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Fiche explicative de la leçon : Centre de gravité des particules Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la position du centre de gravité (ou centre de masse) d'un ensemble de particules placées dans un repère en 2D.

Souvent en mécanique, nous considérons le mouvement d’un objet comme si cet objet était une masse ponctuelle - un objet qui a une masse, mais pas de longueur, de largeur ou de hauteur. Même lorsque nous résolvons des problèmes impliquant des objets du monde réel tels que des balles de tennis ou des boîtes, nous les modélisons souvent comme des masses ponctuelles. Cela simplifie la résolution de nombreux problèmes.

Cependant, les objets du monde réel ont bien une longueur, une largeur et une hauteur, et la forme d’un objet peut affecter son mouvement. Mais, selon le scénario, nous pouvons souvent continuer à appliquer la plupart des formules et des méthodes que nous utilisons pour les masses ponctuelles à des objets plus complexes. Nous pouvons le faire car, pour de nombreux problèmes, nous pouvons modéliser un objet complexe comme s’il s’agissait d’une masse ponctuelle en un point qu’on appelle son centre de gravité, parfois aussi appelé son centre de masse.

Le centre de gravité d’un ensemble de particules peut être considéré comme la moyenne des positions de toutes les particules pondérées par leurs masses. Ainsi, par exemple, imaginons deux particules avec des vecteurs de position 𝑟 et 𝑟 et des masses 𝑚 et 𝑚, comme indiqué dans le repère en 2D suivant.

Le vecteur de position du centre de gravité des deux particules, 𝑅, est donné par 𝑅=𝑚𝑟+𝑚𝑟𝑚+𝑚.

Notez que ceci est différent du centre géométrique des particules. Le centre géométrique des particules serait juste égal à 𝑟+𝑟2. Le centre de gravité ne serait dans la même position que le centre géométrique que dans le cas particulier où toutes les particules ont la même masse.

Le centre de gravité est pondéré par les masses des particules. Cela signifie que si la masse de la première particule, 𝑚, étaient inférieure à celle de la deuxième particule, le centre de gravité serait plus proche de la deuxième particule que de la première, comme le montre la figure.

Si une troisième particule avait été ajoutée au système, avec un vecteur de position 𝑟 et une masse 𝑚, il faudrait ajouter un troisième terme au numérateur de la fraction qui est le produit de la masse et du vecteur de position. Le dénominateur de la fraction est juste la masse totale de toutes les particules, de sorte que cette formule deviendrait 𝑅=𝑚𝑟+𝑚𝑟+𝑚𝑟𝑚+𝑚+𝑚.

Si on appelle la masse totale 𝑀, on peut écrire ceci comme 𝑅=1𝑀𝑚𝑟+𝑚𝑟+𝑚𝑟.

Nous pouvons voir un motif se former ici. Comme nous ajoutons plus de particules au système, nous continuons à ajouter des termes qui sont le produit de la masse de chaque particule par son vecteur de position à l’expression entre crochets.

Définition : Centre de gravité d’un système de particules

Pour un système de 𝑛 particules, où la 𝑖ème particule dans le système a pour vecteur de position 𝑟 et pour masse 𝑚, le vecteur de position du centre de gravité du système, 𝑅, est donné par 𝑅=1𝑀𝑚𝑟,𝑀 est la masse totale de toutes les particules.

Considérons maintenant le centre de gravité d’un corps rigide autour de l’origine d’un repère. Supposons qu’on nous donne les poids des particules formant le corps rigide, qui sont 𝑊,𝑊,𝑊,,𝑊, situées respectivement aux vecteurs de position 𝑟,𝑟,𝑟,,𝑟, par rapport à l’origine. On peut trouver la position du centre de gravité, 𝑅, par rapport à l’origine en utilisant la formule 𝑅=𝑊𝑟+𝑊𝑟+𝑊𝑟++𝑊𝑟𝑊+𝑊+𝑊++𝑊, qui peut également être réécrite en utilisant la notation qui représente la somme par 𝑅=𝑊𝑟𝑊.

Nous pouvons voir comment cette formule est liée à la formule d’origine impliquant uniquement les masses. Nous savons que nous pouvons écrire chacun des poids comme le produit de leur masse et de la constante gravitationnelle, 𝑔:𝑊=𝑚𝑔,𝑊=𝑚𝑔,𝑊=𝑚𝑔,𝑊=𝑚𝑔.

Si nous devions substituer chacun d’eux dans la formule que nous venons de trouver pour déterminer la position du centre de gravité, alors chacun des termes serait un multiple de 𝑔. Si nous simplifiions par ce facteur, alors nous aurions 𝑅=𝑚𝑟+𝑚𝑟+𝑚𝑟++𝑚𝑟𝑚+𝑚+𝑚++𝑚, qui est la même que la formule initiale que nous avions trouvé. On peut maintenant considérer l’abscisse 𝑥 et l’ordonnée 𝑦 de la position du centre de gravité. Nous pouvons poser 𝑥 la composante horizontale de 𝑅 et 𝑦 la composante verticale de 𝑅. Alors, si 𝑥,𝑥,𝑥,,𝑥 sont les composantes horizontales et 𝑦,𝑦,𝑦,,𝑦 sont les composantes verticales respectives de 𝑟,𝑟,𝑟,,𝑟, nous pouvons écrire les deux formules suivantes en assimilant les composantes horizontale et verticale de notre vecteur au centre de gravité:𝑥=𝑚𝑥+𝑚𝑥+𝑚𝑥++𝑚𝑥𝑚+𝑚+𝑚++𝑚,𝑦=𝑚𝑦+𝑚𝑦+𝑚𝑦++𝑚𝑦𝑚+𝑚+𝑚++𝑚.

Cette formule fonctionnerait aussi si on nous donnait les poids des particules au lieu de la masse, car si on multiplie chaque terme dans les deux fractions par 𝑔, alors on peut réécrire chaque 𝑚𝑔 comme étant 𝑊.

Si vous rencontrez un problème qui vous donne les coordonnées, ou les vecteurs de position pour un système de particules, et que l’on vous demande de trouver le centre de gravité du système, vous pouvez le résoudre directement en utilisant la formule ou il peut être utile de présenter les informations dans un tableau pour vous aider à écrire les équations que vous devez résoudre.

Par exemple, considérons les particules 𝐴 et 𝐵 de masses respectives 3 kg et 4 kg et dont les vecteurs de position sont respectivement (3;4) et (2;5). Nous pouvons présenter ces informations dans un tableau comme suit.

Masse347
Abscisses 𝑥32𝑥
Ordonnées 𝑦45𝑦

Ici, 7 est la masse totale du système et (𝑥,𝑦) représente le vecteur de position du centre de gravité du système. À partir du tableau, nous pouvons alors écrire deux équations nous permettant de calculer les coordonnées du centre de gravité:3×3+4×2=7𝑥,3×4+4×5=7𝑦.

Résoudre ces équations nous permettent d’obtenir le vecteur de position 177,327 pour le centre de gravité du système. Dans cet fiche explicative, nous allons résoudre principalement les exemples directement en utilisant la formule.

Nous allons maintenant examiner un exemple de la manière dont nous pouvons utiliser ces formules pour déterminer la position du centre de gravité d’un système en deux dimensions.

Exemple 1: Déterminer le centre de gravité d’un système dans un repère en 2D

Sur la figure donnée, trois poids d’intensités 2 N, 5 N et 3 N sont placés sur les sommets d’un triangle équilatéral de côté 8 cm.

Déterminez le centre de gravité du système.

Réponse

Nous pouvons commencer par placer les données pour les coordonnées de chacun des poids dans un tableau.

Poids2 N5 N3 N
Abscisses 𝑥0043
Ordonnées 𝑦084

Afin de trouver l’abscisse 𝑥 du centre de gravité, on peut utiliser la formule 𝑥=𝑊𝑥+𝑊𝑥+𝑊𝑥++𝑊𝑥𝑊+𝑊+𝑊++𝑊.

En substituant nos valeurs dans cette formule, nous avons 𝑥=2×0+5×0+3×432+5+3=635.cm

On peut maintenant considérer l’ordonnée 𝑦, en utilisant une formule similaire:𝑦=𝑊𝑦+𝑊𝑦+𝑊𝑦++𝑊𝑦𝑊+𝑊+𝑊++𝑊.

En substituant du tableau, nous avons𝑦=2×0+5×8+3×42+5+3=265.cm

La position du centre de gravité du système est donc 635;265.

Regardons maintenant un autre exemple.

Exemple 2: Déterminer le vecteur de position du centre de gravité de trois masses discrètes

Supposons que trois masses de 1 kg, 4 kg et 6 kg sont situés en des points dont les vecteurs de position sont 6𝑖𝑗, 2𝑖9𝑗 et 7𝑖+8𝑗. Déterminez le vecteur de position du centre de gravité de ce système de masses.

Réponse

Il existe deux méthodes que nous pourrions utiliser pour résoudre cette question. Dans la première méthode, nous considérerons les coordonnées des masses et utiliserons ces coordonnées pour trouver le centre de gravité. Dans la deuxième méthode, nous utiliserons les vecteurs donnés dans la question pour trouver la position du centre de gravité.

Méthode 1

On nous a donné les positions des masses comme vecteurs 6𝑖𝑗, 2𝑖9𝑗, et 7𝑖+8𝑗. En les convertissant en coordonnées, nous obtiendrons(6,1),(2,9),(7,8).et

Nous pouvons maintenant mettre les données pour les masses et leurs coordonnées correspondantes dans un tableau.

Masse1 kg4 kg6 kg
𝑥-Coordonné627
𝑦-Coordonné198

Afin de trouver le 𝑥 -ordonnée du centre de masse, on peut utiliser la formule𝑥=𝑚𝑥+𝑚𝑥+𝑚𝑥++𝑚𝑥𝑚+𝑚+𝑚++𝑚.

En substituant nos valeurs dans cette formule, nous avons𝑥=1×(6)+4×2+6×71+4+6=4411=4.

On peut maintenant considérer l’ordonnée 𝑦, en utilisant une formule similaire:𝑦=𝑚𝑦+𝑚𝑦+𝑚𝑦++𝑚𝑦𝑚+𝑚+𝑚++𝑚.

En remplaçant le tableau, nous avons𝑦=1×(1)+4×(9)+6×81+4+6=1111=1.

Par conséquent, la position du centre de gravité du système est (4;1).

Nous pouvons convertir cela en forme vectorielle pour obtenir4𝑖+𝑗.

Méthode 2

On peut utiliser la formule 𝑅=1𝑀𝑚𝑟 pour déterminer le vecteur de position du centre de gravité du système, 𝑅, 𝑀 est la masse totale du système, 𝑚 est la masse de l’objet 𝑖, et 𝑟 est le vecteur de position de l’objet 𝑖. 𝑀 est la masse totale, alors 𝑀=1+4+6𝑀=11.kgkgkgkg

Maintenant, substituons les valeurs aux masses et aux vecteurs de position des objets dans la formule ci-dessus:𝑅=1111×6𝑖𝑗+4×2𝑖9𝑗+6×7𝑖+8𝑗.

Il reste alors à simplifier l’expression:𝑅=1116𝑖𝑗+8𝑖36𝑗+42𝑖+48𝑗𝑅=11144𝑖+11𝑗𝑅=4𝑖+𝑗.

Le vecteur de position du centre de gravité est 4𝑖+𝑗.

Pour les questions impliquant la recherche du vecteur de position ou des coordonnées du centre de gravité d’un système, il est souvent utile de considérer la géométrie du système avant de trouver la solution. Par exemple, dans un repère en 2D, si le système de particules se situe entièrement sur une ligne horizontale ou verticale, alors nous savons que le centre de gravité doit aussi se trouver sur cette ligne, et, par conséquent, nous n’avons qu’une coordonnée inconnue.

Ceci est illustré dans notre exemple suivant.

Exemple 3: Déterminer la position du centre de gravité d’un système de particules

Quatre particules de masses 9 kg, 10 kg, 4 kg et 7 kg sont placés sur l’axe 𝑥 des abscisses aux points (4;0), (3;0), (8;0) et (1;0) respectivement. Quelle est la position du centre de gravité de ces quatre particules?

Réponse

Ici, nous pouvons commencer par représenter les coordonnées de chacune des particules par des vecteurs, puis résoudre le problème directement en utilisant la formule, ou nous pouvons simplifier le problème en considérant d’abord sa géométrie. Pour être complet, illustrons les deux méthodes.

Méthode 1

Remarquez d’abord que tous les points se situent sur l’axe 𝑥 des abscisses et, par conséquent, le centre de gravité du système doit également se situer sur l’axe 𝑥 des abscisses et doit avoir des coordonnées (𝑥;0).

Deuxièmement, nous devons calculer la masse totale du système:𝑀=9+10+4+7𝑀=30.kgkgkgkgkg

Maintenant, nous pouvons présenter les informations dans un tableau, comme suit.

Masse9104730
Abscisses 𝑥4381𝑥

À partir du tableau, nous pouvons écrire l’équation suivante:9×4+10×3+4×8+7×1=30𝑥.

En simplifiant cela nous donne 36+30+32+7=30𝑥, que nous pouvons résoudre comme suit:30𝑥=105𝑥=10530=3,5.

Par conséquent, les coordonnées du centre de gravité sont (3,5;0).

Méthode 2

D’abord, nous écrivons les coordonnées comme des vecteurs:4𝑖+0𝑗, 3𝑖+0𝑗, 8𝑖+0𝑗 et 1𝑖+0𝑗.

On peut utiliser la formule 𝑅=1𝑀𝑚𝑟 pour déterminer le centre de gravité du système, 𝑅, 𝑀 est la masse totale du système, 𝑚 est la masse de l’objet 𝑖 et 𝑟 est le vecteur de position de l’objet 𝑖𝑀 est la masse totale, alors 𝑀=9+10+4+7𝑀=30.kgkgkgkgkg𝑅=1309×4𝑖+0𝑗+10×3𝑖+0𝑗+4×8𝑖+0𝑗+7×1𝑖+0𝑗.est la masse totale, donc𝑅=13036𝑖+30𝑖+32𝑖+7𝑖𝑅=130105𝑖𝑅=72𝑖.

Maintenant, substituons les valeurs aux masses et aux vecteurs de position des objets dans la formule ci-dessus:72𝑖

Il reste à simplifier l’expression:(3,5;0)

Le vecteur de position du centre de gravité est (0;6), qui est (0;9) lorsqu’il est écrit comme un ensemble de coordonnées.

Parfois, on nous demandera de calculer une masse inconnue dans un système sachant que nous connaissons son centre de gravité. Nous le démontrerons dans notre prochain exemple.

Exemple 4: Déterminer des masses discrètes inconnues étant donné les coordonnées de leur centre de gravité

Les points (0;4), 𝑦 et 𝑚kg sur l’axe 𝑚 des ordonnées sont occupés par trois solides de masses respectives 9 kg, 6 kg et (0;7). Déterminez la valeur de 𝑥 étant donné que le centre de gravité du système est situé au point 𝑦.

Réponse

Il existe deux méthodes pour résoudre ce problème. La première consiste à représenter et à compléter un tableau des masses dans le système et la seconde consiste à écrire les positions des masses sous formes vectorielles et à résoudre en utilisant la formule. Nous illustrerons les deux méthodes ici.

Méthode 1

On peut commencer par représenter un tableau contenant la masse, l’abscisse (0;6) et l’ordonnée (0;9) de chacun des solides dans le système. C’est assez simple car les positions des masses ont été données à l’aide de leurs coordonnées. Nous appellerons le solide positionné en (0;4) solide A, le solide positionné en 𝑚 solide B, et le solide positionné en 15+𝑚 solide C. La dernière colonne du tableau contient les informations pour le système complet.

SolideABCSystème
Masse (kg)96𝑥𝑦
Abscisses 𝑥0000
Ordonnées 𝑥6947

On sait que la somme des produits des masses et de leurs abscisses 𝑦 respectives est égale au produit de la masse totale et de l’abscisse 𝑦 du centre de gravité. De même, la somme des produits des masses et de leurs ordonnée 9×0+6×0+𝑚×0=(15+𝑚)×0,9×6+6×9+𝑚×4=(15+𝑚)×7. respectives est égale au produit de la masse totale et de l’ordonnée 0=0 du centre de gravité. Par conséquent, nous pouvons maintenant écrire deux équations à l’aide du tableau:54+54+4𝑚=105+7𝑚.

Dans chaque élément de la première équation, nous multiplions par zéro, ce qui se simplifiera par 𝑚. Par conséquent, seule la seconde de ces équations nous sera utile. Simplifions cette équation:3=3𝑚.

Maintenant, nous pouvons déplacer tous les multiples de 𝑚=1.kg d’un côté et tout le reste de l’autre côté comme suit:𝑚

Enfin, nous divisons les deux côtés par 3 pour atteindre notre solution 0𝑖+6𝑗

Méthode 2

Dans cette question, on nous a donné les coordonnées de trois masses, ainsi que les coordonnées de leur centre de gravité. Nous pouvons utiliser la formule du centre de gravité pour relier ces quantités, puis la réarranger pour obtenir une équation d’inconnue la masse 0𝑖+9𝑗.

Écrivons d’abord les positions des trois masses à l’aide de vecteurs:0𝑖+4𝑗, 0𝑖+7𝑗 et 𝑅=1𝑀𝑚𝑟. Le vecteur position du centre de gravité est0𝑖+7𝑗=19+6+𝑚9×0𝑖+6𝑗+6×0𝑖+9𝑗+𝑚×0𝑖+4𝑗7𝑗=115+𝑚54𝑗+54𝑗+4𝑚𝑗7𝑗=108𝑗+4𝑚𝑗15+𝑚.

La formule pour le centre de gravité d’un ensemble d’objets est 𝑚

Substituons les valeurs qui nous sont données:105𝑗+7𝑚𝑗=108𝑗+4𝑚𝑗7𝑚𝑗=3𝑗+4𝑚𝑗3𝑚𝑗=3𝑗𝑚=1.

Maintenant, réarrangeons l’équation d’inconnue 𝐴𝐵𝐶𝐷:𝐿

Ainsi, la masse du troisième objet est 1 kg.

Dans nos derniers exemples, regardons les problèmes où les systèmes sont présentés géométriquement.

Exemple 5: Déterminer le centre de gravité d’un système de trois masses placées sur les côtés d’un carré

Un carré 𝐴 a une longueur latérale 𝐵. Trois masses de 610 g sont placées en 𝐷, 𝐿 et 𝐴. Déterminez les coordonnées du centre de gravité du système.

Réponse

Il existe deux méthodes pour résoudre ce problème. La première consiste à représenter et à compléter un tableau des masses du système et la seconde consiste à écrire les positions des masses sous formes vectorielles et à résoudre en utilisant la formule. Nous illustrerons les deux méthodes ici.

Méthode 1

Pour la première méthode, nous devons déterminer les coordonnées des trois masses. Nous savons qu’elles se situent sur les coins d’un carré dont la longueur du côté est 𝐵. D’après le diagramme, nous pouvons voir que la masse 𝑥 est à l’origine, la masse 𝐷 est sur l’axe 𝑦 des abscisse, et la masse est sur l’axe 𝐴 des ordonnées. Donc, on peut dire que les coordonnées de la masse (0;0) sont 𝐵, les coordonnées de masse (𝐿;0) sont 𝐷, et les coordonnées de masse (0;𝐿) sont 𝑥.

Nous pouvons maintenant représenter un tableau contenant la masse, l’abscisse 𝑦 et l’ordonnée 𝐴 de chacune des masses dans le système. La dernière colonne du tableau contient les informations pour le système complet.

Masse𝐵𝐷𝑥Système
Masse (g)6106106101‎ ‎830
Abscisses 𝐿0𝑥0𝑦
Ordonnées 𝐿00𝑦𝑥

Maintenant, nous pouvons écrire deux équations, l’une reliant les masses à l’axe 𝑦 des abscisses et l’autre reliant les masses à l’axe 610×0+610×𝐿+610×0=1830×𝑥,610×0+610×0+610×𝐿=1830×𝑦. des ordonnées, comme suit:610𝐿=1830𝑥,610𝐿=1830𝑦.

En simplifiant ces équations, on obtient 𝑥=𝐿3,𝑦=𝐿3.

Enfin, si on divise par 610, on verra que 𝐿3,𝐿3.

Ainsi les coordonnées du centre de gravité sont 𝐿

Méthode 2

Dans cette question, on nous a donné les masses de trois objets et leurs positions en fonction d’une constante, 𝐿. Cela signifie que lorsque nous déterminons le centre de gravité du système, c’est également en fonction de 𝐴.

On peut représenter les positions des objets aux points 𝐵, 𝐷 et 𝐴 à l’aide de vecteurs. L’objet situé en 0𝑖+0𝑗 a pour vecteur de position 𝐵;l’objet situé en 𝐿𝑖+0𝑗 a pour vecteur de position 𝐷;l’objet situé en 0𝑖+𝐿𝑗 a pour vecteur de position 𝑅=1𝑀𝑚𝑟.

On peut utiliser la formule 𝑅=1610+610+610610×0𝑖+0𝑗+610×𝐿𝑖+0𝑗+610×0𝑖+𝐿𝑗. pour déterminer le centre de gravité du système. Substituons par les valeurs:𝑅=11+1+10𝑖+0𝑗+𝐿𝑖+0𝑗+0𝑖+𝐿𝑗𝑅=13𝐿𝑖+𝐿𝑗𝑅=𝐿31𝑖+1𝑗.

On peut simplifier par un facteur 610 au numérateur et au dénominateur sur le membre de droite:𝐿3;𝐿3

On obtient le vecteur de position du centre de gravité. On peut aussi l’écrire sous la forme d’un ensemble de coordonnées:𝐴𝐵𝐶.

Exemple 6: Déterminer le centre de gravité de trois masses discrètes et égales placées sur les côtés d’un triangle

Un triangle 𝐴𝐵=33cm, tel que 𝐵𝐶=44cm, 𝐶𝐴=55cm, 𝐷 et 𝐸 et 𝐴𝐵 sont les milieux respectifs de 𝐴𝐶 et 𝐵, respectivement, est situé dans le premier quadrant d’un plan cartésien tel que 𝐶 est à l’origine et le point 𝑥 est sur l’axe 𝐵 des abscisses. Trois masses égales sont placées en des points 𝐷, 𝐸 et 𝐵. Déterminez les coordonnées du centre de gravité du système.

Réponse

Il existe deux méthodes pour résoudre ce problème. La première consiste à former et compléter un tableau des masses dans le système et la seconde consiste à écrire les positions des masses sous formes vectorielles et à résoudre en utilisant la formule. Nous illustrerons les deux méthodes ici.

Méthode 1

Premièrement, nous devons déterminer les coordonnées des trois masses. La masse (0;0) est située à l’origine, de sorte que ses coordonnées sont 𝐷. La masse 𝐴𝐵 est située au milieu de 𝐴𝐵=33cm, et nous savons 0;332, de sorte que ses coordonnées sont 𝐸. Il est un peu plus difficile de déterminer les coordonnées de la masse 𝐴𝐵𝐶. Cependant, comme 𝐸 est un triangle rectangle et 𝐴𝐶 est au milieu de 𝑥, l’hypoténuse, cela signifie que son abscisse 𝑦 sera la moitié de la largeur du triangle et de son ordonnée 22;332 correspondra à la moitié de la hauteur du triangle. La largeur du triangle est 44 cm et la hauteur est 33 cm, de sorte que ses coordonnées sont 𝑥.

Nous pouvons maintenant représenter un tableau contenant la masse, l’abscisse 𝑦 et l’ordonnée 𝐵 de chacune des masses dans le système. La dernière colonne du tableau contient les informations pour le système complet.

Masse𝐷𝐸𝑚Système
Masse (g)𝑚𝑚3𝑚𝑥
Abscisses 𝑥0022 𝑦
Ordonnées 3320332𝑦𝑥

Maintenant, nous pouvons écrire deux équations, l’une reliant les masses à l’abscisse 𝑦 et l’autre reliant les masses à l’ordonnée 𝑚×0+𝑚×0+𝑚×22=3𝑚×𝑥,𝑚×0+𝑚×332+𝑚×332=3𝑚×𝑦.comme suit:𝑚

Étant donné que chaque terme est un multiple de 22=3𝑥,33=3𝑦.on peut simplifier par ce facteur et simplifier les termes dans les deux équations pour obtenir 𝑥=223,𝑦=11.

Ensuite, nous divisons les deux équations par 3:223,11.

Par conséquent, nous avons trouvé la coordonnée du centre de gravité. Notre solution est 𝐵

Méthode 2

Commençons par trouver des vecteurs de position pour les points 𝐷, 𝐸 et 𝐵, où se situent les masses.

0𝑖+0𝑗est à l’origine, de sorte que son vecteur de position est 𝐴. 𝐵 est à 33 cm de 𝑦 le long de l’axe des ordonnées, de sorte que son vecteur de position est 0𝑖+33𝑗. 𝐷est au milieu entre 𝐴 et 𝐵, de sorte que son vecteur de position est 0𝑖+332𝑗.

On peut trouver le vecteur position de 𝐸 en ajoutant les vecteurs 𝐵𝐶 et 12𝐶𝐴. 𝐶𝐴est égal à 𝐶𝐵+𝐵𝐴, de sorte que le vecteur de position de 𝐸, égal à 𝐵𝐸, est donnée par 𝐵𝐶+12𝐶𝐵+𝐵𝐴. Comme 𝐶𝐵=𝐵𝐶, le vecteur de position de 𝐸 est donné par 12𝐵𝐶+𝐵𝐴. 𝐵𝐶est égal à 44𝑖+0𝑗 et 𝐵𝐴 est égal à 0𝑖+33𝑗, donc le vecteur position de 𝐸 est 442𝑖+332𝑗.

On peut maintenant utiliser la formule𝑅=1𝑀𝑚𝑟 pour déterminer le centre de gravité du système en fonction de 𝑚. Substituons les valeurs:𝑅=13𝑚𝑚0𝑖+0𝑗+𝑚0𝑖+332𝑗+𝑚442𝑖+332𝑗=130𝑖+0𝑗+0𝑖+332𝑗+442𝑖+332𝑗=13332𝑗+442𝑖+332𝑗=112𝑗+223𝑖+112𝑗=223𝑖+11𝑗.

Ainsi, le centre de gravité du système est situé en 223𝑖+11𝑗, ou 223;11 sous forme de coordonnées.

Terminons par récapituler quelques points clés.

Points clés

  • Pour un système de 𝑛 particules, où la 𝑖ème particule dans le système a un vecteur de position 𝑟 et masse 𝑚, le vecteur position du centre de gravité du système, 𝑅, est donnée par𝑅=1𝑀𝑚𝑟,𝑀 est la masse totale de toutes les particules.
  • Tenez toujours compte de la géométrie du système de particules, car cela peut parfois vous permettre de simplifier le problème. Si, par exemple, toutes les particules se trouvent sur une ligne horizontale ou verticale, le centre de gravité du système doit également se trouver sur la même ligne.
  • Il peut être utile de convertir tous les points et coordonnées en vecteurs de position avant de tenter de trouver le centre de gravité.

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