Transcription de la vidéo
Résolvez l’inéquation 𝑥 au carré moins 𝑥 moins 12 strictement inférieur à zéro.
C’est une inéquation du second degré parce que nous voulons déterminer quand une expression du second degré est inférieure à zéro. Et la première chose à faire lors de la résolution d’une inéquation du second degré est de tracer une courbe représentant la fonction du second degré. Il y a deux caractéristiques à la courbe, lesquelles vont nous aider à résoudre cette inéquation : d’abord les intersections de la courbe avec l’axe des abscisses 𝑥, c’est-à-dire les points où la courbe croise l’axe des abscisses 𝑥, ainsi que la direction dans laquelle la courbe passe par ces intersections avec l’axe des abscisses 𝑥.
Tout d’abord, trouvons les intersections avec l’axe des abscisses 𝑥. Les intersections avec l’axe des abscisses 𝑥 de la courbe d’équation 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥 sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro. Dans notre cas, 𝑓 de 𝑥, l’expression de la fonction que nous représentons graphiquement, est 𝑥 au carré moins 𝑥 moins 12. Nous pouvons factoriser le membre de gauche de manière intuitive. Et nous constatons que les deux solutions sont 𝑥 égal quatre et 𝑥 égal moins trois. Et ce sont les intersections de la courbe avec l’axe des abscisses 𝑥. Nous les marquons donc sur l’axe des abscisses 𝑥.
Nous savons que la courbe passe par ces deux points. Mais dans quelle direction passe-t-elle? Notre courbe représente une fonction du second degré. Et elle est donc en forme parabole. Et il y a à la base deux possibilités traduisant la manière dont cette parabole passe par ces deux points. Il s’agit soit d’une parabole vers le haut, soit d’une parabole vers le bas.
Comment tranchons-nous entre ces deux possibilités ? Nous regardons le terme en 𝑥 carré et voyons que son coefficient est un, ce qui est positif. Et nous avons donc une parabole vers le haut. Voici donc un croquis de notre courbe. Nous pourrions y ajouter d’autres caractéristiques comme l’intersection avec l’axe des ordonnées 𝑦 ou le sommet de la courbe. Mais nous verrons que nous n’en avons pas besoin.
Concentrons-nous de nouveau sur l’inéquation. Bien, comment ce graphique nous aide-t-il à résoudre l’inéquation 𝑥 au carré moins 𝑥 moins 12 strictement inférieur à zéro ? Eh bien, 𝑓 de 𝑥 est inférieure à zéro pour les valeurs de 𝑥 où la courbe d’équation 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥 se trouve en dessous de l’axe des abscisses 𝑥. Et nous pouvons voir maintenant pourquoi nous avons choisi ces deux caractéristiques importantes. Ce sont les caractéristiques qui nous permettent de déterminer précisément quand la courbe se trouve en dessous de l’axe des abscisses 𝑥.
Nous mettons en évidence la partie du graphique qui se trouve en dessous de l’axe des abscisses 𝑥. Et nous nous demandons pour quelles valeurs de 𝑥 la courbe se trouve sous l’axe des abscisses 𝑥. Parce que nous avons trouvé et marqué les intersections avec l’axe des abscisses 𝑥 sur le graphique, nous pouvons simplement lire ceci. La courbe représentative de 𝑓 est sous l’axe des abscisses 𝑥 lorsque 𝑥 est compris entre moins trois et quatre. Et nous utilisons ici les signes strictement inférieurs et pas inférieur ou égal parce que les bornes moins trois et quatre ne sont pas des solutions de l’inéquation et ne doivent donc pas être incluses.
En regardant le graphique, nous pouvons voir que 𝑓 de moins trois est égal à zéro et n’est pas inférieur à zéro. Et la même chose est vraie pour 𝑓 de quatre. C’est ainsi que vous pouvez écrire la solution à l’aide d’une inéquation. Mais nous pouvons également écrire ceci en notation d’intervalle.
Nous écrivons que 𝑥 est un élément de l’intervalle moins trois, quatre. Et nous utilisons ici des parenthèses et non des crochets pour la même raison que nous utilisons des signes strictement inférieurs et pas inférieur ou égal dans l’inéquation pour montrer que les bornes moins trois et quatre ne sont pas incluses dans cet intervalle.
