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Déterminez la limite quand 𝑥 tend vers zéro de neuf plus un divisé par quatre 𝑥 multiplié par le sinus de deux 𝑥.
On nous demande d’évaluer la limite quand 𝑥 tend vers zéro d’un produit entre une fonction rationnelle et une fonction trigonométrique. Et nous pouvons essayer d’évaluer les limites des fonctions rationnelles et les fonctions trigonométriques par substitution directe. Nous pouvons donc essayer d’évaluer leurs produits par substitution directe.
En substituant 𝑥 est égal à zéro, on obtient neuf plus un divisé par quatre fois zéro multiplié par le sinus de deux fois zéro. Et nous voyons que c’est un problème. Cela se simplifie pour nous donner neuf plus un divisé par zéro, le tout multiplié par zéro. Et nous savons que nous ne pouvons pas utiliser la substitution directe si notre dénominateur et notre numérateur tendent vers zéro. Nous allons donc devoir trouver une autre façon d’évaluer cette limite.
Nous pourrions essayer de réécrire cette limite en fonction des limites que nous savons évaluer. Nous voyons dans la limite que l’on nous demande d’évaluer la fonction sinus divisée par une fonction linéaire. Et cela nous rappelle un résultat sur une limite trigonométrique utile que nous devrions mémoriser : la limite quand 𝑥 tend vers zéro du sinus de 𝑥 divisé par 𝑥 est égal à un. Alors, essayons de réécrire notre limite.
Nous allons commencer par développer le sinus de deux. Cela nous donne la limite quand 𝑥 tend vers zéro de neuf sinus de deux 𝑥 plus le sinus de deux 𝑥 divisé par quatre 𝑥. Et maintenant, nous voyons que nous pouvons évaluer la limite quand 𝑥 tend vers zéro de neuf fois le sinus de deux 𝑥 en utilisant la substitution directe. Et notre deuxième terme est presque sous une forme dont nous connaissons déjà la limite. Nous avons juste un facteur constant d’un quart, et nous prenons le sinus de deux 𝑥 au lieu du sinus de 𝑥.
Et nous connaissons différentes façons de réécrire le sinus de deux 𝑥 en fonction du sinus de 𝑥. Par exemple, nous pourrions utiliser la formule de l’angle double, et cela fonctionnerait. Cependant, nous allons réécrire notre formule pour la limite en fonction du sinus de deux 𝑥. Nous allons commencer par remplacer tous les termes de 𝑥 par deux 𝑥. Cela nous donne la limite quand deux 𝑥 tend vers zéro du sinus de deux 𝑥 divisé par deux 𝑥 égale un.
Nous devons faire attention ici, car la limite que nous essayons d’évaluer a 𝑥 qui tend vers zéro. Cependant, la limite que nous avons maintenant a deux 𝑥 qui tend vers zéro. Mais si deux 𝑥 tend vers zéro, alors 𝑥 doit devenir de plus en plus petit. En fait, 𝑥 doit tendre vers zéro aussi. Donc, nous avons la limite quand 𝑥 tend vers zéro du sinus de deux 𝑥 divisé par deux 𝑥 est égal à un.
Donc, pour utiliser notre nouvelle formule pour la limite, nous allons commencer par réécrire notre limite de somme comme la somme de deux limites. Comme nous l’avons déjà dit, nous pouvons évaluer la première limite en utilisant la substitution directe. En substituant 𝑥 est égal à zéro, nous obtenons neuf fois le sinus de deux fois zéro. Mais le sinus de zéro est égal à zéro. Donc, cette limite est simplement évaluée pour nous donner zéro.
Nous voulons évaluer notre deuxième limite en utilisant notre formule pour la limite. Cependant, nous voyons que nous avons quatre 𝑥 dans notre dénominateur au lieu de deux 𝑥. Mais rappelez-vous, quatre n’est qu’une constante. Ainsi, nous pourrions déplacer un facteur de un demi en dehors de notre limite. Et nous voyons maintenant que nous avons un demi multiplié par notre formule pour la limite. Donc, nous pouvons évaluer notre deuxième terme qui nous donne un demi multiplié par un, ce qui est juste égal à un demi.
Donc, nous avons montré que la limite quand 𝑥 tend vers zéro de neuf plus un divisé par quatre 𝑥 multiplié par le sinus de deux 𝑥 est égale à un demi.
