que cette distance est mathématiquement définie par le produit scalaire de 𝐂 et 𝐃 divisé par la norme du vecteur sur lequel on projette. On peut alors garder cette image en deux dimensions à l’esprit, même lorsqu’on étudie des vecteurs dans l’espace. Et on connait donc maintenant la signification géométrique d’une projection.

Mettons maintenant en pratiques toutes ces connaissances avec un exercice.

Sachant que la norme de 𝐀 est égale à cinq, que la norme de 𝐁 est égale à 15 et que la mesure de l’angle entre eux est de 30 degrés, calculez la projection de 𝐁 dans la direction et le sens de 𝐀.

On a donc ces deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. On sait que la norme de 𝐀 est égale à un tiers de la norme de 𝐁 et qu’ils forment un angle de 30 degrés. Et on souhaite calculer la projection du vecteur 𝐁 dans la direction et le sens du vecteur 𝐀. Ce qu’on propose donc est de projeter le vecteur B sur le long de cette droite de vecteur directeur 𝐀. En résumé, on recherche la portion du vecteur 𝐁 qui est colinéaire au vecteur 𝐀.

Et on peut calculer cette projection de deux manières. On peut d’abord rappeler que la projection d’un vecteur 𝐕 un sur un autre vecteur 𝐕 deux, est définie par ces deux expressions. On pourrait donc utiliser la formule de la norme du premier vecteur fois le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs pour calculer la projection de 𝐁 sur 𝐀.

Notez cependant que l’on pourrait également arriver à cette conclusion à partir de notre schéma des vecteurs 𝐀 et 𝐁. On peut en effet considérer que le vecteur B forme l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Et on voit alors que la longueur de cette hypoténuse, la norme de 𝐁, multipliée par le cosinus de l’angle entre les directions de 𝐁 et 𝐀, qui est de 30 degrés, nous donne cette projection. Les deux méthodes mènent au même résultat.

On substitue la norme de 𝐁, 15. Et sachant que le cosinus de 30 degrés est égal à la racine carrée de trois sur deux, on obtient 15 fois racine carrée de trois sur deux. Il s’agit de la projection de 𝐁 dans la direction et le sens de 𝐀.

Voyons maintenant un exemple où la projection est une valeur négative.

Sachant que la mesure du plus petit angle entre 𝐀 et 𝐁 est de 150 degrés et que la norme de B est égale à 54, déterminez la composante du vecteur 𝐁 le long de 𝐀.

On a donc ces deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. Et pour nous aider à les visualiser, supposons qu’ils se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. On peut alors dessiner ces deux vecteurs comme ceci. Il est indiqué que le plus petit angle entre ces deux vecteurs, qui est ici et que nous pouvons appeler 𝜃, est de 150 degrés. Et on doit déterminer la composante du vecteur 𝐁 le long du vecteur 𝐀.

En observant le schéma, on pourrait se demander si la réponse n’est pas zéro, car il semble qu’aucune portion du vecteur 𝐁 ne se situe le long du vecteur 𝐀. Mais on doit être prudent car l’expression « le long de 𝐀 » signifie en fait le long de la droite ayant 𝐀 comme vecteur directeur, c’est-à-dire cette droite en pointillés. Pour répondre à cette question, on va donc calculer cette distance ici. Il s’agit de la composante du vecteur 𝐁 le long de 𝐀.

Pour commencer à résoudre ce problème, on rappelle que la projection d’un vecteur sur un autre est égale au produit scalaire de ces vecteurs divisé par la norme du vecteur sur lequel on projette. Et elle est aussi égale à la norme du premier vecteur, ici 𝐕 un, fois le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs. C’est cette formule de la projection qu’on peut utiliser pour cet exercice. On connaît déjà la norme de ce que l’on peut appeler le premier vecteur, la norme de 𝐁, et on connaît également l’angle entre les vecteurs.

On calcule donc la norme de 𝐁 fois cos 𝜃, soit 54 fois cos 150 degrés. Le cosinus de cet angle est égal à moins racine carrée de trois sur deux. La projection est donc égale à 54 fois moins racine carrée de trois sur deux, ce qui se simplifie par moins 27 racine carrée de trois. C’est la composante de la projection du vecteur 𝐁 sur le vecteur 𝐀. Et on voit grâce à cet exemple que la composante d’une projection peut être négative. Dans ce cas, cela s’est produit car le vecteur de projection de 𝐁 sur A est de sens opposé au vecteur 𝐀.

Étudions maintenant un exemple où les vecteurs sont exprimés en fonction de leurs composantes.

Déterminez, au centième près, la composante de projection du vecteur 𝐕 sur le vecteur 𝐀𝐁 sachant que 𝐕 égale moins sept, deux, 10 et que les coordonnées de 𝐀 et 𝐁 sont respectivement un, moins quatre, moins huit et trois, deux, zéro.

Dans cet exercice, on a donc un vecteur 𝐕 et deux points 𝐴 et 𝐵 dans l’espace. Supposons que le point 𝐴 se trouve ici et que le point 𝐵 est ici. On cherche alors la composante de ce vecteur 𝐕 le long du vecteur 𝐀𝐁. Le vecteur 𝐀𝐁 va du point 𝐴 au point 𝐵, comme ceci. Pour calculer la composante de projection de 𝐕 sur 𝐀𝐁, on doit connaître les composantes du vecteur 𝐀𝐁.

Pour cela, on soustrait les coordonnées du point 𝐴 aux coordonnées du point 𝐵. C’est-à-dire que le vecteur 𝐀𝐁 est égal à 𝐁 moins 𝐀. En soustrayant les coordonnées de 𝐴 à celles de 𝐵, on obtient le vecteur de composantes trois moins un, soit deux, deux moins moins quatre, ce qui fait six, et zéro moins moins huit, soit huit. On a donc maintenant les composantes du vecteur 𝐀𝐁. Et on cherche la composante du vecteur de projection de 𝐕 sur 𝐀𝐁.

On rappelle d’abord que la composante de projection d’un vecteur sur un autre est égale au produit scalaire de ces deux vecteurs divisé par la norme du vecteur sur lequel on projette. Dans cet exemple, on calcule la composante du vecteur de projection de 𝐕 sur 𝐀𝐁. La quantité que l’on recherche est donc égale à 𝐕 scalaire 𝐀𝐁 sur la norme du vecteur 𝐀𝐁.

En rappelant que la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes, on divise ce produit scalaire par cette racine carrée. Pour calculer ce produit scalaire, on commence par multiplier les composantes correspondantes de ces deux vecteurs. Et au dénominateur, deux au carré égale quatre, six au carré égale 36 et huit au carré égale 64. La fraction se simplifie donc par moins 14 plus 12 plus 80 divisé par racine carrée de quatre plus 36 plus 64. Ce qui fait 78 sur racine carrée de 104.

On pourrait laisser notre réponse telle quelle mais la question demande de déterminer cette valeur au centième près. En entrant cette fraction sur une calculatrice, on obtient 7,65 au centième près. C’est la composante du vecteur de projection 𝐕 sur le vecteur 𝐀𝐁.

Étudions maintenant un autre exemple de projection.

𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵, où 𝐴𝐵 égale 17 centimètres, 𝐵𝐶 égale 11 centimètres et 𝐷 est le milieu de 𝐴𝐶. Calculez la projection de 𝐴𝐷 dans la direction et le sens de 𝐶𝐵.

Dans cet exemple, on a ce triangle rectangle qui ressemble à ceci. On sait que la longueur du côté 𝐴𝐵 est de 17 centimètres et que celle de 𝐵𝐶 est de 11 centimètres. Il y a de plus le point 𝐷, qui est à mi-chemin entre 𝐴 et 𝐶 sur l’hypoténuse du triangle. On doit alors calculer la projection du vecteur 𝐀𝐃 dans la direction et le sens du vecteur 𝐂𝐁.

Commençons par définir 𝐀𝐃. Il s’agit du vecteur qui part du point 𝐴 et arrive au point 𝐷. De même, 𝐂𝐁 est le vecteur qui part du point 𝐶 et arrive au point 𝐵. On cherche la projection de ce vecteur sur celui-ci.

On va donc déterminer les composantes de ces deux vecteurs. Supposons que le point 𝐵 de notre triangle est l’origine d’un repère 𝑥𝑦. On voit alors que le vecteur 𝐂𝐁 se situe le long de l’axe des 𝑥 et que le segment AB se trouve le long de l’axe des 𝑦. Cela nous permet de définir les coordonnées des quatre points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷.

Le point 𝐴 a une abscisse de zéro et une ordonnée de 17. Le point 𝐵 a les coordonnées zéro, zéro comme il est situé à l’origine, tandis que le point 𝐶 a les coordonnées 11, zéro. Mais qu’en est-il des coordonnées du point 𝐷? Comme le point 𝐷 est le milieu de 𝐴𝐶, cela signifie que son abscisse et son ordonnée sont égales à la moitié des longueurs de ces deux côtés du triangle. Donc l’abscisse de 𝐷 est 11 divisé par deux, soit 5,5, tandis que son ordonnée est 17 divisé par deux, soit 8,5.

Maintenant qu’on a ces informations, on peut se concentrer sur la recherche des composantes des deux vecteurs 𝐀𝐃 et 𝐂𝐁. Le vecteur 𝐀𝐃 est égal aux coordonnées du point 𝐷 moins celles du point 𝐴. En soustrayant les coordonnées du point 𝐴 à celles du point D, on obtient 5,5 et moins 8,5. Ce sont les composantes en 𝑥 et 𝑦 du vecteur 𝐀𝐃.

On calcule ensuite les composantes de 𝐂𝐁. Pour cela, on soustrait les coordonnées du point 𝐶 à celles du point 𝐵, ce qui signifie que l’on soustrait les coordonnées 11, zéro à zéro, zéro. Et cela donne le vecteur moins 11, zéro. Super, on a à présent nos deux vecteurs et on souhaite calculer la projection de 𝐀𝐃 sur 𝐂𝐁.

On rappelle pour cela que la composante de projection d’un vecteur 𝐕 un sur un autre vecteur 𝐕 deux est définie par le produit scalaire de ces deux vecteurs divisé par la norme du vecteur sur lequel on projette. Dans ce cas, on doit donc calculer 𝐀𝐃 scalaire 𝐂𝐁 divisé par la norme de 𝐂𝐁. En substituant les composantes de ces vecteurs et en rappelant que la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes, on calcule ensuite le produit scalaire en multipliant les composantes correspondantes des vecteurs.

Au dénominateur, moins 11 au carré égale 121 et zéro au carré égale zéro, ce qui signifie que cette composante est égale à 5,5 fois moins 11 sur racine carrée de 121. Mais 121 égale 11 au carré donc le facteur 11 au numérateur et au dénominateur s’annule. Et il reste simplement moins 5,5. Il s’agit de la composante de projection de 𝐀𝐃 sur 𝐂𝐁.

Terminons maintenant par résumer quelques points clés sur la projection. Dans cette leçon, on a vu que la composante d’un vecteur 𝐀 dans la direction et le sens d’un autre vecteur 𝐁 est appelée la projection de 𝐀 sur 𝐁. Mathématiquement, cette projection est égale au produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 divisé par la norme de 𝐁 ou de manière équivalente, à la norme de 𝐀 fois le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs. Géométriquement, ce schéma montre à quoi correspond cette projection dans un plan. Enfin, on a vu qu’une projection peut être positive, négative ou nulle.