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Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 sur trois de sept 𝑥 fois le cosinus de 𝑥.
La question veut que nous évaluions la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 sur trois de sept 𝑥 multiplié par le cosinus de 𝑥. Nous pouvons voir qu’il s’agit de la limite d’une fonction linéaire multipliée par une fonction trigonométrique. Nous voulons l’évaluer par substitution directe, mais vérifions que nous pouvons le faire dans ce cas.
Tout d’abord, nous rappelons que nous pouvons évaluer la limite de n’importe quel polynôme en utilisant la substitution directe. Puisque sept 𝑥 est une fonction linéaire, soit un polynôme, cela signifie que nous pouvons en fait évaluer la limite de sept 𝑥 par substitution directe. Ensuite, nous savons également que nous pouvons évaluer la limite d’une fonction trigonométrique par substitution directe tant que nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers une valeur dans le domaine de définition de cette fonction trigonométrique.
La fonction trigonométrique dans cette question est cosinus de 𝑥, que nous savons défini pour toutes les valeurs de 𝑥. Ainsi, cela signifie que nous pouvons évaluer la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 sur trois de cosinus de 𝑥 par substitution directe. Seulmeent, nous ne voulons pas évaluer la limite de chacune de ces fonctions séparément en utilisant la substitution directe. Nous voulons évaluer la limite de leur produit en utilisant la substitution directe.
À ce stade, il existe maintenant deux façons différentes d’évaluer cette limite. Premièrement, nous pourrions utiliser le fait que la limite d’un produit est égale au produit des limites. En utilisant cela, nous obtenons que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 sur trois de sept 𝑥 fois le cosinus de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 sur trois de sept 𝑥 fois la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 sur trois du cosinus de 𝑥.
Nous voyons que la première limite est la limite d’un polynôme et que la deuxième limite est la limite d’une fonction trigonométrique. Ainsi, nous pouvons évaluer chacune de ces limites par substitution directe. En substituant 𝑥 est égal à 𝜋 sur trois, nous obtenons sept fois 𝜋 sur trois multiplié par le cosinus de 𝜋 sur trois. Nous savons que le cosinus de 𝜋 sur trois est égal à un demi. Ainsi, nous pouvons calculer cette expression pour nous donner sept 𝜋 sur six.
Cependant, nous n’avons pas besoin de diviser cette limite en un produit de deux limites. Nous savons que si nous pouvons évaluer la limite de deux fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 par substitution directe lorsque 𝑥 tend vers une valeur de 𝑎, alors nous pouvons également évaluer leur produit en utilisant la substitution directe. Ainsi, pour utiliser cela pour la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 sur trois de sept 𝑥 fois le cosinus de 𝑥, comme nous le faisions auparavant, nous savons que nous pouvons évaluer la limite de sept 𝑥 et la limite du cosinus de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 sur trois par substitution directe. Nous pouvons faire cela car sept 𝑥 est un polynôme et que cosinus de 𝑥 est une fonction trigonométrique.
Nous pouvons donc essayer d’évaluer cette expression en substituant simplement 𝑥 égale 𝜋 sur trois. Nous substituons 𝑥 est égal à 𝜋 sur trois et nous obtenons sept fois 𝜋 sur trois multiplié par le cosinus de 𝜋 sur trois. Encore une fois, nous pouvons évaluer cette expression pour nous donner sept 𝜋 sur six. Ainsi, nous avons montré en utilisant la substitution directe que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 sur trois sur sept 𝑥 fois le cosinus de 𝑥 est égale à sept 𝜋 sur six.
