Transcription de la vidéo
La figure montre trois poids arrangés dans un triangle équilatéral de côté de 12 centimètres. Trouvez les coordonnées du centre de gravité du système.
Sachant que la longueur des côtés du triangle est de 12 centimètres, nous pouvons mettre ces distances sur le schéma. Nous voulons trouver les coordonnées du centre de gravité du système. Nous appellerons ces coordonnées 𝑐𝑔 indice 𝑥 et 𝑐𝑔 indice 𝑦, respectivement. On nous demande de déterminer les coordonnées du centre de gravité de cette figure. Nous supposerons un champ gravitationnel uniforme tel que le centre de gravité est égal au centre de masse.
En travaillant avec cette hypothèse, nous pouvons rappeler la relation pour le centre de gravité d’un objet. Si un objet est constitué d’un ensemble de masses ponctuelles, alors si nous additionnons le produit de chacune de ces masses avec la distance de cet élément de masse de l’axe de rotation, puis divisons cette somme par la somme de toutes les masses de notre système, alors cette fraction est égale au centre de gravité. Le centre de gravité sera calculé pour chaque dimension de notre problème. Dans notre cas, nous avons une dimension 𝑥 et une dimension 𝑦. Nous allons donc calculer un centre de gravité pour chacun des deux.
Nous pouvons commencer par calculer le centre de gravité ou le centre de masse dans la direction 𝑥. En observant le schéma, nous voyons qu’il y a trois masses totales qui composent notre objet, appliquant la relation mathématique pour calculer le centre de gravité le long d’une certaine dimension. Lorsque nous calculons le centre de gravité dans la direction 𝑥, l’axe de rotation que nous supposons est l’axe des 𝑦. Par conséquent, chacune des distances que nous écrivons, 𝑥 indice 𝑖 dans notre équation de centre de gravité, est la distance d’une masse donnée à partir de cet axe des 𝑦. Cela signifie que pour la première masse, une masse d’une valeur de huit, nous avons une distance de zéro puisque cette masse est située sur l’axe des 𝑦. Pour la deuxième masse, la masse de valeur neuf, nous avons une distance de 12 puisque c’est la longueur de chaque côté du triangle équilatéral. Et comme le triangle est équilatéral, cela signifie que la distance par rapport à l’axe de rotation de la troisième masse est égale à 12 fois le cosinus de 60 degrés.
Eh bien, nous avons calculé le numérateur de la formule de centre de gravité. Nous avons additionné les produits de chacun des éléments de masse avec la distance entre cet élément et l’axe de rotation. Dans le dénominateur de notre fraction, nous additionnons simplement chaque masse, huit plus neuf plus 13. En calculant cette valeur, huit fois zéro est zéro. Neuf fois 12 est 108. Et 13 fois 12 fois le cosinus de 60 degrés est égal à 78. Donc, le numérateur se simplifie à 186. La somme des nombres du dénominateur vaut 30. Et lorsque nous réduisons cette fraction, nous constatons qu’elle est égale à 31 sur cinq. C’est le centre de gravité de notre figure dans la dimension 𝑥.
Maintenant, nous allons passer au calcul du centre de gravité dans la direction 𝑦. Dans ce cas, notre axe de rotation sera l’axe des 𝑥. La distance de chaque masse élémentaire par rapport à cet axe est ce que nous utiliserons dans notre calcul du centre de gravité. Lorsque nous écrivons la distance de la première masse par rapport à l’axe de rotation, nous voyons que cette distance est nulle. Et de même avec la deuxième masse de valeur neuf, la distance de cette masse par rapport à l’axe de rotation, l’axe des 𝑥, est également nulle. La troisième masse est à une distance de 12 fois le sinus de 60 degrés de l’axe de rotation. Et dans le dénominateur, nous avons à nouveau la somme des trois masses élémentaires. Puisque le sinus de 60 degrés est la racine carrée de trois sur deux, notre fraction globale se simplifie à 156 racine trois sur 60. Cette fraction elle-même simplifie encore à 13 fois la racine carrée de trois divisée par cinq. C’est alors la coordonnée du centre de gravité dans la dimension 𝑦.
Donc, le centre de gravité est en 31 sur cinq dans la direction 𝑥 et 13 racine de trois sur cinq dans la direction 𝑥.
