Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment déterminer le centre de gravité de barres homogènes.
Dans un champ de masse homogène, le centre de gravité est le point unique en lequel la force poids de l’objet agit. En d’autres termes, nous pouvons effectivement supposer que la masse de l’objet est concentrée au centre de gravité comme s’il s’agissait d’une particule. Si nous supportons un corps rigide en son centre de gravité, alors il sera parfaitement équilibré en ce seul point.
Dans un corps rigide à densité constante, le centre de gravité est situé au centre géométrique du corps. Une barre homogène est un objet linéaire avec une densité linéaire constante, et son centre de gravité est en son milieu.
Comme on peut le voir sur la figure ci-dessus, une barre homogène serait parfaitement équilibrée en son milieu.
Définition : Centre de gravité d’une barre homogène
Le centre de gravité d’une barre homogène est situé en son milieu.
Ainsi, on peut supposer que la masse d’une barre homogène est concentrée au centre de gravité, qui est situé en son milieu. En d’autres termes, nous pouvons traiter la masse d’une barre homogène comme une particule située en son milieu. Lorsque nous traitons un système de masses impliquant une barre homogène, nous pouvons déterminer le centre de gravité du système en traitant la barre homogène comme une particule et en déterminant le centre de gravité du système de particules résultant.
On rappelle la formule pour déterminer le centre de gravité d’un système de particules dans un repère.
Théorème : Centre de gravité pour un système de particules
Le centre de gravité d’un système de particules est la position moyenne de la particule pondérée en fonction de sa masse. En d’autres termes, étant donné la masse dont les coordonnées sont , l’abscisse et l’ordonnée du centre de gravité, notées respectivement et , sont donnés par
Dans le premier exemple, nous déterminerons le centre de gravité d’une barre homogène lorsque des masses sont ajoutées aux deux extrémités de la barre.
Exemple 1: Déterminer le centre de gravité d’une barre homogène à laquelle sont ajoutées des masses
est une barre homogène de longueur 4 cm et masse 4 kg. Une masse de 5 kg est fixée à et une autre masse de 1 kg est fixée à . Déterminez la distance entre le centre de gravité du système et .
Réponse
Comme une barre homogène a une densité constante, le centre de gravité de la barre est situé en son milieu. On peut supposer que la masse de la barre homogène, 4 kg, est concentrée au milieu de , tandis que les masses de 5 kg et 1 kg sont concentrées respectivement en et . En utilisant les centimètres comme unité de longueur et en plaçant le point à l’origine, on peut tracer un axe pour indiquer les positions de ces masses.
L’abscisse du milieu est la moyenne des abscisses de et , qui est donnée par . Ainsi, la masse de la barre homogène est concentrée en son milieu. En utilisant les coordonnées des trois masses, nous construisons le tableau suivant :
| Position | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| Masse | 5 kg | 4 kg | 1 kg |
On rappelle que si un système de particules a une masse repérée en , alors la position de son centre de gravité, notée CG, est donné par
En d’autres termes, le centre de gravité est la moyenne de la position de chaque particule pondérée par sa masse. D’après le tableau ci-dessus, nous pouvons opérer sur les colonnes et les lignes de manière à obtenir le numérateur de l’expression fractionnaire :
Le dénominateur de CG est la masse totale du système, qui est obtenue en sommant la deuxième ligne de notre tableau. Par conséquent,
En substituant ces valeurs dans la formule de CG,
Ainsi, l’abscisse du centre de gravité est 1,2.
Comme le point est à l’origine et l’unité de longueur est en centimètres, la distance entre le point et le centre de gravité est 1,2 cm.
Dans l’exemple précédent, nous avons considéré un système de masses comportant une barre homogène avec deux masses, une à chaque extrémité. Nous avons pu identifier le centre de gravité de ce système en considérant que la masse de la barre homogène est concentrée en son milieu.
Nous pouvons utiliser la même stratégie lorsque nous avons un système de plusieurs barres homogènes. Lorsque plusieurs barres homogènes sont connectées ensemble, elles forment un corps rigide appelé structure rigide. On peut déterminer le centre de gravité d’une structure rigide en traitant la masse de chaque barre comme étant concentrée en son milieu. Cela conduit à un système de particules dont le centre de gravité coïncide avec celui de la structure rigide.
Si chaque barre de la structure rigide a la même densité, alors la valeur de cette densité n’influence pas le centre de gravité. Nous allons le démontrer pour l’abscisse du centre de gravité, notée . Supposons que les barres homogènes dans une structure rigide aient des longueurs . En notant la densité linéaire de la barre homogène, la masse d’une barre homogène est
En substituant cette expression dans la formule de cela conduit à
On note que l’expression résultante est indépendante de la densité linéaire . Il est clair que l’ordonnée , , sera également indépendante de . Pour cette raison, la densité, ou le poids exact de barres homogènes, n’est souvent pas préciser dans les exemples. Pour simplifier les calculs, on peut définir par 1 la densité linéaire pour que la masse d’une barre homogène soit donnée par sa longueur.
Dans l’exemple suivant, nous allons trouver le centre de gravité d’un système de barres homogènes, en particulier une structure rigide en forme de Z, placée dans un repère cartésien.
Exemple 2: Déterminer les coordonnées du centre de gravité d’un câble homogène en forme de Z
La figure montre un câble homogène de longueur 10 cm où . Déterminez les coordonnées du centre de gravité du câble suivant les axes et .
Réponse
Rappelons que le centre de gravité d’une barre homogène est situé en son milieu. Le système de masses donné est composé de trois barres homogènes. Comme nous pouvons repérer le centre de gravité de chaque barre en son milieu, nous pouvons le traiter efficacement comme un système de trois particules dont la masse est concentrée aux trois centres de gravité.
Comme la barre homogène a une distribution constante de la masse, la masse de chaque barre est proportionnelle à sa longueur. La valeur de la densité n’influence pas la position du centre de gravité, ainsi nous pouvons définir 1 kg/cm comme étant la densité linéaire. Ensuite, la masse de chaque barre est donnée par sa longueur :
Comme le centre de gravité de chaque barre est situé en son milieu, on peut penser que ces masses sont effectivement concentrées en leurs milieux respectifs. En d’autres termes, nous pouvons considérer cette structure rigide comme un système de particules situées au milieu de chaque barre comme dans le diagramme ci-dessous.
En utilisant les centimètres comme unité de longueur dans le repère, on peut calculer les coordonnées de chaque point :
Les coordonnées du milieu de chaque barre sont les moyennes des coordonnées des extrémités respectives :
Ainsi, nous pouvons construire un tableau des coordonnées et des masses.
| Barres | |||
|---|---|---|---|
| Abscisse | 0 | 2 | 4 |
| Ordonnée | 2 | 0 | |
| Masse | 4 kg | 4 kg | 2 kg |
On rappelle que si un système de particules a une masse repérée en , alors l’abscisse et l’ordonnée de son centre de gravité, notées respectivement et , sont données par
En d’autres termes, chaque coordonnée du centre de gravité est la moyenne des coordonnées de chaque particule, pondérée par sa masse. En utilisant notre tableau ci-dessus, nous pouvons multiplier chaque coordonnée par la masse située dans la même colonne et effectuer la somme des produits pour obtenir
Le dénominateur dans chaque coordonnées et est la masse totale du système, qui est obtenue en sommant la dernière ligne de notre tableau. Par conséquent,
En substituant ces valeurs dans la formule de CG,
Ainsi, les coordonnées du centre de gravité sont .
Dans l’exemple suivant, nous allons trouver le centre de gravité d’un système de barres homogènes dans un repère où les densités des barres homogènes sont différentes.
Exemple 3: Déterminer les coordonnées du centre de gravité d’une feuille trapézoïdale non homogène
Un cadre en acier fin a la forme d’un trapèze dans lequel , , , et . Le cadre est situé dans un repère cartésien tel que est à l’origine et est sur l’axe des abscisses. La section est constituée d’un métal dont la densité est le double de celle du métal utilisé dans la partie restante du cadre. Déterminez les coordonnées du centre de gravité du cadre.
Réponse
On rappelle que le centre de gravité de chaque barre homogène est situé en son milieu. Nous pouvons déterminer le centre de gravité du système donné en traitant la masse de chaque barre comme étant concentrée en son milieu. Nous commençons par identifier la masse de chaque barre homogène.
On note que la densité et la masse des barres homogènes ne sont pas spécifiées dans cet exemple. Cependant, on nous donne que la densité de la barre est le double de celle des trois autres barres. Comme le centre de gravité d’un système de particules est donné par la position relative de chaque particule en fonction de sa masse, nous savons que la valeur exacte de la densité n’affecte pas le centre de gravité. Ainsi, définissons la densité linéaire des trois barres , et comme étant 1 kg/cm, ce qui signifie que la densité de la barre est 2 kg/cm. Cela signifie que la masse de la barre est égale à deux fois sa longueur, tandis que les masses des trois autres barres sont égales à leurs longueurs :
Pour déterminer la masse de la barre , nous devons calculer sa longueur. On trace un triangle rectangle d’hypoténuse .
En appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle rectangle, on obtient la longueur de :
Par conséquent, la masse de la barre est 55 kg.
En utilisant les centimètres comme unité de longueur, nous pouvons identifier les coordonnées de chaque sommet à l’aide du repère :
On peut calculer les coordonnées du milieu de chaque barre en prenant la moyenne des coordonnées des extrémités :
En utilisant ce que nous avons obtenu jusqu’à présent, construisons un tableau des coordonnées et des masses.
| Barres | ||||
|---|---|---|---|---|
| Abscisse | 22 au total | 11 | ||
| Ordonnée | 33 | 0 | ||
| Masse | 55 kg | 66 kg | 33 kg | 44 kg |
On rappelle que si un système de particules a une masse repérée par , alors l’abscisse et l’ordonnée de son centre de gravité, notées respectivement et , sont données par
En d’autres termes, chaque coordonnée du centre de gravité est la moyenne des coordonnées de chaque particule, pondérée par sa masse. En utilisant notre tableau ci-dessus, nous pouvons multiplier chaque coordonnée avec la masse située dans la même colonne et effectuer la somme des produits pour obtenir
Le dénominateur dans chacune des deux coordonnées et est la masse totale du système, qui est obtenue en sommant la dernière ligne de notre tableau. Ainsi, on obtient
En substituant ces valeurs dans la formule de CG,
Ainsi, les coordonnées du centre de gravité sont .
Dans les deux exemples précédents, nous avons trouvé les coordonnées du centre de gravité d’un système de barres homogènes, ou structure rigide. Rappelons que, dans un champ gravitationnel homogène, le poids d’un corps rigide est une force unique qui agit en son centre de gravité. Puisqu’une structure rigide est un corps rigide, son poids est une force descendante agissant en son centre de gravité.
Maintenant, supposons que nous suspendions une structure rigide par l’un de ses sommets. Lorsque ce système est à l’équilibre, la structure rigide ne tourne pas autour du sommet suspendu. Étant donné que le poids de la structure rigide est une force unique agissant sur son centre de gravité, l’équilibre n’est possible que lorsque le centre de gravité est situé verticalement sous le point suspendu.
Théorème : Ligne verticale dans une structure rigide suspendue par un sommet
Lorsqu’une structure rigide est suspendue par un sommet, la position d’équilibre se produit lorsque le centre de gravité est directement sous le sommet suspendu.
En d’autres termes, nous pouvons obtenir la ligne verticale du système en équilibre en reliant le sommet suspendu et le centre de gravité. Nous pouvons toujours identifier la verticale de cette manière tant que le centre de gravité n’est pas situé au sommet suspendu. Nous ne pouvons pas utiliser cette méthode lorsque le centre de gravité coïncide avec le sommet suspendu, car le corps rigide suspendu en son centre de gravité est en équilibre en toute position donnée. En d’autres termes, si le sommet suspendu est au centre de gravité, alors la direction verticale n’est pas bien définie car toute direction est une direction verticale possible à l’équilibre.
Dans notre prochain exemple, nous allons trouver le centre de gravité d’une structure rigide en forme de U et l’utiliser pour déterminer l’angle entre la verticale et l’une des barres, l’angle d’inclinaison, dans sa position d’équilibre.
Exemple 4: Déterminer l’angle entre un câble homogène en forme de U et la verticale lorsqu’il est librement suspendu
La figure montre un câble homogène . Il a été plié en et pour former des angles droits. Le câble a été librement suspendu à . Déterminez la mesure de l’angle d’inclinaison entre et la verticale lorsque le corps est suspendu dans sa position d’équilibre. Arrondissez la réponse à la minute près.
Réponse
Nous rappelons que, dans un corps rigide soumis à un champ gravitationnel homogène, le poids est une force agissant au centre de gravité du corps rigide. Si un corps rigide est suspendu en un point, la position d’équilibre est possible lorsque le centre de gravité est directement sous le point suspendu. Ainsi, nous pouvons identifier la verticale à l’équilibre en reliant le point suspendu et le centre de gravité du corps rigide.
Étant donné que le câble considéré est un corps rigide, nous commençons par identifier son centre de gravité. On peut considérer ce câble comme un système de trois barres homogènes , , et . Pour identifier le centre de gravité, on suppose que la masse de chaque barre est concentrée en son centre de gravité, qui est situé en son milieu. Ensuite, nous pouvons déterminer le centre de gravité du système à trois particules résultant.
Rappelons que si un système de barres homogènes a une densité constante, la valeur de la densité n’affecte pas le centre de gravité. En définissant la densité linéaire du câble comme étant 1 kg/cm, on peut supposer que la masse de chaque barre est égale à sa longueur en kilogrammes. Nous plaçons le câble dans un repère et nommons les masses et les centres de gravité des barres homogènes.
En utilisant les centimètres comme unité de longueur, on peut identifier les coordonnées de chaque point :
Ainsi, les coordonnées des milieux de chaque barre sont la moyenne des coordonnées des extrémités :
Résumons ces informations dans un tableau regroupant les coordonnées et les masses.
| Barres | |||
|---|---|---|---|
| Abscisse | 0 | 18 au total | 36 |
| Ordonnée | 0 | ||
| Masse | 49 kg | 36 kg | 21 kg |
On rappelle que si un système de particules a une masse repérée par , alors l’abscisse et l’ordonnée de son centre de gravité, notées respectivement et , sont donnés par
En utilisant notre tableau ci-dessus, nous pouvons multiplier chaque coordonnée avec la masse située dans la même colonne et effectuer la somme des produits pour obtenir
Le dénominateur dans chaque coordonnée et est la masse totale du système, qui est obtenue en sommant la dernière ligne de notre tableau. Ainsi, on obtient
En substituant ces valeurs dans la formule de CG,
Ainsi, les coordonnées du centre de gravité sont . La droite reliant le sommet suspendu et forme la verticale lors de la position d’équilibre. Maintenant, nous sommes prêts à trouver l’angle d’inclinaison entre la verticale et .
Pour déterminer l’angle d’inclinaison, noté , on trace un triangle rectangle en ajoutant une perpendiculaire à l’axe des ordonnées, issue du centre de gravité.
Les deux longueurs et des côtés peuvent être obtenues à partir des coordonnées du point et du centre de gravité :
En appliquant la trigonométrie dans le triangle rectangle, nous obtenons l’angle d’inclinaison
Comme , on peut convertir la partie décimale en degré à la minute la plus proche par soit à la minute près. Ainsi, la mesure de l’angle d’inclinaison entre et la verticale lorsque le corps est en équilibre est .
Dans notre dernier exemple, on trouvera le centre de gravité d’une structure rigide à l’aide d’informations sur sa position à l’équilibre.
Exemple 5: Déterminer le centre de gravité d’une barre pliée suspendue en équilibre
Une barre homogène de longueur 46 cm a été pliée en son milieu puis suspendue librement par . Sachant que est horizontale lorsque la barre est suspendue dans sa position d’équilibre, déterminez la distance entre le centre de gravité de la barre et .
Réponse
Nous rappelons que, dans un champ gravitationnel homogène, le centre de gravité est le point en lequel le poids d’un corps rigide agit. La barre pliée étant un corps rigide, le centre de gravité doit se trouver directement sous le point de suspension à l’équilibre.
On peut considérer la barre pliée comme un système de deux barres homogènes qui sont jointes en ce point . Chaque barre homogène, et , a une longueur . Comme les longueurs des deux barres homogènes sont identiques, leurs masses doivent également être identiques. Comme la densité d’une barre homogène est constante, le centre de gravité d’une barre homogène est en son milieu. Ainsi, on peut considérer que les masses des deux barres sont concentrées en leurs milieux.
Cela conduit à un système de deux particules. Comme les deux barres ont une masse égale, les deux particules ont une masse égale. Nous voulons déterminer le centre de gravité de ce système. Soit kg la masse de chaque barre et cm la distance entre les deux centres de gravité. On peut tracer un axe reliant ces deux points et considérer l’un d’eux à l’origine.
On rappelle que si un système de particules a une masse repérée par , alors la position de son centre de gravité, noté CG, est donnée par
Dans ce système, les masses des deux particules sont kg et les coordonnées des masses sont 0 et . Par conséquent,
L’abscisse du centre de gravité est , qui est le milieu du segment reliant les deux centres de gravité. Nous ajoutons le centre de gravité du système à notre diagramme.
Étant donné que le point vert sur le schéma ci-dessus est le centre de gravité du câble plié et que le câble est suspendu au point , la droite passant par le point et par le centre de gravité doit être la verticale lors de la position d’équilibre. Étant donné que est horizontale à l’équilibre, ces deux droites doivent se croiser perpendiculairement. Ajoutons la verticale au diagramme et nommons tous les points d’intersection.
D’après le schéma ci-dessus, la distance entre et le centre de gravité est donné par la longueur de . Pour trouver cette longueur, nous utiliserons des triangles semblables et superposables. Pour ce faire, nous devons d’abord ajouter les pieds des perpendiculaires issues du point à la verticale et à l’horizontale et nommer les nouveaux points d’intersection.
Nous cherchons la longueur de , qui est la somme des longueurs de et .
On commence par remarquer que les triangles rectangles et sont semblables, ce qui signifie que la proportion de leurs côtés est constante. Comme est le double de , on doit avoir que
On peut obtenir la longueur en appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle . Nous savons que l’hypoténuse de ce triangle rectangle est 23 cm, nous devons donc déterminer la longueur de sa base .
Pour déterminer la longueur , il faut noter que les points et séparent le segment en trois parts égales. Nous pouvons le voir en observant que les triangles et sont superposables, ce qui donne . De plus, comme et sont des côtés opposés dans le rectangle , . Enfin, puisque les triangles et sont superposables, les longueurs et sont égales. Ainsi, nous avons obtenu
Cela a conduit au fait que , ce qui signifie que et séparent le segment en trois parts égales. Comme est le milieu du segment et cm, on sait que :
Alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient
Cela conduit à
Ensuite, déterminons la longueur . Du fait que les triangles et soient superposables, la longueur est égale à la longueur . En revanche, le triangle est semblable au triangle , de sorte que les rapports des côtés correspondants doivent être constants. Comme la longueur est le double de la longueur , la longueur doit être le double de . Par conséquent,
On peut trouver la longueur en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle . L’hypoténuse est la moitié de la longueur . Alors . Aussi, nous savons que la longueur de la base est le tiers de la longueur . Donc, . En appliquant le théorème de Pythagore,
En substituant ce qui précède, on obtient
Enfin, en additionnant les deux longueurs, on obtient la longueur :
Par conséquent, la distance du point au centre de gravité est cm.
Terminons par résumer quelques concepts importants de cet fiche explicative.
Points Clés
- Le centre de gravité d’une barre homogène est situé en son milieu.
- Pour déterminer le centre de gravité d’un système de masses composé de barres homogènes et de particules, on peut considérer la masse de chaque barre homogène comme étant située en son milieu.
- Un corps rigide composé de plusieurs barres homogènes est appelé une structure rigide. Lorsqu’une structure rigide est suspendue par un sommet, le centre de gravité de la structure rigide est directement sous le sommet suspendu à l’équilibre. Nous pouvons déterminer la verticale à l’équilibre en reliant le point suspendu et le centre de gravité, à condition qu’ils ne soient pas identiques.
