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Fiche explicative de la leçon: Types de matrices Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les types particuliers de matrices tels que la matrice carrée, ligne, colonne, identité, nulle, diagonale, triangulaire inférieure et triangulaire supérieure.

Lorsque nous décrivons des matrices de manière générale, nous préférons souvent utiliser une notation abrégée plutôt que de passer par la tâche potentiellement fastidieuse d’écrire manuellement chaque coefficient. Cela est particulièrement vrai lorsque nous travaillons sur des matrices qui ont un grand nombre de lignes et de colonnes. Sachant qu’une matrice de dimension 𝑚×𝑛 a 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes, elle aura un nombre total de 𝑚𝑛 coefficients. Il est facile de voir pourquoi écrire une telle matrice dans sa totalité peut ne pas être une tâche très épanouissante.

S’il n’est pas nécessaire de spécifier la valeur des coefficients dans une matrice, il est souvent pratique de se référer aux matrices uniquement par leur dimension, décrivant ainsi le nombre de lignes et de colonnes sans décrire les coefficients qu’elle contient. Lorsque l’on considère des opérations générales telles que l’addition ou le produit matriciel, connaître la dimension est essentiel pour vérifier si l’opération est définie ou non, avant même que les coefficients individuels ne soient pris en compte.

Même si connaître la dimension d’une matrice peut fournir des informations importantes, il existe d’autres façons de classer les matrices et qui peuvent aider à orienter les calculs et à déterminer quelles sont les opérations calculatoires valides. Nous commençons donc à subdiviser les matrices en différents « types », auxquels on donne souvent des noms contenant des descriptions géométriques en fonction de leurs propriétés. Il est tout à fait possible qu’une matrice ait plusieurs types, comme nous le verrons plus loin. Nous commençons cette fiche explicative en définissant plusieurs types de matrices qui apparaissent fréquemment dans l’algèbre linéaire.

Définition : Matrices lignes et matrices colonnes

Une matrice de dimension 1×𝑛 est appelée « vecteur ligne » ou « matrice ligne » et a la forme générale (𝑎𝑎𝑎), alors qu’un « vecteur colonne » ou une « matrice colonne » est une matrice de dimension 𝑚×1 et a la forme générale 𝑎𝑎𝑎.

Par exemple, les matrices suivantes sont toutes des matrices lignes, car elles ont une seule ligne:𝐴=(33),𝐵=(130),𝐶=(01542), alors que les matrices suivantes ne sont pas des matrices lignes car elles ont toutes plus d’une ligne:𝐷=312322,𝐸=0344,𝐹=453088761.

Dans l’exemple ci-dessus, la seule matrice colonne est 𝐸, alors que toutes les autres matrices ont plus d’une colonne et elles ne sont donc pas des matrices colonnes.

Définition : Matrices carrées

Une matrice « carrée » est une matrice qui a 𝑛 lignes et 𝑛 colonnes, ayant la forme générale 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎.

La dimension d’une telle matrice est 𝑛×𝑛 et il y aura 𝑛 coefficients au total.

Les matrices carrées sont des objets mathématiques très importants et fréquemment utilisés dans l’algèbre linéaire. De nombreux théorèmes avancés et utiles sont basés sur le fait que les matrices impliquées sont carrées. Bien que les opérations d’addition et de multiplication de matrices puissent être définies sur des matrices de dimension générale, les opérations d’exponentiation et d’inversion ne sont définies que lorsque la matrice est carrée.

À titre d’exemple, les matrices suivantes ont chacune un nombre égal de lignes et de colonnes et sont donc classées comme matrices carrées:𝐴=2122,𝐵=0143503532253302,𝐶=453088761, alors qu’aucune des matrices suivantes n’est carrée:𝐷=310012,𝐸=44664435,𝐹=(463).

Les matrices carrées sont si importantes que beaucoup d’autres types spéciaux de matrices ont une définition qui nécessite qu’elles soient déjà des matrices carrées.

Définition : Matrices diagonales

Pour une matrice 𝐴, les coefficients « diagonaux » sont ceux qui ont le même numéro de ligne et le même numéro de colonne, et les coefficients « non diagonaux » sont tous les autres coefficients. Si 𝐴 est une matrice carrée et que tous les coefficients non diagonaux sont nuls, alors 𝐴 est appelée une matrice « diagonale ».

On a marqué en rouge tous les coefficients diagonaux ci-dessous:𝐴=3003,𝐵=300000002,𝐶=8000060000200007.

Sachant que les matrices sont toutes des matrices carrées et que tous les coefficients non diagonaux sont nuls, les matrices ci-dessus sont toutes des matrices diagonales. On peut noter que la matrice 𝐵 a le coefficient diagonal 𝑏=0. Même si la valeur de ce coefficient diagonal est nulle, cela est cohérent avec la définition ci-dessus, qui exige seulement que les coefficients non diagonaux soient nuls.

Les matrices suivantes ne sont pas diagonales:𝐷=1403,𝐸=300043021,𝐹=400060006000.

On a marqué en orange les coefficients non diagonaux de 𝐷 et 𝐸 qui sont non nuls et empêchent donc ces matrices d’être diagonales. La matrice 𝐹 n’aurait jamais pu être une matrice diagonale, car elle n’est pas une matrice carrée et ne répond donc pas aux conditions de la définition ci-dessus. Bien que le concept de matrice diagonale-rectangulaire existe, il est utilisé beaucoup moins fréquemment que les matrices diagonales carrées standard et est donc en dehors du cadre de cette fiche explicative.

Définition : Matrices triangulaires supérieure et inférieure

Une matrice carrée dont tous les coefficients situés dans l’un des côtés de la diagonale sont égaux à zéro est une « matrice triangulaire ».

Si les coefficients sous la diagonale sont égaux à zéro, alors il s’agit d’une « matrice triangulaire supérieure ».

Si les coefficients au-dessus de la diagonale sont tous égaux à zéro, alors il s’agit d’une « matrice triangulaire inférieure ».

En particulier, nous notons qu’une matrice diagonale est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure, car tous les coefficients en dehors la diagonale sont des zéros. La matrice 𝐷 ci-dessus est trianglaire supérieure, car le coefficient au-dessous de la diagonale vaut zéro. La matrice 𝐸 ci-dessus n’est pas triangulaire en raison des coefficients non nuls:2 au-dessous de la diagonale et 3 au-dessus de la diagonale. La matrice 𝐹 n’est pas une matrice triangulaire car elle n’est pas une matrice carrée.

De plus, nous considérons les trois matrices suivantes:𝑋=101030001,𝑌=000130631,𝑍=101030101.

Nous pouvons voir que 𝑋 est une matrice triangulaire supérieure car il s’agit d’une matrice carrée où tous les coefficients sous la diagonale principale sont égaux à zéro. 𝑌 est une matrice triangulaire inférieure car il s’agit d’une matrice carrée où tous les coefficients au-dessus de la diagonale principale sont égaux à zéro. En revanche, 𝑍 n’est pas une matrice triangulaire, car il y a des coefficients non nuls situés des deux côtés de la diagonale principale.

Définition : Matrices identité

Une « matrice identité », parfois appelée « matrice unité », est une matrice diagonale avec des 1 sur la diagonale principale et des zéros ailleurs. On se réfère souvent à ces matrices par les symboles spéciaux 1 ou 𝐼 , où 𝑛 indique que la matrice est de dimension 𝑛×𝑛.

Puisqu’une matrice identité est une matrice diagonale, elle devrait être une matrice carrée.

Les matrices ci-dessous sont toutes des matrices identité:𝐼=1001,𝐼=100010001,𝐼=1000010000100001, alors qu’aucune des matrices précédentes dans cette fiche explicative n’était une matrice identité.

Définition : Matrices nulles

Une « matrice nulle » de dimension 𝑚×𝑛 est une matrice avec 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes pour laquelle chaque coefficient est égal à zéro, elle est souvent désignée par 𝑂. Si une matrice nulle est aussi une matrice carrée de dimension 𝑛×𝑛, alors la notation 𝑂 est parfois utilisée.

Par exemple, les matrices suivantes sont toutes des matrices nulles:𝑂=00000000,𝑂=0000,𝑂=000000000.

Il existe divers autres types de matrices qui méritent leur propre classification et nom, telles que les matrices symétriques, les matrices antisymétriques, les matrices orthogonales, les matrices par blocs, etc. Chacune d’entre elles est intéressante et suffisamment riche pour nécessiter sa propre étude distincte.

Une fois que les concepts ci-dessus ont été complètement compris, il est possible de commencer à comprendre ces types importants de matrices et leurs nombreuses applications. Pour pratiquer la reconnaissance de ces types de matrices, nous posons dans les pages suivantes plusieurs questions qui reposent sur les définitions que nous avons données ci-dessus.

Exemple 1: Types de matrices

Soit la matrice 𝐴=(550), laquelle des affirmations suivantes est vraie?

  1. La matrice 𝐴 est une matrice ligne.
  2. La matrice 𝐴 est une matrice carrée.
  3. La matrice 𝐴 est la matrice identité.
  4. La matrice 𝐴 est une matrice colonne.
  5. La matrice 𝐴 est une matrice diagonale.

Réponse

Commençons par rappeler la définition de chaque type de matrice listée dans les options:

  1. Une matrice ligne est une matrice avec exactement une ligne.
  2. Une matrice carrée est une matrice où le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes.
  3. Une matrice identité est une matrice carrée dont les coefficients sur la diagonale valent tous 1 et valent 0 ailleurs.
  4. Une matrice colonne est une matrice avec exactement une colonne.
  5. Une matrice diagonale est une matrice carrée où tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont des 0.

Cette matrice n’est évidemment pas une matrice carrée car elle n’a pas le même nombre de lignes que de colonnes, ce qui élimine la réponse (B). Cela implique que la réponse ne peut pas non plus être la réponse (C) car une matrice identité est une matrice carrée (en particulier, une matrice diagonale avec tous les coefficients diagonaux égaux à 1). Cela implique aussi que la réponse ne peut pas être l’option (E) car une matrice diagonale est une matrice carrée. Comme la matrice ne comporte qu’une seule ligne et plus d’une colonne, il s’agit d’une matrice ligne et le choix correct est (A).

Exemple 2: Types de matrices

Déterminez le type de la matrice 4128.

  1. matrice ligne
  2. matrice carrée
  3. matrice identité
  4. matrice colonne

Réponse

Commençons par rappeler la définition de chaque type de matrice listée dans les options:

  1. Une matrice ligne est une matrice avec exactement une ligne.
  2. Une matrice carrée est une matrice où le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes.
  3. Une matrice identité est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
  4. Une matrice colonne est une matrice avec exactement une colonne.

Cette matrice a plus d’une ligne et exactement une colonne, donc c’est une matrice colonne. La bonne réponse est (D).

Exemple 3: Types de matrices

Déterminez le type de la matrice 8271.

  1. matrice ligne
  2. matrice carrée
  3. Matrice identité
  4. matrice colonne

Réponse

Commençons par rappeler la définition de chaque type de matrice listée dans les options:

  1. Une matrice ligne est une matrice avec exactement une ligne.
  2. Une matrice carrée est une matrice où le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes.
  3. Une matrice identité est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
  4. Une matrice colonne est une matrice avec exactement une colonne.

Cette matrice a plus d’une ligne et plus d’une colonne et ne peut donc être ni la réponse (A) ni la réponse (D). Comme le nombre de lignes est le même que le nombre de colonnes, la matrice est une matrice carrée et la réponse est (B) ou (C). Pour qu’une matrice carrée soit une matrice identité, elle doit aussi être une matrice diagonale, ce qui n’est pas vrai dans ce cas. Par conséquent, la réponse ne peut pas être (C), ce qui signifie que (B) est la bonne réponse.

Exemple 4: Types de matrices

Déterminez le type de la matrice 000000000.

  1. matrice ligne
  2. matrice nulle
  3. matrice identité
  4. matrice colonne

Réponse

Commençons par rappeler la définition de chaque type de matrice listée dans les options:

  1. Une matrice ligne est une matrice avec exactement une ligne.
  2. Une matrice nulle est une matrice où tous les coefficients sont des 0.
  3. Une matrice identité est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
  4. Une matrice colonne est une matrice avec exactement une colonne.

La matrice a plus d’une ligne et plus d’une colonne, donc ce n’est ni une matrice ligne ni une matrice colonne, ce qui exclut les réponses (A) et (D). Bien que la matrice soit une matrice carrée et aussi une matrice diagonale (tous les coefficients non diagonaux sont égaux à zéro), elle ne peut pas être une matrice identité car les coefficients diagonaux ne sont pas tous égaux à 1. Par conséquent, la réponse ne peut pas être (C). Comme chaque coefficient de la matrice est nul, la réponse correcte est (B). On remarque que la matrice donnée n’est autre que la matrice nulle 𝑂 ou, si on préfère la notation courte pour les matrices carrées et nulles, on peut simplement la noter par 𝑂.

Exemple 5: Types de matrices

Soit la matrice 𝐴=1001, Laquelle des affirmations suivantes est vraie?

  1. La matrice 𝐴 est une matrice de ligne.
  2. La matrice 𝐴 est une matrice nulle.
  3. La matrice 𝐴 est une matrice identité.
  4. La matrice 𝐴 est une matrice colonne.

Réponse

Commençons par rappeler la définition de chaque type de matrice listée dans les options:

  1. Une matrice ligne est une matrice avec exactement une ligne.
  2. Une matrice nulle est une matrice où tous les coefficients sont nulls.
  3. Une matrice identité est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
  4. Une matrice colonne est une matrice avec exactement une colonne.

La matrice donnée ne correspond à aucune des réponses (A) et (D). Sachant qu’il y a des coefficients non nuls dans cette matrice, on sait que la réponse (B) n’est pas correcte. La matrice donnée est une matrice diagonale et tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1, donc il s’agit d’une matrice identité et elle est notée 𝐼 ou 1. Par conséquent, la réponse correcte est (C).

Exemple 6: Types de matrices

Déterminez le type de la matrice 57000720000.

  1. matrice ligne
  2. matrice diagonale
  3. matrice identité
  4. matrice colonne

Réponse

Commençons par rappeler la définition de chaque type de matrice listée dans les options:

  1. Une matrice de lignes est une matrice avec exactement une ligne.
  2. Une matrice diagonale est une matrice où tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont égaux à 0.
  3. Une matrice identité est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
  4. Une matrice colonne est une matrice avec exactement une colonne.

Clairement, cette matrice n’est ni une matrice ligne ni une matrice colonne, donc les réponses (A) et (D) ne peuvent pas être correctes. On voit que la dimension de cette matrice est 3×3 , ce qui signifie que cette matrice a le même nombre de lignes que les colonnes. Cela signifie que c’est une matrice carrée. Comme, en outre, tous les coefficients sur la diagonale principale sont égaux à zéro, il s’agit d’une matrice diagonale. Sachant que les coefficients diagonaux ne sont pas tous égaux à 1, il ne peut pas s’agir d’une matrice identité et donc la réponse (C) n’est pas correcte. Notons que même si l’un des coefficients diagonaux est égal à zéro, cela n’empêche pas la matrice d’être classée comme diagonale et donc la bonne réponse est (B).

Exemple 7: Identifier le type d’une matrice triangulaire

Soit la matrice 𝐴=100680653, Laquelle des affirmations suivantes est vraie?

  1. La matrice 𝐴 est une matrice triangulaire supérieure.
  2. La matrice 𝐴 est une matrice triangulaire inférieure.
  3. La matrice 𝐴 est une matrice identité.
  4. La matrice 𝐴 est une matrice diagonale.
  5. La matrice 𝐴 est une matrice nulle.

Réponse

Commençons par rappeler la définition de chaque type de matrice listée dans les options:

  1. Une matrice triangulaire supérieure est une matrice dont les coefficients sous la diagonale sont tous égaux à 0.
  2. Une matrice triangulaire inférieure est une matrice dont tous les coefficients au-dessus de la diagonale sont égaux à 0.
  3. Une matrice identité est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
  4. Une matrice diagonale est une matrice où tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont égaux à 0.
  5. Une matrice nulle est une matrice où tous les coefficients sont égaux à 0.

Dans la matrice donnée, nous pouvons voir que tous les coefficients situés au-dessus de la diagonale sont égaux à 0. Cela signifie que la matrice donnée est une matrice triangulaire inférieure.

C’est l’option (B).

Avec une étude plus poussée de l’algèbre linéaire, il devient rapidement clair pourquoi nous avons choisi d’identifier ces types particuliers de matrices. Il est souvent possible d’acquérir une compréhension de haut niveau d’un problème en comprenant simplement les types de matrices impliqués. Par exemple, si nous travaillons avec une matrice carrée, alors nous travaillons avec une matrice qui garantit la conservation des dimensions lorsqu’elle est combinée d’une certaine manière avec des matrices lignes et des matrices colonnes. Comme autre exemple, nous avons mentionné ci-dessus qu’une matrice doit être carrée pour que la « division » de la matrice (appelée correctement « inversion ») soit possible.

En plus des types de matrices définis ci-dessus, il existe d’autres types de matrices qui sont d’une importance fondamentale en physique et dans d’autres sciences. Le concept de matrice « hermitienne » par exemple, est nécessaire pour que la mécanique quantique soit définie au sens mathématique et puisse ainsi produire des résultats qui pourraient être mesurés dans la vie réelle.

Terminons par récapituler quelques définitions importantes de cette fiche explicative.

Points clés

  • Les matrices lignes et les matrices colonnes (souvent appelées vecteurs lignes et vecteurs colonnes) ont respectivement une seule ligne ou une seule colonne.
  • Les matrices carrées ont un même nombre de lignes et de colonnes.
  • Les matrices diagonales sont des matrices carrées où chaque coefficient non diagonal est nul.
  • Une matrice carrée dont les coefficients situés dans l’un des côtés de la diagonale sont tous nuls est une matrice triangulaire. Si les coefficients sous la diagonale sont tous égaux à zéro, il s’agit d’une matrice triangulaire supérieure. Si les coefficients au-dessus de la diagonale sont tous nuls, il s’agit d’une matrice triangulaire inférieure.
  • La matrice identité est une matrice diagonale où les coefficients diagonaux sont tous égaux à 1. La notation d’une matrice identité de dimension 𝑛×𝑛 est 1 ou 𝐼 et ces matrices sont d’une importance majeure dans l’algèbre linéaire.
  • Une matrice nulle de dimension 𝑚×𝑛 est constituée uniquement de coefficients dont la valeur est zéro. On note souvent une telle matrice 𝑂.

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