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Une barre uniforme 𝐴𝐵𝐶 de longueur 46 centimètres tordue en son milieu 𝐵 puis suspendue librement en 𝐴. Sachant que 𝐵𝐶 est horizontale lorsque la barre est suspendue dans sa position d'équilibre, déterminez la distance entre le centre de gravité de la barre et 𝐴.
Dans cette question, on nous demande de trouver la distance entre le centre de gravité d’un objet et un certain point sans qu’on nous dise quelle est la forme précise de l’objet. On nous dit que la barre uniforme est tordue en son milieu, mais on ne nous donne pas l’angle de courbure. Les indices qui nous sont donnés sont que la barre est suspendue librement à partir de 𝐴 et que lorsque la barre est suspendue dans sa position d’équilibre, 𝐵𝐶 est horizontale. La longueur donnée de la barre de 46 centimètres est un peu triviale puisque la procédure du problème serait la même quelle que soit la longueur de la barre. Alors, appelons la longueur 𝐿 pour simplifier le calcul.
Faisons un schéma approximatif de la situation. Nous avons une barre uniforme, 𝐴, 𝐵 et 𝐶, qui est tordue en son milieu 𝐵. Lorsqu’elle est suspendue librement en 𝐴, sa position d’équilibre est telle que 𝐵𝐶 est horizontale. Puisque 𝐵 est le milieu de la barre, 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 ont tous deux la même longueur, la moitié de la longueur totale de la barre, 𝐿 sur deux. Puisque 𝐵𝐶 est horizontal, la droite verticale passant par 𝐴 la coupe suivant un angle droit.
Nous pouvons considérer cette barre tordue comme deux barres distinctes, 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. Rappelons que le centre de gravité d’une barre uniforme est en son milieu. Donc, si nous avons une barre uniforme de longueur 𝐿 sur deux, le centre de gravité est à 𝐿 sur quatre de chaque extrémité. Pour revenir à notre schéma, les centres de gravité des barres 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 sont à 𝐿 sur quatre de l’une ou l’autre de leurs extrémités. Le centre de gravité de la barre complète, que nous appellerons 𝑃, sera situé au milieu du segment entre les deux centres de gravité des deux barres distinctes. Lorsqu’il est suspendu dans sa position d’équilibre, le centre de gravité sera également directement en dessous du point de suspension 𝐴. 𝑃 se situe donc à l’intersection de la droite entre les deux points médians des deux barres distinctes et la ligne verticale issue de 𝐴.
La distance que nous devons trouver est la distance entre 𝐴 et 𝑃. Il y a plusieurs façons de procéder. Le but est de trouver un triangle rectangle pour lequel 𝐴𝑃 est l’un de ses côtés et nous connaissons les deux autres côtés à partir desquels nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de 𝐴𝑃. Cependant, il n’existe aucun triangle rectangle sur ce schéma dont nous connaissons les côtés. Nous devons donc en construire un.
Une méthode consiste à définir une nouvelle ligne entre 𝐴 et 𝐶. Nous avons un triangle isocèle avec deux côtés identiques de longueur 𝐿 sur deux. Si nous dessinons une nouvelle ligne de 𝐵 par le point 𝑃, elle coupe la droite 𝐴𝐶 en son milieu 𝐸, divisant le triangle isocèle en deux.
Nous ne connaissons pas encore la longueur du côté 𝐴𝐶. Appelons-le deux 𝑏. Ainsi, la longueur de 𝐴𝐸 est 𝑏, et la longueur de 𝐶𝐸 est également 𝑏. Puisque 𝑃 est le milieu des deux centres de gravité des deux barres distinctes, c’est aussi le milieu de 𝐵𝐸. Par conséquent, les lignes 𝐵𝑃 et 𝐸𝑃 ont également la même longueur, que nous appellerons ℎ. En regardant à nouveau le schéma, nous avons un triangle rectangle 𝐴𝐸𝑃, où 𝐴𝑃 est l’un des côtés et les deux autres côtés sont 𝑏 et ℎ. Si nous pouvons trouver les longueurs de 𝑏 et ℎ, alors nous pouvons trouver la longueur de 𝐴𝑃.
Appelons ce dont nous avons besoin de trouver, soit la longueur de 𝐴𝑃, 𝑑. Notre objectif final est de trouver 𝑑 en utilisant le théorème de Pythagore avec les valeurs de 𝑏 et ℎ. 𝑑 est égal à la racine carrée de 𝑏 au carré plus ℎ au carré. Nous devons donc d’abord trouver les valeurs de 𝑏 et ℎ en fonction de la longueur de la barre 𝐿. Considérons le triangle 𝐴𝐵𝐸. C’est un triangle rectangle avec une hypoténuse de 𝐿 sur deux, et les deux autres côtés sont 𝑏 et deux ℎ.
En utilisant alors le théorème de Pythagore, 𝑏 au carré plus deux ℎ le tout au carré est égal à 𝐿 sur deux le tout au carré. En simplifiant et en réarrangeant pour trouver 𝑏 au carré, 𝑏 au carré est égal à 𝐿 au carré sur quatre moins quatre ℎ au carré. Nous pouvons donc remplacer par cette expression de 𝑏 au carré dans notre équation finale de sorte que 𝑑 soit égal à la racine carrée de 𝐿 au carré sur quatre moins trois ℎ au carré.
Il suffit donc de trouver la valeur de ℎ en fonction de la longueur de la barre 𝐿, et nous aurons notre réponse. Trouver la valeur de ℎ n’est cependant pas encore trivial puisque nous n’avons pas encore de triangles rectangles où ℎ est l’un de ses côtés et les deux autres côtés que nous connaissons. En regardant à nouveau le schéma, nous avons ici deux triangles rectangles, chacun avec un côté ℎ. Mais nous ne connaissons pas encore les valeurs des autres côtés. La droite 𝐵𝐸 coupe le triangle isocèle 𝐴𝐵𝐶. Appelons les points médians des deux barres distinctes 𝑀 un et 𝑀 deux, respectivement.
Ces deux triangles, violet et vert, sont des triangles semblables, ce qui signifie qu’ils ont tous les mêmes angles. Ils ont un angle droit. Et puisque 𝐵𝐸 coupe le triangle isocèle, ils ont le même angle ici, 𝜃. Rappelons que des triangles semblables ont la propriété que les rapports de tous leurs côtés sont les mêmes. Ainsi, par exemple, le rapport de l’hypoténuse au deuxième côté le plus long est le même dans les deux triangles. Dans le premier triangle violet, la longueur de l’hypoténuse est 𝐿 sur quatre, et la longueur du côté adjacent est ℎ.
Dans le deuxième triangle vert, la longueur de l’hypoténuse est ℎ et la longueur du côté adjacent est la longueur que nous appellerons 𝑥. Donc, pour le premier triangle, nous avons cosinus 𝜃 est égal à ℎ sur 𝐿 sur quatre. Et pour le deuxième triangle, nous avons cosinus 𝜃 est égal à 𝑥 sur ℎ. 𝜃 est le même angle pour les deux triangles. Donc, cosinus 𝜃 a la même valeur. Par conséquent, ℎ sur 𝐿 sur quatre est égal à 𝑥 sur ℎ. La réorganisation de cette équation nous donne ℎ au carré égal 𝑥𝐿 sur quatre. Nous pouvons remplacer par cette expression le ℎ au carré dans notre équation finale pour trouver 𝑑, ce qui nous donne 𝑑 égale la racine carrée de 𝐿 au carré sur quatre moins trois 𝑥𝐿 sur quatre.
Ainsi, la dernière étape consiste à trouver la valeur de 𝑥 en fonction de 𝐿. Revenons à notre schéma principal, 𝑥 est la longueur du côté de ce triangle vert ici, qui est la distance entre le point 𝐵 et le point où la ligne verticale issue de 𝐴 rencontre 𝐵𝐶. Appelons ce point d’intersection 𝐹. Avant d’aller plus loin, redessinons le triangle isocèle principal. Faisons tourner le triangle pour que 𝐴𝐶 soit maintenant horizontale et 𝐵 soit en haut. Le point 𝑃 est à mi-chemin entre 𝐴 et 𝐶 et à mi-chemin du triangle. La ligne issue de 𝐴, qui passe par le point 𝑃, rencontre 𝐵𝐶 au point 𝐹.
Ce que nous voulons trouver, c’est la longueur 𝑥 de la ligne 𝐵𝐹. Cela équivaut à déterminer à quelle distance se trouve le point 𝐹 sur la ligne 𝐵𝐶. Pensez à compléter le rectangle de ce triangle en traçant des droites verticales vers le haut de 𝐴 et 𝐶 à la hauteur du triangle, puis une droite horizontale entre leurs deux extrémités. Le point 𝑃 est le centre de gravité de ce rectangle car il se trouve à mi-chemin du triangle et à mi-chemin de 𝐴𝐶. Si on prolonge 𝐴𝐹, elle rencontre donc le rectangle en son extrémité. Cela crée deux nouveaux triangles, un et deux. Puisqu’ils sont formés par l’intersection de deux droites et de deux droites horizontales, ces deux triangles sont semblables.
Rappelez-vous du schéma d’origine que la longueur de 𝐴𝐶 est deux 𝑏. Puisque le point 𝐵 est au milieu du côté supérieur du rectangle, cette longueur ici est 𝑏. La droite 𝐵𝐶 rencontre la droite horizontale contenant 𝑃 à mi-chemin de ce milieu. La longueur de ce côté du triangle deux est donc 𝑏 sur deux. Regardons maintenant de plus près ces deux triangles.
Ces deux triangles sont formés par l’intersection de deux droites et de deux droites horizontales de longueurs 𝑏 et 𝑏 sur deux. Ces deux triangles sont donc semblables et ont deux angles égaux 𝜃 en forme de Z. Le rapport du côté supérieur du grand triangle 𝑏 à son côté adjacent 𝑥 est donc égal au rapport du côté inférieur du petit triangle 𝑏 sur deux à son côté adjacent. Appelons-le 𝑦. Donc, nous avons 𝑏 sur 𝑥 égale 𝑏 sur deux sur 𝑦. Les 𝑏 des deux côtés se simplifient. Et la réorganisation des termes nous donne 𝑥 égal deux 𝑦.
Rappelons du schéma original que la longueur du côté 𝐵𝐶 est égale à 𝐿 sur deux. Les deux côtés de ces triangles, 𝑥 et 𝑦, s’additionnent donc pour donner la moitié de la longueur de ce côté, 𝐿 sur quatre. Puisque 𝑥 est égal à deux 𝑦, 𝑦 est égal à 𝑥 sur deux. Donc, nous avons 𝑥 plus 𝑥 sur deux égal 𝐿 sur quatre. En réarrangeant pour trouver 𝑥 on obtient 𝑥 égal 𝐿 sur six. Nous avons maintenant 𝑥 exclusivement en fonction de 𝐿 et donc tout ce dont nous avons besoin pour trouver 𝑑.
En remplaçant dans l’expression 𝑥 par 𝐿 sur six, nous obtenons 𝑑 égal racine carrée de 𝐿 au carré sur quatre moins trois 𝐿 au carré sur 24. En faisant un dénominateur commun 24 nous obtenons racine carrée de six 𝐿 au carré moins trois 𝐿 au carré sur 24. La simplification nous donne 𝐿 racine de trois sur racine de 24. Une simplification supplémentaire nous donne 𝐿 racine de deux sur quatre. Substituer la longueur d’origine de la barre, 46 centimètres, nous donne 46 racine de deux sur quatre. Et en simplifiant encore une fois nous obtenons le résultat final. La distance entre le centre de gravité de la barre et 𝐴, 𝑑 est égale à 23 racine de de deux sur deux centimètres.
