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Fiche explicative de la leçon: Projection d'un vecteur sur un autre Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer la mesure algébrique d'un vecteur projeté sur un autre vecteur.

Un vecteur est une quantité possédant une norme et une direction. Dans cette fiche explicative, nous explorerons le concept de projection d’un vecteur dans la direction d’un autre vecteur.

Pour décrire mathématiquement les projections, on aura besoin du produit scalaire. C’est une opération que l’on peut considérer comme une sorte d’analogue vectoriel de la multiplication. On rappelle sa définition ci-dessous, pour deux vecteurs 𝐴 et 𝐵:𝐴=𝐴𝑖+𝐴𝑗+𝐴𝑘,𝐵=𝐵𝑖+𝐵𝑗+𝐵𝑘.

Définition : Produit scalaire

Sachant que l’angle entre 𝐴 et 𝐵 est 𝜃, alors le produit scalaire est défini par 𝐴𝐵=𝐴𝐵𝜃.cos

Une définition équivalente du produit scalaire est 𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐵+𝐴𝐵.

Tel quel, le produit scalaire n’a pas de représentation géométrique particulièrement utile;il se révèle en revanche très utile quand on parle de la projection d’un vecteur dans la direction d’un autre.

La projection d’un vecteur 𝐴 dans la direction d’un autre vecteur 𝐵, donne un scalaire. Ce scalaire décrit la composante du vecteur 𝐴 dans la direction du vecteur 𝐵.

La projection orthogonale d’un vecteur a une interprétation très similaire. Le résultat de ce processus est lui-même un vecteur et ce vecteur a alors la même direction que le vecteur 𝐵.

Dans cette fiche explicative, nous nous intéresserons uniquement à la composante ou mesure algébrique d’un vecteur dans la direction d’un autre vecteur dont nous donnons la définition ci-dessous.

Définition : La projection d’un vecteur dans la direction d’un autre

Sachant que l’angle entre 𝐴 et 𝐵 est 𝜃, la projection du vecteur 𝐴 dans la direction du vecteur 𝐵 est donnée par Projcos𝐴=𝐴𝜃.

On peut écrire une définition équivalente en utilisant le produit scalaire Proj𝐴=𝐴𝐵𝐵.

La projection nous donne la composante d’un vecteur, 𝐴, dans la direction d’un autre vecteur, 𝐵.

Il est probable que nous ayons déjà vu ce type de projection à l’œuvre;en effet, le fait d’écrire un vecteur sous forme de composantes peut être vu comme une application de ce type de projection. Pour mieux comprendre cette affirmation, il nous faut d’abord rappeler que le vecteur unitaire de même direction que 𝐵 est défini par 𝐵=𝐵𝐵.

Par conséquent, une définition alternative de la projection est Proj𝐴=𝐴𝐵.

Étant donné que 𝑖, 𝑗 et 𝑘 sont les vecteurs unitaires portés par les axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 respectivement, on peut trouver la composante de 𝐴 sur l’un de ces axes en calculant le produit scalaire de notre vecteur et du vecteur unitaire porté par cet axe. Par exemple, la composante de 𝐴 sur l’axe des 𝑥 est donnée par 𝐴𝑖.

On peut utiliser la géométrie du triangle rectangle pour comprendre la projection d’un vecteur sur un autre de façon plus intuitive.

Examinons le cas dans lequel l’angle 𝜃 entre les deux vecteurs est inférieur à 90. On constate sur la figure ci-dessus que 𝐴 correspond à la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle et que notre projection correspond à la longueur du côté adjacent à l’angle 𝜃.

Nous verrons plus loin, à travers un exemple, que la projection n’est pas limitée à la géométrie du triangle rectangle;la relation reste valable lorsque l’angle 𝜃 est supérieur à 90.

Mentionnons quelques cas particuliers, dans lesquels les deux vecteurs sont parallèles ou orthogonaux. Si les vecteurs sont parallèles et de même sens, alors l’angle entre eux est de 0. S’ils sont parallèles et de sens contraires, alors l’angle entre eux est de 180. Enfin, si les deux vecteurs sont orthogonaux, alors l’angle entre eux est de 90. Le résultat de chacun de ces cas est donné ci-dessous:Parallèles(mêmesens):ProjcosParallèles(senscontraires):ProjcosOrthogonaux:Projcos𝐴=𝐴(0)=𝐴𝐴=𝐴(180)=𝐴𝐴=𝐴(90)=0.

Il semble logique que si les vecteurs sont parallèles et de même sens, le vecteur projeté possède une composante dans la direction de l’autre vecteur égale à sa norme. Dans le cas de deux vecteurs parallèles et de sens contraires, on remarque cette fois une norme négative, nous y reviendrons plus loin dans cette fiche explicative. De même, dans le cas de vecteurs orthogonaux, le vecteur projeté ne possède pas de composante dans la direction de l’autre vecteur, donc la mesure algébrique est égale à 0.

Pour approfondir nos connaissances sur la projection d’un vecteur sur un autre, voyons quelques exemples.

Exemple 1: Déterminer la projection d’un vecteur sur un autre à partir de leurs normes et de l’angle entre eux

Sachant que 𝐴=5, 𝐵=15 et que l’angle entre ces deux vecteurs est de 30, trouvez la mesure algébrique de la projection de 𝐵 dans la direction de 𝐴.

Réponse

Pour répondre à cette question, il faut d’abord comprendre que lorsque l’on parle de projection algébrique d’un vecteur sur un autre, il s’agit simplement de la projection de ce vecteur dans la direction de l’autre.

L’énoncé nous facilite la tâche en nous donnant la mesure de l’angle entre les deux vecteurs, 𝐴 et 𝐵, que l’on note 𝜃.

Il est important de réaliser qu’on ne nous demande pas la projection du vecteur 𝐴 dans la direction du vecteur 𝐵, mais la projection du vecteur 𝐵 dans la direction du vecteur 𝐴. On doit donc utiliser la formule Projcos𝐵=𝐵𝜃.

Pour résoudre ce problème, on remplace dans notre formule par 𝐵=15 et 𝜃=30:Projcos𝐵=15(30)=1532.

En utilisant le fait que cos(30) est l’un des rapports trigonométriques exacts pour obtenir immédiatement notre réponse finale, que l’on laisse sous forme de racine.

On observe que l’information 𝐴=5 est donnée inutilement dans l’énoncé. Comme l’énoncé donne la mesure de l’angle 𝜃, nous n’avons en effet pas besoin d’utiliser cette information sur 𝐴, elle n’était mentionnée que pour tromper les étudiants les moins attentifs!

Notons également que si l’on utilise le produit scalaire, on peut obtenir la projection sans avoir besoin de la mesure de l’angle 𝜃 entre les deux vecteurs:Proj𝐴=𝐴𝐵𝐵=1𝐵𝐴𝐵=1𝐵𝐴𝐵+𝐴𝐵+𝐴𝐵.

Cela peut être utile lorsque les vecteurs sont simplement donnés sous forme de composantes.

Exemple 2: Déterminer la composante d’un vecteur dans une direction donnée

Déterminez, au centième près, la composante du vecteur 𝑉 selon 𝐴𝐵, sachant que 𝑉=(7;2;10) et que les coordonnées de 𝐴 et 𝐵 sont (1;4;8) et (3;2;0) respectivement.

Réponse

Dans cette question, on nous demande de trouver la projection du vecteur 𝑉 dans la direction de 𝐴𝐵, que l’on note Proj𝑉.

Le vecteur 𝐴𝐵 ne nous est pas donné dans l’énoncé, mais on a en revanche les coordonnées de ses points de départ et d’arrivée. On peut donc commencer par déterminer le vecteur:𝐴𝐵=𝑂𝐵𝑂𝐴=(3,2,0)(1,4,8)=(2,6,8).

Déterminons maintenant la norme du vecteur 𝐴𝐵, car cette information nous sera utile par la suite:𝐴𝐵=2+6+8=4+36+64=104=226.

Maintenant que nous disposons de nos deux vecteurs ainsi que de la norme de 𝐴𝐵, nous pouvons utiliser la définition de la projection d’un vecteur dans la direction d’un autre dans laquelle intervient le produit scalaire, Proj𝑉=𝑉𝐴𝐵𝐴𝐵.

On rappelle que l’on peut trouver le produit scalaire de deux vecteurs à partir de leurs composantes:𝑉𝐴𝐵=(7)2+26+108=14+12+80=78.

On remplace par nos valeurs dans notre formule de la projection des vecteurs et on obtient Proj𝑉=78226=3926=7,64857,65.

Nous simplifions notre réponse et l’exprimons sous forme décimale au centième près (deux chiffres après la virgule), comme demandé dans l’énoncé.

On peut également utiliser la projection d’un vecteur dans la direction d’un autre dans des problèmes impliquant des systèmes géométriques. Voyons un exemple.

Exemple 3: Trouver la projection d’un vecteur sur un autre sachant que les deux vecteurs sont les diagonales d'un cube

Le cube ci-dessous a une arête de 4417. Trouvez la projection de 𝑂𝐴 sur 𝐶𝐵, en arrondissant la réponse au centième près.

Réponse

Dans cette question, on nous demande de trouver la projection d’un vecteur sur un autre vecteur. Ces deux vecteurs sont les diagonales d’un cube.

On pourrait croire intuitivement que les diagonales d’un cube sont perpendiculaires l’une à l’autre, ce qui impliquerait que le résultat de la projection serait 0. Or, ce n’est pas le cas!En fait, l’angle entre les diagonales n’est pas égal à 90 et la projection, par conséquent, n’est pas nulle. Vérifions cela par le calcul.

Aucun des deux vecteurs ne nous est donné dans l’énoncé, mais on a en revanche la longueur de l’arête du cube. Nous pouvons trouver les vecteurs grâce à cette information.

Commençons par chercher les coordonnées du point 𝐴. Le point 𝑂 étant l’origine du repère, on obtiendra ainsi directement le vecteur 𝑂𝐴.

Le point 𝑂 est l’origine du repère tandis que le point 𝐴 est le coin opposé du cube, par conséquent, les distances entre ces deux points, sur les axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont toutes égales. On peut voir sur la figure que cette distance correspond à la longueur de l’arête de notre cube;il en découle que 𝐴=4417,4417,4417𝑂𝐴=4417,4417,4417.

En utilisant la même logique, on remarque que le point 𝐵 se situe verticalement au-dessus de l’origine, séparé uniquement par une distance égale à l’arête du cube le long de l’axe des 𝑧, tandis que le point 𝐶 est séparé de l’origine selon l’axe des 𝑥 et l’axe des 𝑦 mais pas l’axe des 𝑧:𝐵=0,0,4417,𝐶=4417,4417,0.

Cela nous donne un moyen de trouver le vecteur 𝐶𝐵:𝐶𝐵=𝑂𝐵𝑂𝐶=0,0,44174417,4417,0=4417,4417,4417.

Pour trouver la projection demandée, nous pouvons utiliser la formule Proj𝑂𝐴=𝑂𝐴𝐶𝐵𝐶𝐵.

Nous avons donc maintenant besoin de connaitre la norme du vecteur 𝐶𝐵:𝐶𝐵=4417+4417+4417=31936289=5808289=44317.

On peut remplacer par cette valeur dans la formule, puis développer le produit scalaire comme suit:Proj𝑂𝐴=174434417,4417,44174417,4417,4417=1744344174417+44174417+44174417=1744344174417=44173.

Après avoir éliminé les facteurs communs, 44 et 17, au numérateur et au dénominateur de cette fraction, on obtient un dénominateur irrationnel. Bien qu’il soit possible de le rationaliser, mais cela n’est pas nécessaire car l’énoncé demandait une réponse au centième près:Proj𝑂𝐴=1,49431,49.

Il convient de noter que dans les problèmes géométriques tels que celui-ci, l’approche consistant à déterminer l’angle entre les vecteurs est tout à fait valable (et parfois plus efficace).

Dans le cas du cube, cependant, l’angle entre les diagonales n’étant pas une mesure connue couramment utilisée, nous avons privilégié l’approche consistant à déterminer les composantes des vecteurs. Déterminer l’angle entre ces vecteurs impliquerait un grand nombre des mêmes outils (tels que le produit scalaire).

Notons au passage que si nous avions choisi de chercher la mesure de l’angle, nous aurions trouvé que 𝜃=1370,53cos et non pas, comme on aurait pu le supposer, 90.

Comme dernière remarque dans cette fiche explicative, on remarque que la réponse à l’exemple précédent est négative. On peut voir la raison, en considérant les figures suivantes.

Dans les premiers exemples de cette fiche explicative, l’angle 𝜃 entre les deux vecteurs était inférieur à 90. Dans de tels cas, le vecteur 𝐴 possède une composante positive dans la direction du vecteur 𝐵.

Si, dans nos calculs, nous avions utilisé l’angle supplémentaire (noté 𝜙 sur les figures), notre réponse aurait comporté une erreur de signe, car coscoscos(𝜙)=(180𝜃)=(𝜃).

Cette erreur de signe s’explique par le fait que nous aurions en réalité calculé la projection de 𝐴 sur un vecteur quelconque 𝐶, qui est dans le sens contraire au vecteur 𝐵.

On peut interpréter géométriquement le fait qu’une projection d’un vecteur sur un autre donne une valeur négative en observant que notre vecteur d’origine, 𝐴, possède une composante orientée dans le sens contraire au vecteur 𝐶.

Ainsi, la projection est positive lorsque l’angle entre les deux vecteurs est inférieur à 90 et négative lorsque l’angle est supérieur à 90.

Points clés

  • On peut trouver la composante d’un vecteur 𝐴 dans la direction d’un autre vecteur 𝐵 en utilisant le principe de la projection d’un vecteur sur l’autre.
  • Sachant que 𝜃 est l’angle entre les vecteurs 𝐴 et 𝐵, on peut exprimer la projection de 𝐴 dans la direction de 𝐵 par Projcos𝐴=𝐴𝜃=𝐴𝐵𝐵.
  • Si 𝐴 et 𝐵 sont parallèles et de même sens, alors 𝜃=0 et Proj𝐴=𝐴.
  • Si 𝐴 et 𝐵 sont parallèles et de sens contraires, alors 𝜃=180 et Proj𝐴=𝐴.
  • Si 𝐴 et 𝐵 sont orthogonaux, alors 𝜃=90 et Proj𝐴=0.
  • Si l’angle entre les deux vecteurs est inférieur à 90, alors le vecteur 𝐴 possède une composante dans le même sens de 𝐵 et par conséquent Proj𝐴>0.
  • Si l’angle entre les deux vecteurs est supérieur à 90, alors le vecteur 𝐴 possède une composante dans le sens contraire à 𝐵 et par conséquent Proj𝐴<0.

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