Transcription de la vidéo
Dans cette vidĂ©o, nous allons apprendre Ă dĂ©terminer les limites de fonctions trigonomĂ©triques. Nous nous aiderons de certaines rĂšgles. Commençons par rappeler ce quâest une limite. Si la limite de đ de đ„ lorsque đ„ tend vers đ existe, alors on peut dire quâelle est Ă©gale Ă une constante đż. Cela signifie que đ„ tend vers đ. Et đ de đ„ tend vers đż.
Lors de la dĂ©termination de limites de fonctions trigonomĂ©triques, certaines fonctions peuvent ĂȘtre trouvĂ©es en utilisant la substitution directe, par exemple, les limites de sin đ„ et cos đ„. Certaines fonctions nĂ©cessitent lâutilisation dâidentitĂ©s trigonomĂ©triques, comme celle prĂ©sentĂ©e ici, afin de les rĂ©Ă©crire sous une forme oĂč nous pouvons utiliser la substitution directe.
Cependant, dans certains cas, la substitution directe ne fonctionne pas. Un de ces cas est la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin đ„ sur đ„. Car lorsque nous essayons dâutiliser une substitution directe ici, nous obtenons sin de zĂ©ro sur zĂ©ro, qui est aussi Ă©gal Ă zĂ©ro sur zĂ©ro. Et cela nâest pas dĂ©fini. Et donc ici, nous avons atteint la premiĂšre rĂšgle qui nous aidera Ă dĂ©terminer les limites de fonctions trigonomĂ©triques. Nous avons que la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin đ„ sur đ„ est Ă©gale Ă un.
Alors la dĂ©monstration de cette rĂšgle dĂ©passe un peu le cadre de cette vidĂ©o. Cependant, si nous rĂ©flĂ©chissons Ă cette rĂšgle, nous pouvons comprendre intuitivement pourquoi elle fonctionne. Si nous pensons Ă nos approximations de petits angles, nous savons que lorsque đ„ est trĂšs petit, le sin de đ„ est Ă peu prĂšs Ă©gal Ă đ„. Dans notre limite, đ„ tend vers zĂ©ro. Cela signifie donc que đ„ devient de plus en plus petit. Et par consĂ©quent, il est logique que nous utilisions ici lâapproximation dâun petit angle. Nous obtenons que la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin đ„ sur đ„ est Ă peu prĂšs Ă©gale Ă đ„ sur đ„. La simplification par đ„ en haut et en bas de la fraction nous donne un.
Une autre façon de voir intuitivement cette limite est de tracer la courbe de sin đ„ sur đ„. Nous pouvons voir que la courbe tend vers un en zĂ©ro. Nous obtiendrions un rĂ©sultat similaire en considĂ©rant un tableau de valeurs pour sin de đ„ sur đ„. Voyons maintenant un exemple utilisant cette identitĂ©.
Ăvaluez la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin de đ„ sur sin de đ„ sur deux.
PremiĂšrement, nous pouvons essayer de rĂ©soudre cette limite en utilisant une substitution directe. Nous substituons đ„ Ă©gale zĂ©ro dans notre Ă©quation. Cependant, cela nous donne zĂ©ro sur zĂ©ro, ce qui est indĂ©fini. Nous devrons trouver cette limite par un autre moyen. Essayons dâutiliser la rĂšgle selon laquelle la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin đ„ sur đ„ est Ă©gale Ă un.
Pour obtenir quelque chose de cette forme, nous devons multiplier le numĂ©rateur et le dĂ©nominateur de notre limite par đ„. Cela nous permet dâĂ©crire notre limite comme la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin đ„ sur đ„ multipliĂ© par đ„ sur sin de đ„ sur deux.
Ensuite, nous allons utiliser la rĂšgle de limite, qui nous dit que la limite dâun produit de fonctions est Ă©gale au produit des limites de chaque fonction. Nous obtenons cela. Nous remarquons que la limite au terme de gauche du produit est identique Ă la limite de notre rĂšgle. Et nous pouvons donc dire que cette limite vaut un.
Afin dâĂ©valuer lâautre limite, rĂ©Ă©crivons notre rĂšgle, mais au lieu dâĂ©crire đ„, nous Ă©crivons đ„ sur deux. Lorsque đ„ sur deux tend vers zĂ©ro, đ„ tend vers zĂ©ro. Et donc nous pouvons Ă©crire cela. Ensuite, nous pouvons multiplier le numĂ©rateur et le dĂ©nominateur par deux. Cela nous donne la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de deux sin de đ„ sur deux sur đ„ Ă©gale un.
Et maintenant, nous avons une constante Ă lâintĂ©rieur de notre limite, qui est deux. Nous pouvons donc sortir cette constante de notre limite. Et nous divisons simplement les deux cĂŽtĂ©s de lâĂ©quation par deux. La limite Ă gauche de lâĂ©quation ici est trĂšs proche de la limite que nous essayons dâĂ©valuer. La seule diffĂ©rence est que les fractions dans les deux limites sont inverses lâune de lâautre.
Afin de rendre ces deux limites identiques, nous utilisons le fait que la limite dâun inverse est Ă©gale Ă lâinverse de la limite. Cela signifie que la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de đ„ sur sin de đ„ sur deux est Ă©gale Ă un sur la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin de đ„ sur deux sur đ„. Nous venons de constater que cette limite est Ă©gale Ă un demi. Nous pouvons donc remplacer cela. Et cela nous donne un sur un demi, ce qui est simplement Ă©gal Ă deux.
Et donc ici, nous avons trouvĂ© la valeur de la limite que nous essayons dâĂ©valuer. Et nous pouvons remplacer cela dans notre expression. Cela nous dit que la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin đ„ sur sin de đ„ sur deux est Ă©gale Ă un multipliĂ© par deux, soit un rĂ©sultat final de deux.
Une autre mĂ©thode pour rĂ©soudre cette question consiste Ă utiliser une identitĂ© trigonomĂ©trique. Nous utiliserons le fait que sin de deux đ est Ă©gal Ă deux sin đ cos đ. Si nous posons đ Ă©gal đ„ sur deux, nous obtenons que le sin de đ„ est Ă©gal Ă deux sin de đ„ sur deux fois cos de đ„ sur deux. Et nous pouvons substituer cette valeur de sin de đ„ au numĂ©rateur de notre limite. En faisant cela, nous obtenons la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de deux sin de đ„ sur deux multipliĂ© par cos de đ„ sur deux, le tout sur sin de đ„ sur deux.
Et donc nous pouvons simplifier le sin de đ„ sur deux en haut et en bas de la fraction. Cela nous donne la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de deux cos de đ„ sur deux. Et ici, nous pouvons simplement appliquer une substitution directe. Et puisque cos de zĂ©ro est Ă©gal Ă un, nous obtenons comme prĂ©cĂ©demment un rĂ©sultat de deux.
Dans lâexemple prĂ©cĂ©dent, nous avons vu comment nous pouvons adapter la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin de đ„ sur đ„ Ă©gale un afin de montrer que la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de đ„ sur sin de đ„ sur deux Ă©gale deux. ConsidĂ©rons le cas gĂ©nĂ©ral de la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin de đđ„ sur đ„.
En prenant notre rĂšgle dâorigine et en substituant đđ„ par đ„, nous obtenons ceci. Cependant, puisque đ est une constante, si đđ„ tend vers zĂ©ro, alors cela signifie que đ„ tend vers zĂ©ro. Et donc au lieu dâĂ©crire đđ„ tend vers zĂ©ro, nous pouvons simplement Ă©crire đ„ tend vers zĂ©ro puisque ces deux expressions sont Ă©quivalentes.
Ensuite, nous pouvons factoriser le đ au dĂ©nominateur de notre fraction. Notre fraction devient un sur đ multipliĂ© par sin de đđ„ sur đ„. Puisque un sur đ est une constante, nous pouvons le sortir de notre limite.
Pour notre derniĂšre Ă©tape ici, nous multiplions les deux cĂŽtĂ©s par đ. Et cela nous donne une nouvelle rĂšgle. Nous avons que la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin de đđ„ sur đ„ Ă©gale đ. Nous pouvons encore adapter cette rĂšgle afin de trouver la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de tan de đđ„ sur đ„. Nous commençons par Ă©crire tan de đđ„ comme sin de đđ„ sur cos de đđ„.
Ensuite, nous utilisons le fait que la limite dâun produit de fonctions est Ă©gale au produit de la limite de ces fonctions. Et nous obtenons cela. Et nous pouvons voir que la limite du terme de gauche est semblable Ă la rĂšgle que nous venons de constater. Et par consĂ©quent, elle est Ă©gale Ă đ. Et nous pouvons utiliser la substitution directe afin de trouver la limite sur le cĂŽtĂ© droit. Puisque cos de zĂ©ro vaut un, nous obtenons que cela est Ă©gal Ă đ. Et nous avons donc trouvĂ© une nouvelle rĂšgle. La limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de tan đđ„ sur đ„ Ă©gale đ. Nous sommes maintenant prĂȘts Ă passer Ă notre exemple suivant.
DĂ©terminez la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin au carrĂ© de sept đ„ plus trois tan au carrĂ© de trois đ„ sur huit đ„ au carrĂ©.
Si nous essayions la substitution directe, nous obtiendrions zĂ©ro sur zĂ©ro, ce qui nâest pas dĂ©fini. Essayons de trouver cette limite en utilisant ces rĂšgles. Nous utiliserons Ă©galement le fait que la limite dâune somme de fonctions est Ă©gale Ă la somme des limites des fonctions. Par consĂ©quent, nous pouvons Ă©crire notre limite comme la somme de ces deux limites. Nous remarquons que nous pouvons sortir le facteur dâun huitiĂšme de la premiĂšre limite et le facteur de trois huitiĂšmes de la deuxiĂšme limite.
Ensuite, nous remarquons que les deux numĂ©rateurs et les deux dĂ©nominateurs sont des carrĂ©s, ce qui nous permet dâĂ©crire nos limites comme ceci. Maintenant, nous pouvons utiliser le fait que la limite dâun carrĂ© dâune fonction est Ă©gale au carrĂ© de la limite de la fonction. Ce faisant, nous obtenons cela. Et nous remarquons que nos limites ressemblent beaucoup Ă celles que nous avons Ă©crites au dĂ©but.
En substituant đ Ă©gale sept dans la rĂšgle de la premiĂšre limite, nous voyons que notre limite de gauche doit ĂȘtre Ă©gale Ă sept. Et en substituant đ Ă©gale trois dans la deuxiĂšme rĂšgle de limite, nous voyons que notre limite de droite doit ĂȘtre Ă©gale Ă trois. Nous obtenons un huitiĂšme multipliĂ© par sept au carrĂ© plus trois huitiĂšmes multipliĂ© par trois au carrĂ©. En simplifiant, nous obtenons un rĂ©sultat de 19 sur deux.
Examinons maintenant une rĂšgle diffĂ©rente qui est utile pour dĂ©terminer les limites de fonctions trigonomĂ©triques sous une autre forme. La rĂšgle que nous allons utiliser est la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de un moins cos đ„ sur đ„ Ă©gale zĂ©ro. La dĂ©monstration de cette rĂšgle dĂ©passe encore le cadre de cette vidĂ©o. Cependant, nous pouvons comprendre cette rĂšgle intuitivement en considĂ©rant lâapproximation du cos pour un petit angle.
Nous avons que pour de petites valeurs de đ„, cos de đ„ est Ă peu prĂšs Ă©gal Ă un moins đ„ au carrĂ© sur deux. Donc lorsque đ„ tend vers zĂ©ro, cos de đ„ tend vers un moins đ„ au carrĂ© sur deux. Nous obtenons que la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de un moins cos de đ„ sur đ„ est Ă peu prĂšs Ă©gale Ă la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de un moins un moins đ„ au carrĂ© sur deux, le tout sur đ„, ce qui se simplifie en limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de đ„ sur deux. En utilisant une substitution directe, nous voyons que cela est Ă©gal Ă zĂ©ro, ce qui est conforme Ă la rĂšgle que nous avons Ă©noncĂ©e au dĂ©but.
Une autre façon de voir cela intuitivement est de considĂ©rer le graphique de un moins cos de đ„ sur đ„. Nous pouvons voir sur le graphique que lorsque la valeur de đ„ tend vers zĂ©ro, la courbe tend Ă©galement vers zĂ©ro. Nous aurions un rĂ©sultat similaire en utilisant une table de valeurs. Prenons maintenant un autre exemple.
DĂ©terminez la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de neuf moins neuf cos de sept đ„ sur trois đ„.
Tout dâabord, nous remarquons que nous pouvons simplifier un facteur de trois en haut et en bas de cette fraction, ce qui nous donne cette limite. Ensuite, nous remarquons que nous pouvons factoriser par trois et le sortir de la limite. Si nous essayons de faire une substitution directe Ă ce stade, nous voyons que nous obtenons zĂ©ro sur zĂ©ro, ce qui est indĂ©fini.
Utilisons plutĂŽt le fait que la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de un moins cos de đ„ sur đ„ est Ă©gale Ă zĂ©ro. Nous pouvons en fait adapter cette formule afin de constater que la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de un moins cos de đđ„ sur đ„ est Ă©gale Ă zĂ©ro, oĂč đ est juste une constante. Nous pouvons le faire en substituant đđ„ Ă đ„ dans la premiĂšre rĂšgle. Nous obtenons que la limite lorsque đđ„ tend vers zĂ©ro de un moins cos de đđ„ sur đđ„ est Ă©gale Ă zĂ©ro.
Alors comme đ est une constante et đđ„ tend vers Ă zĂ©ro, cela signifie que đ„ tend aussi vers zĂ©ro. Au lieu dâĂ©crire đđ„ tend vers zĂ©ro, nous pouvons simplement Ă©crire đ„ tend vers zĂ©ro. Ensuite, nous remarquons que nous avons un facteur đ au dĂ©nominateur de cette fraction. Et nous pouvons donc factoriser ce đ et le sortir de la limite.
Ensuite, nous pouvons multiplier les deux cĂŽtĂ©s de lâĂ©quation par đ. Puisque le cĂŽtĂ© droit est zĂ©ro, zĂ©ro fois đ nous donne zĂ©ro. Donc le cĂŽtĂ© droit reste zĂ©ro. Et maintenant, nous avons dĂ©terminĂ© que la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de un moins cos de đđ„ sur đ„ est zĂ©ro, ce que nous essayions de montrer. En substituant đ Ă©gale sept dans cette formule, nous pouvons voir que notre limite ici est simplement zĂ©ro. Et puisque trois multipliĂ© par zĂ©ro est tout simplement zĂ©ro, nous constatons que la rĂ©ponse ici est simplement zĂ©ro.
Ensuite, voyons un exemple un peu plus délicat.
Trouvez la limite lorsque đ„ tend vers đ sur deux de deux moins deux sin de đ„ sur quatre đ„ moins deux đ.
Tout dâabord, nous essayons de dĂ©terminer cela par substitution directe. Cependant, nous obtenons zĂ©ro sur zĂ©ro, ce qui est indĂ©fini. Nous devons donc dĂ©terminer cette limite par un autre moyen. Commençons par simplifier un facteur deux au numĂ©rateur et au dĂ©nominateur de la fraction. Voyons maintenant certaines des rĂšgles que nous connaissons. En considĂ©rant la premiĂšre rĂšgle ici, nous remarquons que la valeur Ă lâintĂ©rieur du sinus doit ĂȘtre la mĂȘme que la valeur au dĂ©nominateur de la fonction. Dans notre limite, nous avons sin de đ„ au numĂ©rateur. Cependant, au dĂ©nominateur, nous avons deux đ„ moins đ. Et ces deux choses ne sont pas Ă©gales. Par consĂ©quent, nous ne pouvons pas utiliser cette premiĂšre rĂšgle.
Pour utiliser la deuxiĂšme rĂšgle, nous avons besoin dâun cos đ„ au numĂ©rateur. Cependant, dans notre limite, nous avons actuellement un sinus. Ici, nous allons utiliser une identitĂ© afin de changer le sinus en cosinus. Nous avons que le sin de đ„ est Ă©gal Ă cos de đ„ moins đ sur deux. Et nous pouvons substituer cela dans notre limite. En factorisant le dĂ©nominateur de la fraction ici, nous pouvons voir quâil est maintenant sous une forme trĂšs similaire Ă la rĂšgle que nous connaissons.
Ă ce stade, nous devons effectuer une substitution. Nous substituons par đą Ă©gale đ„ moins đ sur deux. Cependant, nous devons dâabord considĂ©rer ce que devient notre limite. Nous avons đ„ tend vers đ sur deux. Eh bien, nous allons simplement considĂ©rer ce que devient đą lorsque đ„ tend vers đ sur deux. Notre valeur de đą tend vers đ sur deux moins đ sur deux, ce qui est tout simplement zĂ©ro. Et donc maintenant, nous sommes prĂȘts Ă remplacer đą Ă©gale đ„ moins đ sur deux dans notre limite. Nous obtenons la limite lorsque đą tend vers zĂ©ro de un moins cos de đą sur deux đą. Nous pouvons factoriser par un demi. Et maintenant, nous remarquons que notre limite est identique Ă notre rĂšgle. Et donc, par consĂ©quent, elle doit ĂȘtre Ă©gale Ă zĂ©ro. Et cela nous donne un rĂ©sultat de zĂ©ro.
Dans ce dernier exemple, nous avons vu que nous devons faire attention aux limites trigonomĂ©triques car il peut parfois ĂȘtre difficile de dĂ©terminer comment les Ă©valuer. Il est trĂšs important de garder Ă lâesprit les identitĂ©s trigonomĂ©triques.
RĂ©capitulons maintenant certains des points clĂ©s de cette vidĂ©o. Points clĂ©s. La limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin de đ„ sur đ„ est Ă©gale Ă un. Cela nous donne que la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de sin de đđ„ sur đ„ est Ă©gale Ă đ. Et cela nous amĂšne ensuite Ă la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de tan de đđ„ sur đ„ Ă©gale đ. Nous avons Ă©galement que la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de un moins cos de đ„ sur đ„ est Ă©gale Ă zĂ©ro, ce qui nous amĂšne Ă la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de un moins cos de đđ„ sur đ„ est aussi Ă©gale Ă zĂ©ro. Et si nous ne pouvons pas rĂ©soudre la limite dâune fonction trigonomĂ©trique en utilisant la substitution directe ou lâune des rĂšgles ci-dessus, alors nous devrions essayer dâutiliser certaines identitĂ©s trigonomĂ©triques, telles que celles prĂ©sentĂ©es ici.