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Étant donné la matrice 𝐴 égal un, zéro, zéro, un, laquelle des affirmations suivantes est vraie ? La matrice 𝐴 est une matrice ligne. La matrice 𝐴 est une matrice colonne. La matrice 𝐴 est une matrice identité. La matrice 𝐴 est une matrice nulle.
Examinons ces quatre propositions à tour de rôle en rappelant les caractéristiques du type de matrice mentionnée dans chacune d’entre elles. Commençons par la dernière proposition : la matrice 𝐴 est une matrice nulle. Une matrice nulle peut être de n’importe quelles dimensions, mais tous ses coefficients doivent être nuls. En examinant notre matrice 𝐴, on voit que deux de ses coefficients sont nuls. Mais ses deux autres coefficients, qui se trouvent sur ce qu’on appelle la diagonale principale, ne sont pas nuls. Donc la matrice 𝐴 n’est pas une matrice nulle, car tous ses coefficients ne sont pas nuls.
Examinons maintenant la première proposition : la matrice 𝐴 est une matrice ligne. Une matrice ligne, ou vecteur ligne, est une matrice de dimension un-𝑛. C’est simplement une matrice qui n’a qu’une seule ligne, bien qu’elle puisse avoir n’importe quel nombre de colonnes. Sa forme générale ressemble à quelque chose comme ceci, où les coefficients sont notés 𝑎 un un, 𝑎 un deux, jusqu’à 𝑎 un 𝑛. En examinant notre matrice 𝐴, on peut voir qu’elle n’a pas une, mais deux lignes. Par conséquent, la matrice 𝐴 n’est pas une matrice ligne.
Examinons à présent le deuxième énoncé : la matrice 𝐴 est une matrice colonne. Une matrice colonne, ou vecteur colonne, est une matrice de dimension 𝑚-un. Donc c’est une matrice qui peut avoir n’importe quel nombre de lignes, mais seulement une colonne. Sa forme générale ressemble à quelque chose comme ceci. On peut noter ses coefficients 𝑎 un un, 𝑎 deux un, jusqu’à 𝑎 𝑚 un. En examinant notre matrice 𝐴, on voit tout de suite qu’elle a deux colonnes, et non pas une seule. Par conséquent, la matrice 𝐴 n’est pas une matrice colonne.
Il ne nous reste plus qu’une seule proposition. La matrice 𝐴 est-elle une matrice identité ? Tout d’abord, une matrice identité est une matrice diagonale et par conséquent, une matrice carrée. Une matrice diagonale est une matrice dont tous les coefficients en dehors de la diagonale principale, c’est-à-dire la diagonale qui va du coefficient en haut à gauche au coefficient en bas à droite, sont nuls. On peut voir que c’est le cas dans notre matrice 𝐴. De plus, pour qu’une matrice diagonale soit une matrice identité, tous les coefficients de sa diagonale principale doivent être égaux à un. En regardant de plus près notre matrice 𝐴, on peut voir que les deux coefficients de sa diagonale principale sont égaux à un.
Donc nous avons une matrice diagonale. Tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Et tous les coefficients sur la diagonale principale sont égaux à un ; donc c’est une matrice identité.
Et comme cette matrice est de dimension deux-deux, on la note parfois 𝐼 deux, la matrice identité deux-deux. La seule affirmation vraie est celle-ci : la matrice 𝐴 est une matrice identité.
