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Vidéo de la leçon : Centre de masse des particules Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la position du centre de gravité d’un ensemble de particules placées dans un repère à deux dimensions.

19:35

Transcription de vidéo

Centre de masse des particules

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la position du centre de gravité d’un ensemble de particules placées dans un repère à deux dimensions.

Nous savons que le poids d’une particule sur la Terre agit de son centre directement vers le bas vers le centre de la Terre. Cela rend les calculs avec des particules ou des masses ponctuelles individuelles très faciles à utiliser. Mais que se passe-t-il lorsque nous avons une collection ou un système de particules et que nous voulons considérer toutes ces particules en une seule fois ? C’est là que le centre de gravité est utile. Le centre de gravité est essentiellement le point dans l’espace, qui est la moyenne pondérée de toutes les particules du système.

Considérons maintenant deux particules dans le plan 𝑥𝑦.

Ici, nous avons nos deux particules. Supposons que le poids de la particule de gauche p un et que le poids de la particule de droite soit p deux. Nous pouvons également ajouter les vecteurs position de p un et p deux. Nous pouvons étiqueter le vecteur position de p un comme 𝐫 un, et le vecteur position de p deux comme 𝐫 deux. Maintenant, la position du centre de gravité du système contenant ces deux poids se situera quelque part le long de la droite passant par les centres des deux particules. Maintenant, si les poids des deux particules sont égaux - c’est-à-dire que p un est égal à p deux - alors le centre de gravité sera directement au milieu du segment de la droite passant par les centres des deux particules. Cependant, dans les cas où les deux poids ne sont pas égaux, le centre de gravité se déplacera le long de cette droite vers le plus grand poids.

Si p un est plus grand que p deux, alors le centre de gravité se déplacera le long de cette droite vers p un. De même, si p deux est plus grand que p un, alors le centre de gravité se déplacera le long de cette droite vers p deux. Afin de trouver réellement la position de ce centre de gravité, nous devrons utiliser une formule. Cette formule nous dit que la position du centre de gravité 𝐑 est égale à p un 𝐫 un plus p deux 𝐫 deux sur p un plus p deux. Maintenant, dans la plupart des systèmes où nous essayons de trouver la position du centre de gravité, nous considérerons plus de deux particules. Par conséquent, nous devrons développer cette formule afin de prendre en compte un nombre quelconque de particules.

On a ici la définition du centre de gravité d’un système de particules à deux dimensions. Supposons que nous ayons un système de 𝑛 particules avec des poids p un, p deux, p trois et ainsi de suite jusqu’à p 𝑛, qui sont situées aux vecteurs position 𝐫 un, 𝐫 deux, 𝐫 trois, et ainsi de suite jusqu’à 𝐫 𝑛, respectivement. Ensuite, le centre de gravité du système peut être trouvé en utilisant la formule 𝐑 est égal à p un 𝐫 un plus p deux 𝐫 deux plus p trois 𝐫 trois et ainsi de suite jusqu’à p 𝑛 𝐫 𝑛 sur p un plus p deux plus p trois plus jusqu’à p 𝑛.

En utilisant cette formule, nous sommes capables de trouver le centre de gravité d’un système de particules en deux dimensions lorsque l’on nous donne les poids et les vecteurs position respectifs de chacune des particules. Nous pouvons également réécrire cette formule en utilisant la notation de sommation. On voit que ces deux formules sont identiques. Cependant, celle utilisant la notation de sommation est beaucoup plus compacte. Nous avons que 𝐑 est égal à la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de p 𝑖 𝐫 𝑖 sur la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de p 𝑖.

Ensuite, nous réorganiserons légèrement cette formule afin que nous puissions voir comment nous pouvons trouver le centre de gravité d’un système lorsque l’on nous donne les masses des particules au lieu du poids.

Nous savons que le poids de toute particule est égal à sa masse 𝑚 multipliée par l’accélération due à la gravité 𝑔. Or, dans un champ gravitationnel uniforme, 𝑔 est une constante. Sur la Terre, 𝑔 est à peu près égal à 9,8 mètres par seconde au carré.

En utilisant cela, nous pouvons réécrire p un comme 𝑚 un 𝑔, p deux comme 𝑚 deux 𝑔, jusqu’à p 𝑛 comme 𝑚 𝑛 𝑔. Maintenant, si nous sommes dans un champ gravitationnel uniforme, la valeur de 𝑔 dans chacun de ces poids sera la même. Par conséquent, nous pouvons dire que pour n’importe lequel de nos poids, p 𝑖 est égal à 𝑚 𝑖 𝑔. Nous pouvons remplacer cette équation par p 𝑖 dans notre formule pour trouver le centre de gravité. Nous avons que 𝐑 est égal à la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖 𝑔 𝐫 𝑖 sur la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖 𝑔. Puisque 𝑔 n’est qu’une constante à la fois au numérateur et au dénominateur, nous pouvons la prendre comme un facteur commun dans les deux sommations. Ensuite, nous pouvons simplifier ce facteur de 𝑔. Ici, nous avons trouvé une autre formule pour trouver le centre de gravité d’un système de particules. Elle nous dit que 𝐑 est égal à la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖 𝐫 𝑖 sur la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖.

Cette formule sera utile lorsque l’on nous donnera les masses des particules plutôt que leur poids. Il convient de noter que cette formule pour le centre de gravité, qui utilise des masses au lieu de poids, est parfois appelée le centre de masse d’un système. Cependant, comme nous pouvons le voir d’après nos calculs, il équivaut au centre de gravité d’un système de particules lorsque les particules sont dans un champ gravitationnel uniforme.

Dans cette vidéo, nous ne considérerons que les systèmes qui remplissent cette condition d’un champ gravitationnel uniforme. Par conséquent, nous pourrons utiliser ces formules de manière interchangeable pour trouver le centre de gravité. Maintenant, lorsque nous trouvons réellement le centre de gravité d’un système, nous pouvons trouver plus facile de décomposer encore plus cette formule. Nous allons maintenant considérer les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de 𝐑.

Puisque 𝐑 est un vecteur à deux dimensions, on peut dire que 𝐑 est égal à 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣, où 𝐢 et 𝐣 sont les vecteurs unitaires fondamentaux. Si nous devions dessiner le vecteur 𝐑 sur un repère, alors les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du point final de 𝐑 peuvent être trouvées en regardant les coefficients de 𝐢 et 𝐣. C’est donc ce que nous avons nommé 𝑥 et 𝑦 ici. Nous pouvons également réécrire les vecteurs position pour chacune des particules de notre système. Nous aurons que le vecteur 𝐫 𝑖 est égal à 𝑥 𝑖 𝐢 plus 𝑦 𝑖 𝐣.

Maintenant, lorsque nous revenons à la formule du centre de gravité d’un système, nous pouvons considérer uniquement la partie horizontale ou simplement la partie verticale. En ne considérant que les parties horizontales de ces vecteurs, nous pouvons dire que l’abscisse 𝑥 du centre de gravité est égale à la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖 𝑥 𝑖 sur la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖. De même, l’ordonnée 𝑦 est égale à la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖 𝑦 𝑖 sur la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖.

Il est important de noter que ces formules fonctionnent également lorsqu’on nous donne les poids des particules au lieu de leurs masses. Nous pouvons obtenir ces formules en multipliant le numérateur et le dénominateur des formules originales par 𝑔, puis en remplaçant p 𝑖 par 𝑚 𝑖 𝑔. Et cela nous donnera la deuxième ligne des formules pour trouver le centre de gravité lorsque l’on nous donne les poids des particules au lieu de leurs masses.

Passons maintenant à un exemple.

Dans la figure donnée, trois poids d’intensité deux newtons, cinq newtons et trois newtons sont placés sur les sommets d’un triangle équilatéral de huit centimètres de côté. Trouver le centre de gravité du système.

Afin de résoudre ce problème, nous allons d’abord avoir besoin de trouver les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de chacun des poids. On nous a donné que les poids se trouvent sur les sommets d’un triangle équilatéral. Par conséquent, chacune de ces longueurs latérales sera également de huit centimètres. On voit déjà que le poids de deux newtons se trouve à l’origine. Donc ses coordonnées seront zéro, zéro. Le poids de cinq newtons se trouve sur l’axe des 𝑦 et est à huit centimètres du poids de deux newtons. Ainsi, ses coordonnées seront zéro, huit.

Afin de trouver la position du poids de trois newtons, nous pouvons ajouter cette droite horizontale pour nous aider. Cette droite fera un angle droit avec l’axe vertical. De plus, comme il s’agit d’un triangle équilatéral, cette droite sera la médiatrice du côté vertical. On voit donc que cette longueur sera de quatre centimètres. C’est donc l’ordonnée 𝑦 du poids de trois newtons.

Pour trouver l’abscisse 𝑥, nous allons utiliser le théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore nous dit que cette abscisse 𝑥 est égale à la racine carrée de huit au carré moins quatre au carré, qui est égale à la racine carrée de 64 moins 16, qui est également égale à la racine carrée de 48. Et cela se simplifie en donner quatre racine trois. Ainsi, les coordonnées de notre poids de trois newtons sont quatre racine trois, quatre.

Nous pouvons maintenant dresser un tableau qui nous montrera les positions de chacun des poids. Nous aurons également besoin des formules pour trouver les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de gravité. Commençons par trouver l’abscisse 𝑥. Au numérateur, nous devons additionner les produits des poids et leurs abscisses. C’est donc deux multiplié par zéro plus cinq multiplié par zéro plus trois multiplié par quatre racine trois. Et puis au dénominateur, nous devons simplement additionner les poids. Cela nous donne deux multiplié par zéro plus cinq multiplié par zéro plus trois multiplié par quatre racine trois sur deux plus cinq plus trois. Les deux premiers termes du numérateur sont multipliés par zéro. Nous pouvons donc les ignorer. En simplifiant le reste de la fraction, nous trouvons que 𝑥 est égal à 12 racine trois sur 10 centimètres.

Passons maintenant à la recherche de l’ordonnée 𝑦. Nous suivons un processus similaire pour trouver l’abscisse 𝑥, sauf que cette fois dans le numérateur, nous devons additionner les produits des poids avec leurs ordonnées 𝑦. C’est donc deux multiplié par zéro plus cinq multiplié par huit plus trois multiplié par quatre. Ensuite, nous devons diviser cela par la somme des poids, ce qui nous donne que 𝑦 est égal à deux multiplié par zéro plus cinq multiplié par huit plus trois multiplié par quatre sur deux plus cinq plus trois. Puisque le premier terme du numérateur est multiplié par zéro, nous pouvons à nouveau ignorer ce terme. En simplifiant le reste de la fraction, il nous reste 𝑦 est égal à 52 sur 10 centimètres. Maintenant que nous avons à la fois les coordonnées 𝑥 et 𝑦, nous avons trouvé le centre de gravité du système. Et il est situé aux coordonnées 12 racine trois sur 10, 52 sur 10.

Nous allons maintenant passer à notre deuxième exemple, où nous verrons comment trouver le centre de gravité d’un système lorsque l’on nous donne les masses des particules au lieu de leur poids.

Supposons que trois masses de un kilogramme, quatre kilogrammes et six kilogrammes soient situées à des points dont les positions sont moins six 𝐢 moins 𝐣, deux 𝐢 moins neuf 𝐣 et sept 𝐢 plus huit 𝐣. Déterminez le vecteur position du centre de gravité du système de masses.

On peut commencer par dresser un tableau des trois masses et chacune de leurs coordonnées 𝑥 et 𝑦 de leurs positions. Ensuite, nous devons rappeler les formules pour trouver les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de gravité d’un système en fonction de leurs masses. Nous avons que 𝑥 est égal à la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖 𝑥 𝑖 sur la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖. Et 𝑦 est égal à la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖 𝑦 𝑖 sur la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖.

Nous allons commencer par trouver l’abscisse 𝑥 du centre de gravité. Pour le numérateur, nous devons additionner les produits des masses avec leurs abscisses. Et au dénominateur, nous avons simplement la somme des masses. Cela nous donne un multiplié par moins six plus quatre multiplié par deux plus six multiplié par sept sur un plus quatre plus six. En simplifiant à la fois le numérateur et le dénominateur, nous avons que 𝑥 est égal à 44 sur 11. Puisque 44 est un multiple de 11, nous pouvons simplifier par ce facteur. Par conséquent, nous avons que 𝑥 est égal à quatre.

Ensuite, nous allons trouver l’ordonnée 𝑦 du centre de gravité. En utilisant la formule, nous avons que 𝑦 est égal à un multiplié par moins un plus quatre multiplié par moins neuf plus six multiplié par huit sur un plus quatre plus six. En simplifiant cette fraction, nous avons que 𝑦 est égal à 11 sur 11. Et bien sûr, cela se simplifie à un. Nous avons donc trouvé l’ordonnée 𝑦 du centre de gravité est égale à un.

Nous avons donc trouvé les coordonnées du centre de gravité. Cependant, la question nous a demandé de trouver le vecteur position du centre de gravité. L’abscisse 𝑥 du centre de gravité sera le coefficient du 𝐢 dans le vecteur position. De même, l’ordonnée 𝑦 sera le coefficient de 𝐣. Ici, nous atteignons notre solution, qui est que le vecteur position du centre de gravité du système des masses est quatre 𝐢 plus 𝐣.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment le centre de gravité peut être utilisé pour trouver une masse inconnue dans un système de masses.

Les points zéro, six ; zéro, neuf ; et zéro, quatre sur l’axe des 𝑦 sont occupés par trois masses solides de neuf kilogrammes, six kilogrammes et 𝑀 kilogrammes, respectivement. Déterminez la valeur de 𝑀 étant donné que le centre de gravité du système est au point zéro, sept.

La première chose que nous remarquons à propos de cette question est que toutes les masses ainsi que le centre de masse sont situés sur l’axe des 𝑦. Par conséquent, chacune des abscisses est égale à zéro. Si nous devions essayer d’effectuer des calculs avec l’abscisse 𝑥, nous finirions par multiplier chaque terme par zéro. Et donc, cela ne nous apprendrait rien d’utile. Par conséquent, nous devrions nous concentrer sur les ordonnées ici. Rappelons la formule pour trouver l’ordonnée 𝑦 du centre de gravité d’un système de masses. Nous avons que 𝑦 est égal à la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖 𝑦 𝑖 sur la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖. Afin de nous faciliter un peu la vie, dressons un tableau composé des masses et de leurs ordonnées relatives.

Maintenant, nous sommes prêts à utiliser la formule. Nous savons que le 𝑦 dans notre formule est l’ordonnée 𝑦 du centre de gravité, qui nous a été donné comme sept. En utilisant notre formule, nous avons que sept est égal à neuf multiplié par six plus six multiplié par neuf plus quatre multiplié par 𝑀 sur neuf plus six plus 𝑀. En simplifiant à la fois le numérateur et le dénominateur, nous avons que sept est égal à 108 plus quatre 𝑀 sur 15 plus 𝑀. Ensuite, nous pouvons multiplier à gauche et à droite par 15 plus 𝑀. Nous avons que sept multiplié par 15 plus 𝑀 est égal à 108 plus quatre 𝑀.

Ensuite, nous pouvons développer les parenthèses sur le membre de gauche, nous donnant 105 plus sept est égal à 108 plus quatre 𝑀. Ensuite, nous pouvons soustraire 105 des deux membres et quatre 𝑀 des deux membres. Il nous reste trois 𝑀 est égal à trois. Enfin, nous divisons les deux membres par trois pour trouver notre solution, à savoir que 𝑀 est égal à un. Par conséquent, la masse de notre solide final est d’un kilogramme.

Pour le dernier exemple de cette vidéo, nous allons voir comment trouver le centre de gravité d’un système où les masses sont placées sur les sommets d’un carré.

Un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 a 𝐿 comme longueur du côté. Trois masses de 610 grammes sont placées en 𝐴, 𝐵 et 𝐷. Trouver les coordonnées du centre de gravité du système.

Afin de résoudre ce problème, nous aurons besoin d’utiliser les formules pour trouver les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de gravité d’un système de masses. Nous avons que l’abscisse 𝑥 de notre centre de gravité est égale à la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖 𝑥 𝑖 sur la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖. Et l’ordonnée 𝑦 est égale à la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖 𝑦 𝑖 sur la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 𝑖. Nous pouvons maintenant dresser un tableau pour montrer les masses et leurs coordonnées correspondantes. En notant que la longueur du côté du carré est 𝐿, on a que les coordonnées des masses sont zéro, zéro en ; 𝐿, zéro en 𝐵 ; et zéro, 𝐿 en 𝐷.

Nous sommes maintenant prêts à remplacer ces valeurs dans nos formules pour trouver les coordonnées du centre de gravité. Pour l’abscisse 𝑥, nous avons que 𝑥 est égal à 610 multiplié par zéro plus 610 multiplié par 𝐿 plus 610 multiplié par zéro sur 610 plus 610 plus 610. Maintenant, le premier et le dernier terme du numérateur sont multipliés par zéro. Nous pouvons donc les ignorer. En simplifiant ce qu’il nous reste, nous avons 610𝐿 sur trois multiplié par 610. Nous pouvons donc simplifier ce facteur de 610. Ici, nous avons trouvé l’abscisse 𝑥, qui est 𝐿 sur trois.

Ensuite, nous pouvons trouver l’ordonnée 𝑦 du centre de gravité de la même manière. Nous avons que l’ordonnée 𝑦 est égale à la somme des masses multipliée par leurs ordonnées respectives divisée par la somme des masses. Nous avons que 𝑦 est égal à 610 multiplié par zéro plus 610 multiplié par zéro plus 610 multiplié par 𝐿 divisé par 610 plus 610 plus 610. Puisque les deux premiers termes du numérateur sont multipliés par zéro, nous pouvons les ignorer. Nous pouvons alors simplifier cela à 610𝐿 sur trois multiplié par 610. Et nous pouvons la simplifier davantage en éliminant le facteur de 610. Alors maintenant, nous avons trouvé notre ordonnée 𝑦 du centre de gravité, qui est 𝐿 sur trois. En combinant cela avec notre abscisse 𝑥, nous avons trouvé les coordonnées du centre de gravité du système. Et c’est en 𝐿 sur trois, 𝐿 sur trois.

Nous avons maintenant couvert une variété d’exemples. Récapitulons quelques points clés de la vidéo.

Points clés

Le centre de gravité d’un système de particules est la position moyenne des particules pondérées en fonction de leur poids. Nous pouvons trouver le centre de gravité d’un système en utilisant 𝐑 est égal à la somme de 𝑖 est égal à un à 𝑛 de p 𝑖 𝐫 𝑖 sur la somme de 𝑖 est égal à un à 𝑛 de p 𝑖. Pour trouver les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de gravité, nous pouvons utiliser 𝑥 est égal à la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de p 𝑖 𝑥 𝑖 sur la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de p 𝑖. Et 𝑦 est égal à la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de p 𝑖 𝑦 𝑖 sur la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de p 𝑖.

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