Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les limites de fonctions trigonométriques. Nous nous aiderons de certaines règles. Commençons par rappeler ce qu’est une limite. Si la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 existe, alors on peut dire qu’elle est égale à une constante 𝐿. Cela signifie que 𝑥 tend vers 𝑎. Et 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿.
Lors de la détermination de limites de fonctions trigonométriques, certaines fonctions peuvent être trouvées en utilisant la substitution directe, par exemple, les limites de sin 𝑥 et cos 𝑥. Certaines fonctions nécessitent l’utilisation d’identités trigonométriques, comme celle présentée ici, afin de les réécrire sous une forme où nous pouvons utiliser la substitution directe.
Cependant, dans certains cas, la substitution directe ne fonctionne pas. Un de ces cas est la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin 𝑥 sur 𝑥. Car lorsque nous essayons d’utiliser une substitution directe ici, nous obtenons sin de zéro sur zéro, qui est aussi égal à zéro sur zéro. Et cela n’est pas défini. Et donc ici, nous avons atteint la première règle qui nous aidera à déterminer les limites de fonctions trigonométriques. Nous avons que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin 𝑥 sur 𝑥 est égale à un.
Alors la démonstration de cette règle dépasse un peu le cadre de cette vidéo. Cependant, si nous réfléchissons à cette règle, nous pouvons comprendre intuitivement pourquoi elle fonctionne. Si nous pensons à nos approximations de petits angles, nous savons que lorsque 𝑥 est très petit, le sin de 𝑥 est à peu près égal à 𝑥. Dans notre limite, 𝑥 tend vers zéro. Cela signifie donc que 𝑥 devient de plus en plus petit. Et par conséquent, il est logique que nous utilisions ici l’approximation d’un petit angle. Nous obtenons que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin 𝑥 sur 𝑥 est à peu près égale à 𝑥 sur 𝑥. La simplification par 𝑥 en haut et en bas de la fraction nous donne un.
Une autre façon de voir intuitivement cette limite est de tracer la courbe de sin 𝑥 sur 𝑥. Nous pouvons voir que la courbe tend vers un en zéro. Nous obtiendrions un résultat similaire en considérant un tableau de valeurs pour sin de 𝑥 sur 𝑥. Voyons maintenant un exemple utilisant cette identité.
Évaluez la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin de 𝑥 sur sin de 𝑥 sur deux.
Premièrement, nous pouvons essayer de résoudre cette limite en utilisant une substitution directe. Nous substituons 𝑥 égale zéro dans notre équation. Cependant, cela nous donne zéro sur zéro, ce qui est indéfini. Nous devrons trouver cette limite par un autre moyen. Essayons d’utiliser la règle selon laquelle la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin 𝑥 sur 𝑥 est égale à un.
Pour obtenir quelque chose de cette forme, nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur de notre limite par 𝑥. Cela nous permet d’écrire notre limite comme la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin 𝑥 sur 𝑥 multiplié par 𝑥 sur sin de 𝑥 sur deux.
Ensuite, nous allons utiliser la règle de limite, qui nous dit que la limite d’un produit de fonctions est égale au produit des limites de chaque fonction. Nous obtenons cela. Nous remarquons que la limite au terme de gauche du produit est identique à la limite de notre règle. Et nous pouvons donc dire que cette limite vaut un.
Afin d’évaluer l’autre limite, réécrivons notre règle, mais au lieu d’écrire 𝑥, nous écrivons 𝑥 sur deux. Lorsque 𝑥 sur deux tend vers zéro, 𝑥 tend vers zéro. Et donc nous pouvons écrire cela. Ensuite, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par deux. Cela nous donne la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de deux sin de 𝑥 sur deux sur 𝑥 égale un.
Et maintenant, nous avons une constante à l’intérieur de notre limite, qui est deux. Nous pouvons donc sortir cette constante de notre limite. Et nous divisons simplement les deux côtés de l’équation par deux. La limite à gauche de l’équation ici est très proche de la limite que nous essayons d’évaluer. La seule différence est que les fractions dans les deux limites sont inverses l’une de l’autre.
Afin de rendre ces deux limites identiques, nous utilisons le fait que la limite d’un inverse est égale à l’inverse de la limite. Cela signifie que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 sur sin de 𝑥 sur deux est égale à un sur la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin de 𝑥 sur deux sur 𝑥. Nous venons de constater que cette limite est égale à un demi. Nous pouvons donc remplacer cela. Et cela nous donne un sur un demi, ce qui est simplement égal à deux.
Et donc ici, nous avons trouvé la valeur de la limite que nous essayons d’évaluer. Et nous pouvons remplacer cela dans notre expression. Cela nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin 𝑥 sur sin de 𝑥 sur deux est égale à un multiplié par deux, soit un résultat final de deux.
Une autre méthode pour résoudre cette question consiste à utiliser une identité trigonométrique. Nous utiliserons le fait que sin de deux 𝜃 est égal à deux sin 𝜃 cos 𝜃. Si nous posons 𝜃 égal 𝑥 sur deux, nous obtenons que le sin de 𝑥 est égal à deux sin de 𝑥 sur deux fois cos de 𝑥 sur deux. Et nous pouvons substituer cette valeur de sin de 𝑥 au numérateur de notre limite. En faisant cela, nous obtenons la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de deux sin de 𝑥 sur deux multiplié par cos de 𝑥 sur deux, le tout sur sin de 𝑥 sur deux.
Et donc nous pouvons simplifier le sin de 𝑥 sur deux en haut et en bas de la fraction. Cela nous donne la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de deux cos de 𝑥 sur deux. Et ici, nous pouvons simplement appliquer une substitution directe. Et puisque cos de zéro est égal à un, nous obtenons comme précédemment un résultat de deux.
Dans l’exemple précédent, nous avons vu comment nous pouvons adapter la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin de 𝑥 sur 𝑥 égale un afin de montrer que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 sur sin de 𝑥 sur deux égale deux. Considérons le cas général de la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin de 𝑎𝑥 sur 𝑥.
En prenant notre règle d’origine et en substituant 𝑎𝑥 par 𝑥, nous obtenons ceci. Cependant, puisque 𝑎 est une constante, si 𝑎𝑥 tend vers zéro, alors cela signifie que 𝑥 tend vers zéro. Et donc au lieu d’écrire 𝑎𝑥 tend vers zéro, nous pouvons simplement écrire 𝑥 tend vers zéro puisque ces deux expressions sont équivalentes.
Ensuite, nous pouvons factoriser le 𝑎 au dénominateur de notre fraction. Notre fraction devient un sur 𝑎 multiplié par sin de 𝑎𝑥 sur 𝑥. Puisque un sur 𝑎 est une constante, nous pouvons le sortir de notre limite.
Pour notre dernière étape ici, nous multiplions les deux côtés par 𝑎. Et cela nous donne une nouvelle règle. Nous avons que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin de 𝑎𝑥 sur 𝑥 égale 𝑎. Nous pouvons encore adapter cette règle afin de trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de tan de 𝑎𝑥 sur 𝑥. Nous commençons par écrire tan de 𝑎𝑥 comme sin de 𝑎𝑥 sur cos de 𝑎𝑥.
Ensuite, nous utilisons le fait que la limite d’un produit de fonctions est égale au produit de la limite de ces fonctions. Et nous obtenons cela. Et nous pouvons voir que la limite du terme de gauche est semblable à la règle que nous venons de constater. Et par conséquent, elle est égale à 𝑎. Et nous pouvons utiliser la substitution directe afin de trouver la limite sur le côté droit. Puisque cos de zéro vaut un, nous obtenons que cela est égal à 𝑎. Et nous avons donc trouvé une nouvelle règle. La limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de tan 𝑎𝑥 sur 𝑥 égale 𝑎. Nous sommes maintenant prêts à passer à notre exemple suivant.
Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin au carré de sept 𝑥 plus trois tan au carré de trois 𝑥 sur huit 𝑥 au carré.
Si nous essayions la substitution directe, nous obtiendrions zéro sur zéro, ce qui n’est pas défini. Essayons de trouver cette limite en utilisant ces règles. Nous utiliserons également le fait que la limite d’une somme de fonctions est égale à la somme des limites des fonctions. Par conséquent, nous pouvons écrire notre limite comme la somme de ces deux limites. Nous remarquons que nous pouvons sortir le facteur d’un huitième de la première limite et le facteur de trois huitièmes de la deuxième limite.
Ensuite, nous remarquons que les deux numérateurs et les deux dénominateurs sont des carrés, ce qui nous permet d’écrire nos limites comme ceci. Maintenant, nous pouvons utiliser le fait que la limite d’un carré d’une fonction est égale au carré de la limite de la fonction. Ce faisant, nous obtenons cela. Et nous remarquons que nos limites ressemblent beaucoup à celles que nous avons écrites au début.
En substituant 𝑎 égale sept dans la règle de la première limite, nous voyons que notre limite de gauche doit être égale à sept. Et en substituant 𝑎 égale trois dans la deuxième règle de limite, nous voyons que notre limite de droite doit être égale à trois. Nous obtenons un huitième multiplié par sept au carré plus trois huitièmes multiplié par trois au carré. En simplifiant, nous obtenons un résultat de 19 sur deux.
Examinons maintenant une règle différente qui est utile pour déterminer les limites de fonctions trigonométriques sous une autre forme. La règle que nous allons utiliser est la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos 𝑥 sur 𝑥 égale zéro. La démonstration de cette règle dépasse encore le cadre de cette vidéo. Cependant, nous pouvons comprendre cette règle intuitivement en considérant l’approximation du cos pour un petit angle.
Nous avons que pour de petites valeurs de 𝑥, cos de 𝑥 est à peu près égal à un moins 𝑥 au carré sur deux. Donc lorsque 𝑥 tend vers zéro, cos de 𝑥 tend vers un moins 𝑥 au carré sur deux. Nous obtenons que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑥 sur 𝑥 est à peu près égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins un moins 𝑥 au carré sur deux, le tout sur 𝑥, ce qui se simplifie en limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 sur deux. En utilisant une substitution directe, nous voyons que cela est égal à zéro, ce qui est conforme à la règle que nous avons énoncée au début.
Une autre façon de voir cela intuitivement est de considérer le graphique de un moins cos de 𝑥 sur 𝑥. Nous pouvons voir sur le graphique que lorsque la valeur de 𝑥 tend vers zéro, la courbe tend également vers zéro. Nous aurions un résultat similaire en utilisant une table de valeurs. Prenons maintenant un autre exemple.
Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de neuf moins neuf cos de sept 𝑥 sur trois 𝑥.
Tout d’abord, nous remarquons que nous pouvons simplifier un facteur de trois en haut et en bas de cette fraction, ce qui nous donne cette limite. Ensuite, nous remarquons que nous pouvons factoriser par trois et le sortir de la limite. Si nous essayons de faire une substitution directe à ce stade, nous voyons que nous obtenons zéro sur zéro, ce qui est indéfini.
Utilisons plutôt le fait que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑥 sur 𝑥 est égale à zéro. Nous pouvons en fait adapter cette formule afin de constater que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑎𝑥 sur 𝑥 est égale à zéro, où 𝑎 est juste une constante. Nous pouvons le faire en substituant 𝑎𝑥 à 𝑥 dans la première règle. Nous obtenons que la limite lorsque 𝑎𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑎𝑥 sur 𝑎𝑥 est égale à zéro.
Alors comme 𝑎 est une constante et 𝑎𝑥 tend vers à zéro, cela signifie que 𝑥 tend aussi vers zéro. Au lieu d’écrire 𝑎𝑥 tend vers zéro, nous pouvons simplement écrire 𝑥 tend vers zéro. Ensuite, nous remarquons que nous avons un facteur 𝑎 au dénominateur de cette fraction. Et nous pouvons donc factoriser ce 𝑎 et le sortir de la limite.
Ensuite, nous pouvons multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑎. Puisque le côté droit est zéro, zéro fois 𝑎 nous donne zéro. Donc le côté droit reste zéro. Et maintenant, nous avons déterminé que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑎𝑥 sur 𝑥 est zéro, ce que nous essayions de montrer. En substituant 𝑎 égale sept dans cette formule, nous pouvons voir que notre limite ici est simplement zéro. Et puisque trois multiplié par zéro est tout simplement zéro, nous constatons que la réponse ici est simplement zéro.
Ensuite, voyons un exemple un peu plus délicat.
Trouvez la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 sur deux de deux moins deux sin de 𝑥 sur quatre 𝑥 moins deux 𝜋.
Tout d’abord, nous essayons de déterminer cela par substitution directe. Cependant, nous obtenons zéro sur zéro, ce qui est indéfini. Nous devons donc déterminer cette limite par un autre moyen. Commençons par simplifier un facteur deux au numérateur et au dénominateur de la fraction. Voyons maintenant certaines des règles que nous connaissons. En considérant la première règle ici, nous remarquons que la valeur à l’intérieur du sinus doit être la même que la valeur au dénominateur de la fonction. Dans notre limite, nous avons sin de 𝑥 au numérateur. Cependant, au dénominateur, nous avons deux 𝑥 moins 𝜋. Et ces deux choses ne sont pas égales. Par conséquent, nous ne pouvons pas utiliser cette première règle.
Pour utiliser la deuxième règle, nous avons besoin d’un cos 𝑥 au numérateur. Cependant, dans notre limite, nous avons actuellement un sinus. Ici, nous allons utiliser une identité afin de changer le sinus en cosinus. Nous avons que le sin de 𝑥 est égal à cos de 𝑥 moins 𝜋 sur deux. Et nous pouvons substituer cela dans notre limite. En factorisant le dénominateur de la fraction ici, nous pouvons voir qu’il est maintenant sous une forme très similaire à la règle que nous connaissons.
À ce stade, nous devons effectuer une substitution. Nous substituons par 𝑢 égale 𝑥 moins 𝜋 sur deux. Cependant, nous devons d’abord considérer ce que devient notre limite. Nous avons 𝑥 tend vers 𝜋 sur deux. Eh bien, nous allons simplement considérer ce que devient 𝑢 lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 sur deux. Notre valeur de 𝑢 tend vers 𝜋 sur deux moins 𝜋 sur deux, ce qui est tout simplement zéro. Et donc maintenant, nous sommes prêts à remplacer 𝑢 égale 𝑥 moins 𝜋 sur deux dans notre limite. Nous obtenons la limite lorsque 𝑢 tend vers zéro de un moins cos de 𝑢 sur deux 𝑢. Nous pouvons factoriser par un demi. Et maintenant, nous remarquons que notre limite est identique à notre règle. Et donc, par conséquent, elle doit être égale à zéro. Et cela nous donne un résultat de zéro.
Dans ce dernier exemple, nous avons vu que nous devons faire attention aux limites trigonométriques car il peut parfois être difficile de déterminer comment les évaluer. Il est très important de garder à l’esprit les identités trigonométriques.
Récapitulons maintenant certains des points clés de cette vidéo. Points clés. La limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin de 𝑥 sur 𝑥 est égale à un. Cela nous donne que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin de 𝑎𝑥 sur 𝑥 est égale à 𝑎. Et cela nous amène ensuite à la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de tan de 𝑎𝑥 sur 𝑥 égale 𝑎. Nous avons également que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑥 sur 𝑥 est égale à zéro, ce qui nous amène à la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑎𝑥 sur 𝑥 est aussi égale à zéro. Et si nous ne pouvons pas résoudre la limite d’une fonction trigonométrique en utilisant la substitution directe ou l’une des règles ci-dessus, alors nous devrions essayer d’utiliser certaines identités trigonométriques, telles que celles présentées ici.