Transcription de la vidéo
Utilisez la formule de Moivre pour exprimer cosinus trois thêta et sinus trois thêta en fonction de cosinus thêta et sinus thêta.
Tout d’abord, rappelons le théorème de Moivre. Il dit que cosinus thêta plus 𝑖 sinus thêta élevé à la puissance 𝑛 est égal à cosinus de 𝑛 thêta plus 𝑖 sinus de 𝑛 thêta. En regardant le membre de droite de cette équation, nous voyons que les deux termes sont très similaires aux deux termes que nous devons exprimer en fonction de cosinus thêta et sinus thêta, respectivement, en particulier dans le cas où 𝑛 est égal à trois.
Réécrivons le théorème de Moivre dans le cas où 𝑛 égale trois pour le voir plus clairement. Maintenant que nous avons écrit cette équation, nous pouvons voir que le membre de droite a une partie réelle, cosinus trois thêta, et une partie imaginaire, sinus trois thêta. Nous pouvons exprimer ces deux parties en fonction de cosinus thêta et de sinus thêta en isolant les parties réelles et imaginaires du membre de gauche de l’équation.
Pour ce faire, nous devrons multiplier les parenthèses et séparer les termes. En regardant le membre de gauche de l’équation, nous pouvons voir que nous avons un binôme à la puissance trois. Une forme générale de cela serait 𝑎 plus 𝑏 au cube. Afin de développer les parenthèses, nous pourrions multiplier chacun de les termes à la main ou utiliser la formule du binôme de Newton. Au lieu de cela, nous allons utiliser un raccourci légèrement différent.
En regardant les parenthèses, il est assez facile de nous convaincre que chaque terme aura une puissance de 𝑎 et une puissance de 𝑏. Par simple inspection, nous pouvons voir que la puissance la plus élevée possible de 𝑎 qui peut être atteinte en multipliant ces parenthèses est 𝑎 au cube. Par un raisonnement similaire, la puissance la plus élevée possible de 𝑏 qui peut être atteinte en multipliant ces parenthèses est 𝑏 au cube.
Nos parenthèses nous donneront également d’autres termes, qui auront des puissances décroissantes de 𝑎 et des puissances croissantes de 𝑏. Il existe plusieurs façons de calculer ces termes, avec les 𝑎 et les 𝑏 entre parenthèses. Nous aurons donc un multiple de chaque. En d’autres termes, ils auront un coefficient.
Afin de trouver ces coefficients, nous pouvons prendre les nombres du triangle de Pascal pour le rang correspondant. Puisque nous avons affaire à un binôme de puissance trois, nous utiliserons le troisième rang. Les coefficients pour nos quatre termes sont donc un 𝑎 au cube plus trois 𝑎 au carré 𝑏 plus trois 𝑎 fois 𝑏 au carré plus un 𝑏 au cube.
Maintenant que nous avons développé, mettons cela dans l’équation. Nous pouvons substituer nos termes développés avec 𝑎 égale à cosinus thêta et 𝑏 égale 𝑖 sinus thêta. Nous avons d’abord 𝑎 cube, qui devient cosinus thêta au cube. Nous avons ensuite trois 𝑎 au carré 𝑏, qui devient trois fois cosinus thêta au carré fois 𝑖 sinus thêta. Nous avons alors trois 𝑎 𝑏 au carré, qui devient trois fois cosinus thêta fois 𝑖 sinus thêta au carré. Et enfin, nous avons 𝑏 au cube, qui est 𝑖 sinus thêta au cube.
Nous allons ensuite multiplier les carrés et les cubes de nos parenthèses et déplacer tous nos 𝑖 au début du terme. Simplifions maintenant en rappelant la définition de 𝑖. Nous savons que 𝑖 désigne un nombre imaginaire. Et c’est la racine carrée de moins un. Ainsi 𝑖 au carré est la racine carrée de moins un fois la racine carrée de moins un, en d’autres termes, moins un.
Pour faciliter la simplification, nous pouvons écrire 𝑖 au cube comme 𝑖 au carré fois 𝑖. Puisque nous savons maintenant que 𝑖 au carré vaut moins un, nous pouvons l’utiliser dans notre définition. Et nous pouvons dire que 𝑖 au cube est égal à moins 𝑖. Utilisons ces identités pour remplacer le 𝑖 au carré et le 𝑖 au cube dans l’équation.
Ici, nous avons simplifié l’équation. Nous pouvons maintenant voir que, sur nos quatre termes, nous en avons deux qui n’ont pas de facteur 𝑖 soit deux composantes réelles. Et nous avons deux termes qui ont un facteur 𝑖 ou des composantes imaginaires. Nous allons maintenant regrouper les termes réels et imaginaires.
Nous sommes maintenant en mesure de revenir sur notre équation originale dérivée de la formule de Moivre. Voyons tout cela. Nous avons développé le membre de gauche de notre équation et séparé les termes réels et imaginaires. Pour continuer, nous pouvons assimiler les parties réelles et imaginaires de notre développement aux parties réelles et imaginaires du membre de droite de l’équation. Allons-y.
Nous avons maintenant une équation contenant cosinus trois thêta et une équation contenant sinus trois thêta. Cependant, nous avons une dernière simplification à effectuer. La question exige que nous exprimions cosinus trois thêta en fonction de cosinus thêta. Mais nous avons toujours un sinus dans cette équation. De même, la question exige que nous exprimions sinus trois thêta en fonction de sinus thêta. Mais nous avons toujours un cosinus dans cette équation.
Nous pouvons substituer ces termes en nous souvenant de l’une des identités de Pythagore. Elle dit que cosinus carré thêta plus sinus carré thêta est égal à un. En soustrayant cosinus carré thêta des deux côtés de cette équation, nous obtenons que sinus carré thêta est égal à un moins cosinus carré thêta.
Nous pouvons faire exactement la même chose pour trouver cosinus carré thêta en soustrayant sinus carré thêta des deux côtés de notre identité d’origine. Travaillons sur l’équation contenant cosinus trois thêta en utilisant le premier réarrangement de l’identité. Nous substituons sinus carré thêta par un moins cosinus carré thêta. Nous multiplions ensuite les parenthèses. Enfin, nous rassemblons les termes en cosinus thêta au cube.
Nous pouvons maintenant effectuer exactement la même démarche dans l’équation contenant sinus trois thêta. Nous remplaçons cosinus carré thêta par un moins sinus carré thêta. Nous multiplions ensuite les parenthèses et rassemblont les termes en sinus thêta au cube.
Et nous avons terminé. Nous avons exprimé cosinus trois thêta en fonction de cosinus thêta et sinus trois thêta en fontion de sinus thêta.
