Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à évaluer les limites des fonctions trigonométriques.
Les limites sont utiles pour nous aider à comprendre le comportement d’une fonction autour d’une valeur ; c’est l’un des éléments fondamentaux du calcul différentiel et intégral. Nous pouvons déterminer la limite d‘une fonction trigonométrique par substitution directe.
Définition : Déterminer la limite des fonctions trigonométriques
Si appartient à l’ensemble de de définition d’une fonction trigonométrique, alors nous pouvons calculer sa limite en par substitution directe. En particulier, pour tout ,
- ;
- .
Pour tout appartenant à l’ensemble de définition de ,
- .
Ces résultats nous permettent de calculer la limite de nombreuses fonctions trigonométriques. Cependant, il y a des exemples que nous ne pouvons pas traiter. Par exemple, considérons , où est mesuré en radians. Si nous essayons de calculer cette limite par substitution directe, cela donne une forme indéterminée, ce qui signifie que nous devons calculer cette limite de manière différente. Une manière de faire ça, c’est de représenter la fonction dans un graphique.
Sur ce graphique, nous pouvons voir que plus les valeurs de se rapprochent de 0, plus les images se rapprochent de 1. Par conséquent, la représentation graphique permet de mettre en évidence que . On peut aussi le voir à l’aide d’un tableau.
| 0 | 0,001 | 0,01 | 0,1 | ||||||
| 0,99833 | 0,99998 | 0,99999 | 0,99999 | 0,99998 | 0,99833 |
Une fois encore, le tableau indique que plus les valeurs de se rapprochent de 0, plus les image se rapprochent de 1. Il est à noter que nous pouvons mettre en évidence un résultat similaire lorsque est mesuré en degrés ; cependant, pour le calcul des limites, on utilise presque toujours les radians. Ainsi, sauf indication contraire, nous supposerons que la limite de toute fonction trigonométrique est donnée pour des angles mesurés en radians. Cela nous donne le résultat suivant.
Théorème : Limite d’une expression trigonométrique
Si est mesuré en radians, alors
Nous pouvons généraliser ce résultat. Soit . Nous remplaçons dans . Notons que comme , alors et . Cela nous donne
En factorisant par et en réarrangeant on obtient que
On peut remarquer que ce résultat est également valable lorsque . Nous pouvons résumer cela comme suit.
Théorème : Limite d’une expression trigonométrique
Si est mesuré en radians et , alors
Voyons un exemple d’utilisation de ce résultat pour calculer la limite d’une expression trigonométrique.
Exemple 1: Déterminer les limites des fonctions trigonométriques
Déterminez .
Réponse
Comme cette limite implique le quotient des fonctions trigonométriques, nous pouvons essayer de calculer cette limite par substitution directe
Cela nous donne une forme indéterminée, ce qui signifie que nous ne pouvons pas calculer cette limite directement. Nous utiliserons plutôt le fait que si est mesuré en radians et est une constante réelle, alors . Bien que la question ne précise pas que est mesuré en radians, en passant à la limite, on travaille presque toujours en radians, ainsi on le supposera pour la question. On peut réécrire la limite comme suit
En supposant que les deux limites existent, nous pouvons écrire ceci comme le produit de deux limites
On prend l’inverse de la deuxième limite a l’aide de la règle de puissance pour les limites à condition que la limite existe et soit non nulle. Nous pouvons ensuite calculer ces deux limites en utilisant le résultat,
La première limite se calcule en prenant et la seconde en prenant . Par conséquent,
Il y a deux autres résultats plus utiles sur les limites impliquant des fonctions trigonométriques, nous pouvons les trouver par étude graphique ou en utilisant un tableau. Considérons les graphiques représentants les fonctions d’expressions et , où est mesuré en radians.
Dans la première représentation, nous voyons que plus les valeurs de se rapprochent de 0, plus les images tendent vers 1. Ainsi, cette représentation graphique indique que . De même, dans la deuxième représentation, les valeurs de au voisinage de 0, ont des images qui tendent vers 0. Ainsi, la représentation suggère que . Cela nous donne les résultats suivants.
Théorème : Limite d’une expression trigonométrique
Si est mesuré en radians, alors
- ;
- .
Comme avec le résultat précédent du sinus, nous pouvons utiliser la substitution pour trouver la limite lorsque l’angle est un multiple d’une constante. Si , en posant nous avons
En factorisant par et en réarrangeant on obtient
De même, si , en posant on a
En factorisant par et en réarrangeant on obtient
Nous pouvons résumer cela comme suit.
Théorème : Limite d’une expression trigonométrique
Si est mesuré en radians et , alors
- ;
- .
Voyons un exemple dans lequel nous pouvons appliquer ces résultats pour étudier la limite d’une expression trigonométrique.
Exemple 2: Déterminer les limites des fonctions trigonométriques
Déterminez .
Réponse
Comme cette limite implique une fonction trigonométrique, nous pouvons essayer de calculer cette limite par substitution directe
Cela nous donne une forme indéterminée, ce qui signifie que nous ne pouvons pas calculer cette limite par substitution directe. Nous utiliserons plutôt le fait que si est mesuré en radians et , alors
Pour appliquer ce résultat, nous simplifions notre limite comme suit
Par conséquent, .
Dans notre prochain exemple, nous utiliserons un résultat impliquant les fonctions tangente et sinus pour évaluer la limite d’une fonction trigonométrique.
Exemple 3: Déterminer les limites des fonctions trigonométriques
Déterminez .
Réponse
Puisqu’il s’agit de la limite d’une expression à la fois algébrique et trigonométrique, nous pouvons essayer de trouver cette limite par substitution directe
Comme il s’agit d’une forme indéterminée, nous ne pouvons pas déterminer la valeur de cette limite à partir d’une substitution directe. Au lieu de cela, nous réécrirons donc cette limite sous forme des limites que nous pouvons calculer. À savoir, pour toute constante réelle et mesuré en radians,
On peut réécrire la limite comme suit
Nous pouvons déterminer chacune de ces limites séparément. Premièrement, nous rappelons que si est mesuré en radians et une constante, alors, . En utilisant ce résultat, nous avons
Ensuite, nous rappelons que si est mesuré en radians et , alors
Par conséquent,
Le remplacement des valeurs de ces limites dans l’équation nous donne
Par conséquent, .
Dans notre prochain exemple, nous combinerons une identité trigonométrique avec les résultats de limites sur les fonctions trigonométriques dans le but de calculer une limite.
Exemple 4: Déterminer les limites impliquant des fonctions trigonométriques
Déterminez .
Réponse
Puisqu’il s’agit de la limite d’une expression à la fois algébrique et trigonométrique, nous pouvons essayer d’évaluer cette limite par substitution directe
Comme il s’agit d’une forme indéterminée, nous ne pouvons pas déterminer la valeur de cette limite par substitution directe. Nous réécrirons cette limite sous forme des limites que nous pouvons calculer. On réécrit la limite comme suit
Pour calculer cette limite, nous remplacerons . Comme tend vers , tend vers 0. Cela nous donne
Rappelons que . On peut l’utiliser pour écrire la limite comme suit
Enfin, nous rappelons que .
Par conséquent,
Ainsi, .
Dans notre dernier exemple, nous utiliserons ces résultats pour calculer la limite d’une expression trigonométrique.
Exemple 5: Déterminer les limites impliquant des fonctions trigonométriques
Déterminez .
Réponse
Puisqu’il s’agit de la limite d’une expression à la fois algébrique et trigonométrique, nous pouvons essayer de trouver cette limite par substitution directe. Cependant, 0 n’appartient pas à l’ensemble de définition de cette fonction. Au lieu de cela, nous réécrirons donc la limite en utilisant d’abord les identités trigonométriques
Ensuite, on peut réécrire cela en fonction des résultats obtenus sur les limites. Si est mesuré en radians et ,
Donc, nous avons
En appliquant les résultats sur les limites, nous concluons que
Par conséquent, .
Récapitulons certains points importants de cette fiche explicative.
Points Clés
- On peut trouver la limite de toute fonction trigonométrique en par substitution directe si a appartient à l’ensemble de définition de la fonction.
- Si est mesuré en radians, nous avons les résultats suivants
- ;
- ;
- .
- Si est mesuré en radians et , nous avons les résultats suivants
- ;
- ;
- .
- Nous pouvons utiliser ces résultats pour calculer la limite d’une fonction trigonométrique.
