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Vidéo de la leçon : Types de matrices Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier des types particuliers de matrices tels que la matrice carrée, ligne, colonne, identité, nulle, diagonale, triangulaire inférieure et triangulaire supérieure.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons récapituler ce que l’on entend par une matrice avant d’apprendre à identifier les types particuliers de matrices, tels que les matrices carrées, lignes, colonnes, identités, zéro, diagonales, triangulaires inférieures et triangulaires supérieures. Une matrice est un tableau de nombres. Et on organise les nombres, ou scalaires, que l’on appelle éléments, dans une matrice en lignes et colonnes. Lorsque l’on parle d’une matrice 𝑚 par 𝑛, il s’agit de sa dimension. Et cela nous indique qu’il y a 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes. Prenons une matrice 𝐴. Ses éléments, définis en minuscules 𝑎 avec cet indice, sont comme indiqué, où 𝑎 indice 𝑖𝑗 est l’élément qui apparaît dans la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗.

Or, un type spécial de matrice est le cas où 𝑚 est égal à 𝑛, en d’autres termes, le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. Et lorsque cela a lieu, on parle de matrice carrée. Si ce n’est pas le cas, alors la matrice est rectangulaire. Et il existe plusieurs autres types de matrices, alors voyons à quoi ils correspondent.

Déterminez le type de matrice donnée par moins huit, deux, moins sept, moins un. Est-ce (A) une matrice identité, (B) une matrice colonne, (C) une matrice ligne, ou (D) une matrice carrée?

On sait que si l’on a une matrice 𝑚 par 𝑛, où 𝑚 est le nombre de lignes et 𝑛 le nombre de colonnes, la matrice est carrée si 𝑚 est égal à 𝑛. En d’autres termes, le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. Mais quelle est la définition des trois autres types de matrices? Eh bien tout d’abord, la matrice identié est parfois aussi appelée matrice unité. Dans une matrice identité, tous les éléments sont nuls, à l’exception des éléments de la diagonale principale, qui valent un. Ensuite, une matrice colonne correspond au cas où 𝑛 est égal à un. Il n’y a qu’une seule colonne. Donc on parle parfois aussi de vecteur.

De même, une matrice ligne correspond au cas où 𝑚 est égal à un. Il n’y a qu’une seule ligne, et c’est aussi appelé un vecteur. Donc, si l’on prend la matrice moins huit, deux, moins sept, moins un, à quel type correspond-elle? Tout d’abord, on voit que cela ne peut pas être une matrice identité ou unité. Si c’était le cas, les éléments seraient un, zéro, zéro, un. Et ce n’est clairement pas le cas. De même, ni 𝑛 ni 𝑚 n’est égal à un. Il y a plus d’une colonne et plus d’une ligne, donc ce n’est ni une matrice colonne ni une matrice ligne. En fait, il s’agit d’une matrice deux par deux. 𝑚, le nombre de lignes, est égal à deux, tout comme 𝑛. Ces nombres sont les mêmes. On a le même nombre de lignes et de colonnes, et la réponse doit donc être (D). C’est une matrice carrée.

Prenons un autre exemple.

Déterminez laquelle des matrices suivantes est une matrice colonne. Est-ce (A) deux, moins deux, trois, cinq? (B) Deux, moins deux, trois. Est-ce (C) deux, zéro, zéro, cinq? Est-ce (D) zéro, zéro, zéro, zéro? Ou est-ce (E) deux, moins deux, trois?

Rappelons ce que l’on veut dire par matrice colonne. On dit qu’une matrice est 𝑚 par 𝑛, ou une matrice de dimension 𝑚 par 𝑛, lorsqu’elle a 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes. Et alors, si 𝑛 est égal à un, on appelle cela une matrice colonne. En d’autres termes, si la matrice n’a qu’une seule colonne, c’est une matrice colonne. Ainsi trouvons la dimension de chacune des matrices. La matrice 𝐴 a deux lignes et deux colonnes, c’est donc une matrice deux par deux. La matrice 𝐵 a trois lignes et une colonne, donc c’est une matrice trois par un. La matrice 𝐶 est à nouveau une matrice deux par deux, tout comme la matrice 𝐷. Et puis on a la matrice E, qui a une ligne et trois colonnes. Donc, c’est une matrice un par trois. Maintenant, si l’on regarde attentivement et que l’on compare chacune de ces dimensions à notre définition, on voit que la matrice qui a une valeur de 𝑛 égale à un est la matrice 𝐵. Et donc la matrice colonne est en effet 𝐵.

Maintenant, on peut également nommer les autres types de matrices. Lorsque 𝑚 est égal à 𝑛, en d’autres termes, lorsque le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes, on dit que la matrice est carrée. Ainsi, la matrice 𝐴 est carrée, de même que la matrice 𝐶. Et la matrice 𝐷 est aussi carrée, mais c’est un type spécial de matrice en soi. Chaque élément de cette matrice est nul. Et lorsqu’on a une matrice carrée où tel est le cas, on appelle cela une matrice nulle. Et puis, enfin, considérons la matrice 𝐸. Cette fois, la valeur de 𝑚 est égale à un. Il y a simplement une ligne, et on appelle cela une matrice ligne.

Nous allons maintenant étendre nos définitions pour inclure les matrices diagonales, les matrices triangulaires supérieures et triangulaires inférieures.

Si la matrice 𝐴 est égale à moins un, zéro, zéro, six, huit, zéro, six, cinq, trois, lequel des énoncés suivants est vrai? (A) La matrice 𝐴 est une matrice identité. (B) La matrice 𝐴 est triangulaire supérieure. (C) La matrice 𝐴 est triangulaire inférieure. (D) La matrice 𝐴 est diagonale. Ou (E) La matrice 𝐴 est nulle.

Passons en revue chacun de nos types de matrices et rappelons ce qu’ils signifient. Une matrice identité est une matrice carrée où tous les éléments sont nuls, à l’exception des éléments de la diagonale principale, qui sont égaux à un. Une matrice identité trois par trois, par exemple, ressemblerait aux éléments un, zéro, zéro, zéro, un, zéro, zéro, zéro, un. Ensuite, on a la matrice nulle. Il s’agit d’une matrice carrée dont les éléments sont tous égaux à zéro. En fait, si l’on compare la matrice 𝐴 avec l’une ou l’autre de ces définitions, on voit qu’elle ne peut pas être une matrice identité, donc on ne tient pas compte de la réponse (A). Il ne s’agit pas non plus d’une matrice nulle. Et donc, nous allons ignorer la réponse (E).

Voyons maintenant les options (B), (C) et (D). Une matrice triangulaire est un cas particulier de matrice carrée. Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée où tous les éléments sous la diagonale principale sont nuls. Ensuite, on parle de matrice triangulaire inférieure si les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls. On rappelle que la diagonale principale est celle-ci. Et donc, est ce que l’une ou l’autre de ces deux définitions s’applique-t-elle? Eh bien, oui. Les éléments situés au-dessus de cette diagonale sont tous égaux à zéro. Et donc elle doit être une matrice triangulaire inférieure. Et donc la réponse est (C).

Nous allons simplement vérifier la définition de (D). Qu’est-ce que cela signifie qu’une matrice est diagonale? Eh bien, pour qu’une matrice soit diagonale, elle doit avoir des éléments nuls en dessous de la diagonale principale et aussi des éléments nuls au-dessus de la diagonale principale. Ensuite, les éléments sur la diagonale elle-même ne sont pas tous nuls. Bien sûr, si l’on regarde attentivement, on voit que ce n’est pas le cas pour la matrice 𝐴. Les éléments situés en dessous de la diagonale principale ne sont pas égaux à zéro. Et donc la réponse est (C). La matrice 𝐴 est triangulaire inférieure.

Déterminez le type de matrice donné par 57, zéro, zéro, zéro, moins 72, zéro, zéro, zéro, zéro. Est-ce (A) une matrice ligne, (B) une matrice identité, (C) une matrice diagonale, ou (D) une matrice colonne?

Si l’on examine attentivement ces définitions, on voit que l’on peut en ignorer deux immédiatement. On sait qu’une matrice ligne est simplement comme cela. C’est une matrice qui se compose d’exactement une ligne. Notre matrice, bien sûr, a trois lignes, donc elle ne peut pas être une matrice ligne. De même, une matrice colonne se compose d’exactement une colonne. Et cette matrice en a trois. Donc, la réponse ne peut pas être (D). Il nous reste donc deux choix. On a la matrice identité et la matrice diagonale. Ce sont tous deux des cas particuliers de matrices carrées. On sait qu’une matrice identité a tous ses éléments égaux à zéro, sauf ceux de la diagonale principale.

Et dans ce cas, ceux-ci doivent être égaux à un comme indiqué. Ensuite, une matrice diagonale est assez similaire. Tous les éléments situés au-dessus et au-dessous de la diagonale principale sont égaux à zéro. Et puis on a des éléments non nuls situés sur la diagonale principale. Maintenant, ces éléments ne sont pas forcément tous differents de zéro. Mais on sait que tous ne peuvent pas être nuls car on aurait alors une matrice nulle. Et donc, en comparant ces définitions à notre matrice, on voit que l’on peut également ignorer la matrice identité. On a 57 et moins 72. On peut cependant dire que tous les éléments situés au-dessus de la diagonale principale, c’est-à-dire ceux-là, sont nuls et que les éléments situés en dessous sont nuls. Et on a donc une matrice diagonale. Et la réponse est (C).

Nous allons considérer un autre exemple.

Si la matrice 𝐴 est égale à cinq, cinq, zéro, laquelle des affirmations suivantes est vraie? Est-ce (A) la matrice 𝐴 est une matrice identité? (B) La matrice 𝐴 est diagonale. (C) La matrice 𝐴 est carrée. (D) La matrice 𝐴 est une matrice colonne. Ou (E) La matrice 𝐴 est une matrice ligne.

On rappelle qu’une matrice de dimension 𝑚 par 𝑛 a 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes. Et si 𝑚 est égal à 𝑛 - en d’autres termes, si le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes - alors la matrice est dite carrée. Ainsi (C) est le cas d’une matrice carrée. Mais on sait aussi que les matrices identités et diagonales doivent elles-mêmes être carrées. Et donc, voyons, est-ce que la matrice 𝐴 est carrée? Eh bien, il est clair qu’il n’y a pas le même nombre de lignes que de colonnes. En fait, c’est une matrice un par trois. Elle comporte une ligne et trois colonnes. Et comme les matrices identités et diagonales sont des exemples de matrices carrées, on peut ignorer les trois premières options. Il ne peut s’agir d’aucun de ces trois types.

Et il nous reste donc deux choix. On a une matrice colonne et une matrice ligne. Eh bien, on sait qu’une matrice colonne est telle que 𝑛 est égal à un, lorsqu’il y a une colonne, alors qu’une matrice ligne se produit lorsque 𝑚 est égal à un, lorsqu’il y a une ligne. En comparant la forme générale à l’ordre de notre matrice, on peut en fait dire que 𝑚 est égal à un et 𝑛 est égal à trois. On a une ligne et trois colonnes, elle ne peut donc pas être une matrice colonne. Mais parce que 𝑚 est égal à un, ce doit être une matrice ligne.

Nous allons maintenant passer en revue les points clés de cette leçon. On sait qu’une matrice 𝑚 par 𝑛 a 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes. Et nous disons que l’élément 𝑎 indice 𝑖𝑗 est l’élément de la ligne 𝑖 et de la colonne 𝑗. La matrice est dite carrée si 𝑚 est égal à 𝑛, c’est à dire si le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. Si 𝑛 est égal à un, cependant, on a une matrice colonne. Et si 𝑚 est égal à un, c’est à dire s’il n’y a qu’une seule ligne, alors la matrice est une matrice ligne. Ensuite, on parle de matrice identité si 𝑚 est égal à 𝑛, donc si c’est une matrice carrée, en plus tous les éléments sont égaux à zéro sauf ceux sur la diagonale principale, qui valent un. En d’autres termes, l’élément 𝑎 𝑖𝑗, si 𝑖 est égal à 𝑗, vaut un.

Une matrice est dite nulle si tous les éléments sont égaux à zéro. Et on peut aussi dire qu’une matrice est diagonale si elle est carrée et que tous les éléments sont nuls, sauf ceux de la diagonale principale. Maintenant, bien sûr, certains éléments de cette diagonale principale peuvent être égaux à zéro, mais pas tous, car on aurait alors une matrice nulle. De même, si tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à un, alors on a une matrice identité. Enfin, on définit une matrice triangulaire comme un autre cas particulier de matrice carrée. La matrice est triangulaire supérieure si tous les éléments sous la diagonale principale sont nuls et triangulaire inférieure si tous les éléments au-dessus sont nuls.

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