Vidéo de la leçon: Centre de gravité d’une barre homogène Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer le centre de gravité d'une barre homogène. Dans un champ de gravitation uniforme, le centre de gravité d’un objet, parfois appelé centre de masse, est le point unique où le poids de l’objet s’applique. En d’autres termes, on peut donc supposer que la masse de l’objet est concentrée en son centre de gravité comme s’il s’agissait d’une particule. Et si on place un support sous le centre de gravité d’un corps rigide, il sera parfaitement équilibré en ce seul point. Dans un corps rigide de densité constante, le centre de masse est situé au centre géométrique du corps.

Mais comment pouvons-nous généraliser cela à des barres homogènes ? Eh bien, une barre homogène est un objet rectiligne avec une densité constante. Et son centre de gravité est situé en son milieu. Cette définition signifie qu’une barre homogène serait parfaitement équilibrée en son milieu, comme le montre cette figure. Et on peut donc traiter la masse d’une barre homogène comme une particule de même masse située en son milieu. Maintenant, lorsque l’on étudie un système de corps impliquant une ou plusieurs barres homogènes, on peut trouver le centre de gravité de ce système en traitant ces barres comme des particules et en trouvant le centre de gravité du système résultant.

Rappelons donc la formule permettant de trouver le centre de gravité d’un système de particules dans un repère cartésien. Le centre de masse d’un système de particules est la position moyenne pondérée des particules en fonction de leur masse. C’est-à-dire que pour des masses 𝑚 𝑖 de coordonnées 𝑥 𝑖, 𝑦 𝑖, l’abscisse du centre de gravité est définie par la somme des 𝑚 𝑖 fois 𝑥 𝑖 divisée par la somme des 𝑚 𝑖. Et son ordonnée est définie par la somme des 𝑚 𝑖 fois 𝑦 𝑖 divisée par la somme des 𝑚 𝑖. Maintenant que nous avons les formules et les définitions nécessaires, nous allons voir un exemple de recherche du centre de gravité d’un système impliquant une barre avec des poids à chacune de ses extrémités.

Le segment 𝐴𝐵 est une barre homogène de longueur quatre centimètres et de masse quatre kilogrammes. Une masse de cinq kilogrammes est fixée à 𝐴 et une autre masse d’un kilogramme est fixée à 𝐵. Déterminez la distance entre le centre de gravité du système et 𝐴.

La première information qu’on nous donne est que la barre, qui est représentée par le segment AB, est homogène. Et on sait qu’une barre homogène a une densité constante. Le centre de gravité de cette barre est donc situé en son milieu. Utilisons cette information et les informations sur les masses qui sont fixées à 𝐴 et 𝐵 pour la représenter sur un schéma. La prochaine chose que nous pouvons faire est de tracer un axe pour indiquer la position de ces masses dans le repère cartésien. Imaginons alors que le point 𝐴 est situé à l’origine et que le segment AB se situe le long de l’axe des abscisses comme illustré.

Puisque la longueur de la barre est de quatre centimètres et en considérant le centimètre comme l’unité de longueur, le point 𝐵 doit avoir les coordonnées quatre, zéro. On peut ensuite trouver le milieu du segment AB en calculant la somme des coordonnées séparément et en les divisant par deux. C’est-à-dire zéro plus quatre sur deux et zéro plus zéro sur deux, ce qui nous donne les coordonnées deux, zéro. On ne s’intéresse en réalité ici qu’aux valeurs des abscisses. Mais nous avons indiqué la valeur des ordonnées par souci de précision.

On rappelle ensuite que pour un système de particules de masses 𝑚 𝑖 et de coordonnées 𝑥 𝑖, 𝑦 𝑖, l’abscisse et l’ordonnée du centre de gravité sont les suivantes. Puisque les trois masses que nous étudions se situent le long de l’axe des abscisses, nous allons simplement calculer l’abscisse du centre de gravité. Commençons par calculer la somme des produits des 𝑚 𝑖 et 𝑥 𝑖. La masse de la particule 𝐴 est de cinq kilogrammes et son abscisse est zéro. La masse de la barre homogène est de quatre kilogrammes et son centre de gravité est situé au point deux, zéro. Et enfin, la masse au point 𝐵 est d’un kilogramme et elle est située à quatre unités sur l’axe des abscisses. Donc la somme des 𝑚 𝑖 𝑥 𝑖 est égale à 12 ou 12 kilogrammes centimètres.

Le dénominateur de la fraction est la somme des 𝑚 𝑖. Il s’agit simplement de la somme des masses de tous les objets du système. C’est-à-dire cinq plus quatre plus un, ce qui fait 10 ou 10 kilogrammes. Le centre de gravité est le quotient de ces valeurs, il est donc égal à 12 sur 10 ou 1,2. Par conséquent l’abscisse du centre de masse est 1,2. Et on sait que cette mesure est en centimètres. Puisque ce point est situé sur l’axe des abscisses et que le point 𝐴 est à l’origine, la distance entre le centre de gravité, ou le centre de masse, du système et 𝐴 est de 1,2 centimètres.

Dans cet exemple, nous avons pu identifier le centre de gravité du système en considérant que la masse de la barre homogène était concentrée en son milieu. Nous pouvons utiliser la même stratégie pour un système de plusieurs barres homogènes.

Quand plusieurs barres homogènes sont attachées ensemble, elles forment un corps rigide. On peut alors trouver le centre de gravité de ce système en supposant que la masse de chaque barre est concentrée en son milieu. Cela nous amène ainsi à un système de particules dont le centre de masse est confondu avec celui du système des barres. Il convient également de noter que si chaque barre du système est de même densité, alors la valeur de cette densité n’influence pas la position du centre de gravité. Et on peut donc la négliger complètement dans les calculs. Montrons donc comment trouver le centre de gravité d’un système de barres homogènes.

La figure ci-dessous représente un câble rigide homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷 de longueur 10 centimètres tel que 𝐴𝐵 égale 𝐵𝐶 égale deux 𝐶𝐷 égale quatre centimètres. Déterminez les coordonnées du centre de gravité du câble par rapport aux axes 𝐵𝐴 et 𝐵𝐶.

Commençons par rappeler que le centre de gravité d’une barre homogène est situé en son milieu. Mais nous avons en fait ici un système de barres homogènes. On peut donc supposer que la masse de chaque barre est concentrée en son propre milieu. Et on rappelle de plus que si chaque barre du système a la même densité, alors la valeur de cette densité n’affecte pas la position du centre de gravité. Remarquez que ABCD est homogène, donc les barres ont une densité constante, où on considère que AB, 𝐵𝐶 et 𝐶𝐷 sont trois barres individuelles. Cela signifie donc que leurs masses sont proportionnelles à leur longueur. Et on sait que toutes les barres ont la même densité. Donc, si on connaît la longueur de chaque barre, c’est-à-dire la longueur de chaque segment, on peut assez facilement calculer leur masse. Pour calculer leur longueur, nous allons utiliser l’information 𝐴𝐵 égale 𝐵𝐶 égale deux 𝐶𝐷 égale quatre centimètres.

Si on suppose que la masse linéique de chaque barre est de un kilogramme par centimètre, cela signifie que la masse du segment AB est de quatre kilogrammes. De même, la masse du segment BC, ou de la barre 𝐵𝐶, est également de quatre kilogrammes. La masse du segment CD est égale à un demi fois quatre kilogrammes. Car on sait que deux 𝐶𝐷 égale quatre centimètres, donc 𝐶𝐷 est égal à un demi de quatre. La masse de 𝐶𝐷 est par conséquent de deux kilogrammes.

La prochaine étape consiste maintenant à trouver le centre de gravité de chaque barre. En utilisant le centimètre comme unité de longueur dans le repère, on peut déterminer les coordonnées de chaque point. Puisque le segment AB mesure quatre centimètres, le point 𝐴 peut être considéré comme le point zéro, quatre. Le point 𝐶 a pour coordonnées quatre, zéro. Le point 𝐷 a pour coordonnées quatre, moins deux. Et, bien sûr, le point 𝐵 est à l’origine, donc il a pour coordonnées zéro, zéro. Cela nous permet maintenant de calculer le milieu de chacun des segments. On trouve le milieu du segment 𝐴𝐵 en calculant séparément les sommes des coordonnées de ses extrémités divisées par deux. C’est-à-dire, zéro plus zéro sur deux et quatre plus zéro sur deux, soit zéro, deux. De la même manière, le milieu du segment 𝐵𝐶 a pour coordonnées deux, zéro et le milieu de 𝐶𝐷 a pour coordonnées quatre, moins un.

Ajoutons ces coordonnées à notre schéma et faisons un peu de place pour déterminer le centre de gravité du système. On sait que les coordonnées du centre de gravité sont définies par la somme des 𝑚 𝑖, 𝑥 𝑖 sur la somme des 𝑚 𝑖 et par la somme des 𝑚 𝑖, 𝑦 𝑖 sur la somme des 𝑚 𝑖. En d’autres termes, chaque coordonnée du centre de gravité est égale à la moyenne pondérée des coordonnées correspondantes des particules en fonction de leur masse. Essayons donc de calculer son abscisse. Le numérateur de cette fraction est la somme des produits de la masse et de l’abscisse du centre de chaque particule. On calcule donc quatre fois zéro plus quatre fois deux plus deux fois quatre. Et le dénominateur est simplement la somme de leurs masses, donc quatre plus quatre plus deux. Cela nous donne 16 sur 10, ce qui se simplifie par huit sur cinq.

Et on peut répéter ce raisonnement pour l’ordonnée. On utilise cette fois les ordonnées des centres de gravité. Donc, le numérateur est quatre fois deux plus quatre fois zéro plus deux fois moins un. Et le dénominateur est toujours la somme des masses. Cela correspond à la masse de la totalité du système. On obtient six sur 10, ce qui se simplifie par trois sur cinq. Nous concluons donc que les coordonnées du centre de gravité de ce système sont huit sur cinq, trois sur cinq.

Dans le dernier exemple, nous allons montrer comment calculer la distance entre le centre de gravité d’une structure rigide homogène et un point spécifique.

Un câble mince rigide homogène a la forme du trapèze 𝐴𝐵𝐶𝐷 tel que la mesure de l’angle 𝐵 est égale à la mesure de l’angle 𝐶, qui est égale à 90 degrés, 𝐴𝐵 égale 494 centimètres, 𝐵𝐶 égale 105 centimètres et 𝐶𝐷 égale 134 centimètres. Calculez la distance entre le centre de gravité du câble et le point 𝐵 en arrondissant votre réponse au centième près.

Avant d’essayer de répondre à cette question, nous allons commencer par dessiner le trapèze 𝐴𝐵𝐶𝐷. On sait que la mesure de l’angle 𝐵 et la mesure de l’angle 𝐶 sont de 90 degrés. Cela nous indique que les côtés 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 doivent être les côtés parallèles du trapèze. Traçons donc ce trapèze dans un repère cartésien. Et on suppose que le point 𝐵 est à l’origine car c’est le point qui nous intéressera un peu plus tard.

Maintenant, avant d’aller plus loin, nous devons calculer la longueur du segment AD. Et nous verrons pourquoi c’est important dans un instant. En ajoutant un triangle rectangle au schéma, nous pouvons en fait utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la valeur de 𝑥. Il nous indique que le carré de l’hypoténuse, donc 𝑥 au carré, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés plus courts. Eh bien, la base du triangle mesure 105 centimètres. Et sa hauteur est égale à la différence entre 494 et 134. Donc, 𝑥 au carré égale 140625. Et la racine carrée de cela nous donne une longueur de 375 centimètres.

Cette information est vraiment utile car on nous dit que le câble est homogène, donc chaque barre a la même densité. Et on peut supposer que leur masse linéique est de un kilogramme par centimètre. Par conséquent, puisque les barres ont une densité constante, leurs masses sont proportionnelles à leur longueur. Donc la masse du câble entre 𝐴 et 𝐵 est de 494 kilogrammes, celle de 𝐵𝐶 est de 105 kilogrammes, celle de 𝐶𝐷 est de 134 kilogrammes et celle de 𝐴𝐷 est de 375 kilogrammes.

Nous allons maintenant déterminer le centre de gravité de chaque barre. Nous savons que le centre de gravité est situé au milieu de chaque barre. Nous allons donc calculer les coordonnées de chaque milieu. Le segment 𝐴𝐵 se trouve sur l’axe des ordonnées, donc l’abscisse de son milieu sera zéro. Et son ordonnée est la moyenne des ordonnées de 𝐴 et 𝐵. C’est-à-dire 494 plus zéro sur deux, soit 247. Ensuite, le segment 𝐵𝐶 se trouve sur l’axe des abscisses. Donc, l’ordonnée de son milieu est zéro. Et l’abscisse de son milieu est égale à un demi de 105, soit 52,5.

Pour arriver au milieu de 𝐶𝐷, on se déplace de 105 unités le long de l’axe des abscisses. Puis de un demi de 134 unités vers le haut. Donc son abscisse est de 105 et son ordonnée est de 67. On a enfin le milieu de 𝐴𝐷. L’abscisse de son milieu est de 52,5. Car elle est égale à un demi de 105. Et l’ordonnée de son milieu est ensuite égale à la moyenne de 494 et 134, soit 314. On rappelle maintenant que les coordonnées du centre de gravité sont égales à la moyenne pondérée des coordonnées correspondantes des particules en fonction de leur masse.

Commençons par calculer l’abscisse du centre de gravité du système. Le numérateur est égal à la somme des produits de chaque valeur de la première et la deuxième ligne de notre tableau. Le dénominateur est simplement égal à la masse totale du système, donc à la somme de toutes les valeurs de la première ligne. Cela nous donne 39270 sur 1108.

Faisons un peu de place et répétons cela pour l’ordonnée du centre de gravité. Pour trouver le numérateur de l’ordonnée du centre de gravité, on calcule la somme des produits des valeurs de la première et de la troisième ligne. Et on le divise à nouveau par la masse totale. Cela nous donne 248746 sur 1108. Et nous avons ainsi déterminé les coordonnées du centre de gravité. Mais ce que nous recherchons est la distance entre ce point et le point 𝐵. Et nous savons que le point 𝐵 est à l’origine. Nous allons donc utiliser la formule de la distance, qui est simplement une application du théorème de Pythagore.

La distance est égale à la racine carrée de la somme des carrés de l’abscisse et de l’ordonnée du centre de gravité, soit 227,28. La distance entre le centre de gravité du câble et le point 𝐵 est donc de 227,28 centimètres au centième près.

Récapitulons maintenant les concepts clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris que le centre de gravité d’une barre homogène est situé en son milieu. Nous avons également vu que l’on peut composer un corps rigide à partir de plusieurs barres homogènes. On peut trouver le centre de masse d’une telle structure en supposant que la masse de chaque barre du système est concentrée en son milieu. Cela nous permet ensuite d’utiliser les formules habituelles pour déterminer le centre de gravité du système.