Lesson Explainer: Types de matrices Mathématiques • First Year of Secondary School

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les types particuliers de matrices tels que la matrice carrée, ligne, colonne, identité, nulle, diagonale, triangulaire inférieure et triangulaire supérieure.

Lorsque nous décrivons des matrices de manière générale, nous préférons souvent utiliser une notation abrégée plutôt que de passer par la tâche potentiellement fastidieuse d’écrire manuellement chaque coefficient. Cela est particulièrement vrai lorsque nous travaillons sur des matrices qui ont un grand nombre de lignes et de colonnes. Sachant qu’une matrice de dimension a lignes et colonnes, elle aura un nombre total de coefficients. Il est facile de voir pourquoi écrire une telle matrice dans sa totalité peut ne pas être une tâche très épanouissante.

S’il n’est pas nécessaire de spécifier la valeur des coefficients dans une matrice, il est souvent pratique de se référer aux matrices uniquement par leur dimension, décrivant ainsi le nombre de lignes et de colonnes sans décrire les coefficients qu’elle contient. Lorsque l’on considère des opérations générales telles que l’addition ou le produit matriciel, connaître la dimension est essentiel pour vérifier si l’opération est définie ou non, avant même que les coefficients individuels ne soient pris en compte.

Même si connaître la dimension d’une matrice peut fournir des informations importantes, il existe d’autres façons de classer les matrices et qui peuvent aider à orienter les calculs et à déterminer quelles sont les opérations calculatoires valides. Nous commençons donc à subdiviser les matrices en différents « types », auxquels on donne souvent des noms contenant des descriptions géométriques en fonction de leurs propriétés. Il est tout à fait possible qu’une matrice ait plusieurs types, comme nous le verrons plus loin. Nous commençons cette fiche explicative en définissant plusieurs types de matrices qui apparaissent fréquemment dans l’algèbre linéaire.

Par exemple, les matrices suivantes sont toutes des matrices lignes, car elles ont une seule ligne :  alors que les matrices suivantes ne sont pas des matrices lignes car elles ont toutes plus d’une ligne : 

Dans l’exemple ci-dessus, la seule matrice colonne est , alors que toutes les autres matrices ont plus d’une colonne et elles ne sont donc pas des matrices colonnes.

Les matrices carrées sont des objets mathématiques très importants et fréquemment utilisés dans l’algèbre linéaire. De nombreux théorèmes avancés et utiles sont basés sur le fait que les matrices impliquées sont carrées. Bien que les opérations d’addition et de multiplication de matrices puissent être définies sur des matrices de dimension générale, les opérations d’exponentiation et d’inversion ne sont définies que lorsque la matrice est carrée.

À titre d’exemple, les matrices suivantes ont chacune un nombre égal de lignes et de colonnes et sont donc classées comme matrices carrées :  alors qu’aucune des matrices suivantes n’est carrée : 

Les matrices carrées sont si importantes que beaucoup d’autres types spéciaux de matrices ont une définition qui nécessite qu’elles soient déjà des matrices carrées.

On a marqué en rouge tous les coefficients diagonaux ci-dessous : 

Sachant que les matrices sont toutes des matrices carrées et que tous les coefficients non diagonaux sont nuls, les matrices ci-dessus sont toutes des matrices diagonales. On peut noter que la matrice a le coefficient diagonal . Même si la valeur de ce coefficient diagonal est nulle, cela est cohérent avec la définition ci-dessus, qui exige seulement que les coefficients non diagonaux soient nuls.

Les matrices suivantes ne sont pas diagonales : 

On a marqué en orange les coefficients non diagonaux de et qui sont non nuls et empêchent donc ces matrices d’être diagonales. La matrice n’aurait jamais pu être une matrice diagonale, car elle n’est pas une matrice carrée et ne répond donc pas aux conditions de la définition ci-dessus. Bien que le concept de matrice diagonale-rectangulaire existe, il est utilisé beaucoup moins fréquemment que les matrices diagonales carrées standard et est donc en dehors du cadre de cette fiche explicative.

En particulier, nous notons qu’une matrice diagonale est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure, car tous les coefficients en dehors la diagonale sont des zéros. La matrice ci-dessus est trianglaire supérieure, car le coefficient au-dessous de la diagonale vaut zéro. La matrice ci-dessus n’est pas triangulaire en raison des coefficients non nuls :  au-dessous de la diagonale et 3 au-dessus de la diagonale. La matrice n’est pas une matrice triangulaire car elle n’est pas une matrice carrée.

De plus, nous considérons les trois matrices suivantes : 

Nous pouvons voir que est une matrice triangulaire supérieure car il s’agit d’une matrice carrée où tous les coefficients sous la diagonale principale sont égaux à zéro. est une matrice triangulaire inférieure car il s’agit d’une matrice carrée où tous les coefficients au-dessus de la diagonale principale sont égaux à zéro. En revanche, n’est pas une matrice triangulaire, car il y a des coefficients non nuls situés des deux côtés de la diagonale principale.

Puisqu’une matrice identité est une matrice diagonale, elle devrait être une matrice carrée.

Les matrices ci-dessous sont toutes des matrices identité :  alors qu’aucune des matrices précédentes dans cette fiche explicative n’était une matrice identité.

Par exemple, les matrices suivantes sont toutes des matrices nulles : 

Il existe divers autres types de matrices qui méritent leur propre classification et nom, telles que les matrices symétriques, les matrices antisymétriques, les matrices orthogonales, les matrices par blocs, etc. Chacune d’entre elles est intéressante et suffisamment riche pour nécessiter sa propre étude distincte.

Une fois que les concepts ci-dessus ont été complètement compris, il est possible de commencer à comprendre ces types importants de matrices et leurs nombreuses applications. Pour pratiquer la reconnaissance de ces types de matrices, nous posons dans les pages suivantes plusieurs questions qui reposent sur les définitions que nous avons données ci-dessus.

Avec une étude plus poussée de l’algèbre linéaire, il devient rapidement clair pourquoi nous avons choisi d’identifier ces types particuliers de matrices. Il est souvent possible d’acquérir une compréhension de haut niveau d’un problème en comprenant simplement les types de matrices impliqués. Par exemple, si nous travaillons avec une matrice carrée, alors nous travaillons avec une matrice qui garantit la conservation des dimensions lorsqu’elle est combinée d’une certaine manière avec des matrices lignes et des matrices colonnes. Comme autre exemple, nous avons mentionné ci-dessus qu’une matrice doit être carrée pour que la « division » de la matrice (appelée correctement « inversion ») soit possible.

En plus des types de matrices définis ci-dessus, il existe d’autres types de matrices qui sont d’une importance fondamentale en physique et dans d’autres sciences. Le concept de matrice « hermitienne » par exemple, est nécessaire pour que la mécanique quantique soit définie au sens mathématique et puisse ainsi produire des résultats qui pourraient être mesurés dans la vie réelle.

Terminons par récapituler quelques définitions importantes de cette fiche explicative.