Vidéo : Limites des fonctions trigonométriques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment évaluer les limites des fonctions trigonométriques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les limites des fonctions trigonométriques. Nous allons utiliser certaines règles pour nous aider. Commençons par nous rappeler ce qu’est une limite. Si la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 existe, alors nous pouvons dire qu’elle est égale à une constante 𝐿. Et cela signifie que 𝑥 tend vers 𝑎. La fonction 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿.

Lorsque vous déterminez les limites des fonctions trigonométriques, il y a certaines fonctions qui peuvent être déterminées en utilisant la substitution directe, par exemple les limites de sin 𝑥 et de cos 𝑥. Certaines fonctions nécessitent l’utilisation des formules de trigonométrie, telles que celle représentée ici, afin de les mettre dans une forme nous permettant d’utiliser la substitution directe.

Cependant, il existe des cas où la substitution directe ne fonctionne pas. Un de ces cas est la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin 𝑥 sur 𝑥. Puisque nous essayons ici d’utiliser la substitution directe, nous obtenons sin de zéro sur zéro, qui est aussi égal à zéro sur zéro. Et ceci est indéfini. Nous sommes donc arrivés à la première règle que nous utiliserons pour nous aider à trouver les limites des fonctions trigonométriques. Nous avons la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin 𝑥 sur 𝑥 est égale à un.

Maintenant, la preuve de cette règle dépasse un peu le cadre de cette vidéo. Cependant, si nous pensons à cette règle d’une certaine manière, nous pouvons comprendre intuitivement pourquoi elle fonctionne. Si nous réfléchissons aux approximations de notre petit angle, nous savons que lorsque 𝑥 est très très petit, sin de 𝑥 est à peu près égal à 𝑥. Dans notre limite, nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro. Cela signifie donc que 𝑥 deviendra de plus en plus petit. Et ainsi, il est logique que nous utilisions ici l’approximation du petit angle. Nous obtenons que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro du sin 𝑥 sur 𝑥 est à peu près égale à 𝑥 sur 𝑥. L’annulation des 𝑥s en haut et en bas de la fraction nous donne un.

Une autre façon de penser intuitivement à cette limite est de représenter sin 𝑥 sur 𝑥 graphiquement. Le graphique montre que la droite s’approche de zéro. Nous obtiendrions un résultat similaire en considérant une table de valeurs pour sin de 𝑥 sur 𝑥. Considérons maintenant un exemple utilisant cette formule.

Évaluez la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin de 𝑥 sur sin de 𝑥 sur deux.

Premièrement, nous pouvons essayer de résoudre cette limite en utilisant la substitution directe. Nous substituons 𝑥 égale zéro dans notre équation. Cependant, cela nous laisse avec zéro sur zéro, ce qui est indéfini. Nous devrons déterminer cette limite par un autre moyen. Essayons d’utiliser la règle selon laquelle la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin 𝑥 sur 𝑥 est égale à un.

Pour obtenir quelque chose de cette forme, nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur de notre limite par 𝑥. Ce faisant, cela nous permet d’écrire notre limite comme la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin 𝑥 sur 𝑥 fois 𝑥 sur sin de 𝑥 sur deux.

Ensuite, nous allons utiliser la règle de la limite, qui nous dit que la limite d’un produit de fonctions est égale au produit des limites de fonctions. Nous obtenons ceci. Nous remarquons que la limite à gauche du produit est identique à la limite dans notre règle. Nous pouvons donc dire que cette limite égale simplement un.

Pour évaluer l’autre limite, réécrivons notre règle selon laquelle, au lieu d’écrire 𝑥, nous écrirons 𝑥 sur deux. 𝑥 sur deux tend vers zéro est pareil à 𝑥 tend vers zéro. Et nous pouvons donc écrire ceci ici. Ensuite, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par deux. Cela nous laisse avec la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de deux sin de 𝑥 sur deux sur 𝑥 égale un.

Et maintenant nous avons une constante dans notre limite, qui est deux. Nous pouvons donc factoriser cette constante en dehors de notre limite. Et nous divisons simplement les deux membres de l’équation par deux. La limite du côté gauche de l’équation ici est très proche de la limite que nous essayons d’évaluer. La seule différence est que les fractions dans les deux limites sont réciproques l’une de l’autre.

Afin de rendre ces deux limites identiques, nous allons utiliser le fait que la limite d’une réciproque est égale à la réciproque de la limite. Cela signifie que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 sur sin de 𝑥 sur deux équivaut à un sur la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin de 𝑥 sur deux sur 𝑥. Nous venons de constater que cette limite est égale à un demi. Donc nous pouvons substituer cela ici. Et cela nous donne un sur un demi, ce qui égale deux.

Nous avons donc déterminé ici la valeur de la limite que nous essayons d’évaluer. Et nous pouvons réintégrer ceci dans notre équation. Cela nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin 𝑥 sur sin de 𝑥 sur deux est égale à un multiplié par deux, ce qui nous donne une solution de deux.

Une autre méthode pour résoudre cette question consiste à utiliser une formule trigonométrique. Nous utiliserons le fait que sin de deux 𝜃 est égal à deux sin 𝜃 cos 𝜃. Si nous considérons 𝜃 égal 𝑥 sur deux, nous obtenons que sin de 𝑥 égale deux sin de 𝑥 sur deux fois cos de 𝑥 sur deux. Et nous pouvons substituer cette valeur de sin de 𝑥 au numérateur de notre limite. En faisant cela, nous obtenons la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro sur deux sinus de 𝑥 sur deux fois cos de 𝑥 sur deux, le tout sur sin de 𝑥 sur deux.

Et ainsi nous pouvons annuler le sin de 𝑥 sur deux en haut et en bas de la fraction. Cela nous laisse avec la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de deux cos de 𝑥 sur deux. Et ici, nous pouvons simplement appliquer la substitution directe. Et puisque le cos de zéro est égal à un, nous obtenons la même solution précédente qui est deux.

Dans ce dernier exemple, nous avons vu comment adapter la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin de 𝑥 sur 𝑥 égale un afin de montrer que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 sur sin de 𝑥 sur deux égale deux. Considérons le cas général de la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin de 𝑎𝑥 sur 𝑥.

En prenant notre règle initiale et en substituant dans 𝑎𝑥 pour 𝑥, nous obtenons ceci. Cependant, puisque 𝑎 est une constante, si 𝑎𝑥 tend vers zéro, cela signifie alors que 𝑥 tend vers zéro. Ainsi, au lieu d’écrire « 𝑎𝑥 tend vers zéro », nous pouvons simplement écrire 𝑥 tend vers zéro puisque ces deux sont équivalentes.

Ensuite, nous pouvons factoriser le 𝑎 dans le dénominateur de notre fraction. Notre fraction devient un sur 𝑎 multiplié par sin de 𝑎𝑥 sur 𝑥. Étant donné que un sur 𝑎 n’est qu’une constante, nous pouvons le factoriser hors de notre limite.

Pour notre dernière étape ici, nous multiplions les deux membres par 𝑎. Et cela nous laisse avec une nouvelle règle. Nous avons que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin de 𝑎𝑥 sur 𝑥 est égale à 𝑎. Nous pouvons encore adapter cette règle afin de trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de tan de 𝑎𝑥 sur 𝑥. Nous commençons par écrire tan de 𝑎𝑥 en tant que sin de 𝑎𝑥 sur cos de 𝑎𝑥.

Nous utiliserons ensuite le fait que la limite d’un produit de fonctions est égale au produit de la limite de ces fonctions. Et nous obtenons ceci. Et nous pouvons voir que la limite au membre gauche est équivalente à la règle que nous venons de dériver. Et donc, égale 𝑎. Et nous pouvons utiliser la substitution directe afin de trouver la limite du membre droit. Comme cos de zéro est un, on obtient que ceci égale 𝑎. Nous avons donc trouvé une nouvelle règle. C’est que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de tan 𝑎𝑥 sur 𝑥 est égale à 𝑎. Nous sommes maintenant prêts à passer à notre exemple suivant.

Trouvez la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin au carré de sept 𝑥 plus trois tan au carré de trois 𝑥 sur huit 𝑥 au carré.

Si nous essayions la substitution directe, nous obtiendrions zéro sur zéro, qui est indéfinie. Essayons de trouver cette limite en utilisant ces règles. Nous utiliserons également le fait que la limite d’une somme de fonctions est égale à la somme des limites de fonctions. Nous pouvons donc écrire notre limite comme la somme de ces deux limites. Nous remarquons que nous pouvons prendre un huitième comme facteur de la première limite et trois huitièmes comme facteur de la deuxième limite.

Ensuite, nous remarquons que les deux numérateurs et les deux dénominateurs sont des carrés, ce qui nous permet d’écrire nos limites de la sorte. Nous pouvons maintenant utiliser le fait que la limite d’un carré d’une fonction est égale au carré de la limite de la fonction. Ce faisant, nous nous retrouvons avec cela. Et nous remarquons que nos limites ressemblent beaucoup à celles que nous avons écrites au début.

En substituant 𝑎 égale sept dans la règle de la première limite, on voit que notre limite à gauche doit être égale à sept. Et en substituant 𝑎 égale trois dans la règle de la deuxième limite, nous voyons que notre limite à droite doit être égale à trois. Nous obtenons un huitième multiplié par sept au carré plus trois huitièmes multiplié par trois au carré. En simplifiant, nous obtenons 19 sur deux.

Nous verrons ensuite une règle différente qui est utile pour déterminer les limites des fonctions trigonométriques de forme différente. La règle que nous utiliserons est la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos 𝑥 sur 𝑥 égale zéro. La preuve de cette règle dépasse encore le cadre de cette vidéo. Cependant, nous pouvons penser à cette règle de manière intuitive en considérant l’approximation des petits angles de cos.

Nous savons que, pour de petites valeurs de 𝑥, cos de 𝑥 est à peu près égal à un moins 𝑥 au carré sur deux. Donc, lorsque 𝑥 tend vers zéro, cos de 𝑥 tend vers un moins 𝑥 au carré sur deux. On obtient limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑥 sur 𝑥 est à peu près égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins un moins 𝑥 au carré sur deux le tout sur 𝑥, ce qui est simplifié en limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 sur deux. En utilisant la substitution directe, nous voyons que cela égale zéro, ce qui est conforme à la règle que nous avons énoncée au début.

Une autre façon de voir cela intuitivement est de considérer le graphique de un moins cos 𝑥 de sur 𝑥. Nous pouvons voir sur le graphique que lorsque la valeur de 𝑥 tend vers zéro, la droite du graphique s’approche aussi de zéro. Nous verrions un résultat similaire en utilisant une table de valeurs. Considérons maintenant un autre exemple.

Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de neuf moins neuf cos de sept 𝑥 sur trois 𝑥.

Premièrement, nous remarquons que nous pouvons annuler le facteur trois du haut et du bas de cette fraction, ce qui nous laisse avec cette limite. Ensuite, nous remarquons que nous pouvons factoriser trois de la limite. Si nous essayons de faire une substitution directe à ce point, alors nous verrons que nous obtenons zéro sur zéro, ce qui est indéfini.

Utilisons plutôt le fait que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑥 sur 𝑥 est égale à zéro. Nous pouvons en fait adapter cette formule afin de constater que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑎𝑥 sur 𝑥 est égale à zéro, où 𝑎 est une constante. Nous pouvons le faire en remplaçant 𝑎𝑥 par 𝑥 dans la première règle. Nous obtenons que la limite lorsque 𝑎𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑎𝑥 sur 𝑎𝑥 est égale à zéro.

Maintenant, puisque 𝑎 est une constante et 𝑎𝑥 tend vers zéro, cela signifie que 𝑥 tend aussi vers zéro. Au lieu d’écrire 𝑎𝑥 tend vers zéro, on peut simplement écrire 𝑥 tend vers zéro. Ensuite, nous remarquons que nous avons un facteur de 𝑎 au dénominateur de cette fraction. Nous pouvons donc factoriser cet 𝑎 en dehors de la limite.

Ensuite, nous pouvons multiplier les deux membres de l’équation par 𝑎. Puisque le membre de droite est égal à zéro, zéro fois 𝑎 nous donne zéro. Donc, le membre droit reste zéro. Et donc maintenant, nous avons constaté que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑎𝑥 sur 𝑥 est égale à zéro, ce que nous essayions de montrer. En substituant 𝑎 égale sept dans cette formule, nous pouvons voir que notre limite ici est simplement zéro. Et puisque trois multiplié par zéro est tout simplement zéro, nous trouvons que la solution ici est tout simplement zéro. Ensuite, regardons un exemple un peu plus compliqué.

Trouvez la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 sur deux de deux moins deux sin de 𝑥 sur quatre 𝑥 moins deux 𝜋.

Premièrement, nous essayons de résoudre par substitution directe. Cependant, nous obtiendrons zéro sur zéro, ce qui est indéfini. Nous devons donc trouver cette limite par une autre façon. Commençons par annuler le facteur deux au numérateur et au dénominateur de la fraction. Considérons maintenant certaines des règles que nous connaissons. En considérant la première règle ici, nous remarquons que la valeur à l’intérieur du sinus doit être la même que la valeur au dénominateur de la fonction. Dans notre limite, nous avons sin de 𝑥 au numérateur. Cependant, au dénominateur, nous avons deux 𝑥 moins 𝜋. Et les deux ne sont pas égaux. Ainsi, nous ne pouvons pas utiliser cette première règle.

Pour utiliser la deuxième règle, nous avons besoin d’un cos 𝑥 au numérateur. Cependant, dans notre limite, nous avons un sinus. Ici, nous allons utiliser une formule afin de changer le sinus en cosinus. Nous avons sin de 𝑥 est égal à cos de 𝑥 moins 𝜋 par deux. Et nous pouvons substituer cela dans notre limite. En factorisant le dénominateur de la fraction ici, nous pouvons voir que cela a maintenant une forme très similaire à la règle que nous connaissons.

A ce stade, il faut faire une substitution. Nous substituerons dans 𝑢 égale 𝑥 moins 𝜋 par deux. Cependant, nous devons d’abord envisager ce qui arrivera à notre limite. Donc, 𝑥 tend vers 𝜋 par deux. Eh bien, nous allons simplement considérer ce qu’il arrive à la valeur de 𝑢 lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 par deux. Notre valeur de 𝑢 tendra vers 𝜋 par deux moins 𝜋 par deux, ce qui est simplement zéro. Et maintenant, nous sommes prêts à substituer 𝑢 égale 𝑥 moins 𝜋 par deux dans notre limite. Nous obtenons la limite lorsque 𝑢 tend vers zéro de un moins cos de 𝑢 sur deux 𝑢. Nous pouvons prendre le demi comme facteur. Et maintenant, nous remarquons que notre limite est identique à notre règle. Et ainsi, elle doit égaler zéro. Et cela nous donne comme solution zéro.

Dans ce dernier exemple, nous avons vu qu’il fallait faire attention aux limites trigonométriques, car il peut parfois être difficile savoir comment les résoudre. Il est très important de garder à l’esprit les formules trigonométriques.

Récapitulons maintenant certains des points clés dans cette vidéo. Points clés. La limite lorsque 𝑥 tend vers zéro du sin de 𝑥 sur 𝑥 est égale à un. Cela nous donne que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro du sin de 𝑎𝑥 sur 𝑥 égale 𝑎. Et cela nous amène ensuite à la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de tan de 𝑎𝑥 sur 𝑥 égale 𝑎. Nous avons également que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑥 sur 𝑥 égale zéro, ce qui mène à la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins cos de 𝑎𝑥 sur 𝑥 égale aussi zéro. Et si nous ne pouvons pas résoudre la limite d’une fonction trigonométrique à l’aide de la substitution directe ou de l’une des règles ci-dessus, alors nous devrons essayer d’utiliser certaines formules trigonométriques, telles que celles présentées ici.

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