Fiche explicative de la leçon : Inéquations du second degré à une inconnue Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des inéquations du second degré à une seule inconnue algébriquement et graphiquement.

On rappelle que dans une équation, on a deux expressions équivalentes entre lesquelles on écrit le signe égal, =. Lorsque nous avons deux expressions qui ne sont pas égales l’une à l’autre, nous pouvons les relier par l’utilisation d’un signe d’inégalité.

On peut avoir des inégalités telles que 𝑥4,6𝑥,2𝑥7>5.

Dans chacune de ces inégalités, 𝑥 propose toute une gamme de solutions possibles. Lorsque nous avons une inégalité telle que 𝑥4, elle se lit « 𝑥 est supérieur ou égal à quatre ». Cela signifie que l’inégalité est vérifiée quand 𝑥 est au moins égal à quatre. Les quatre symboles d’inégalité que nous utilisons sont >,,<,.supérieuràsupérieurouégalàinférieuràinférieurouégalà

Le processus de résolution d’une inéquation est similaire à celui d’une équation, en nous assurant que nous effectuons la même opération mathématique aux deux membres de l’inéquation. Cependant, les inéquations ont un sens, donc il faut prendre en compte le côté de l’inéquation sur lequel se trouve chaque expression. Lorsque nous multiplions ou divisons une inégalité par un nombre négatif, nous devons inverser le sens de l’inégalité. Par exemple, si nous avons 𝑥2, et que nous souhaitons diviser par 1, nous devons inverser le sens de l’inégalité pour donner 𝑥2.

Voyons maintenant comment résoudre une inéquation et présenter notre réponse sous forme d’intervalle. Avant de le faire, commençons par quelques rappels de notions. Considérons l’intervalle des nombres compris entre 0 et 10, 0 inclus et 10 exclu, on pourrait le représenter en utilisant des inéquations comme 0𝑥<10.

L’inégalité stricte à droite nous indique que 10 n’est pas inclus dans l’inégalité, et l’inégalité large à gauche nous indique que 0 est inclus. Une autre façon de représenter cet intervalle serait [0,10[.

Ici, le crochet fermé nous indique que 0 est inclus, et que le crochet ouvert nous indique que 10 est exclu. Il convient également de rappeller ici que le symbole de l’infini est +. Il est courant de l’utiliser pour représenter un intervalle inférieur, ou supérieur, à un nombre donné. Par exemple, pour représenter 𝑥>3 sous forme d’intervalle, on écrit ]3,+[.

Dans cette fiche explicative, nous nous intéresserons aux inéquations du second degré. Cela est en contraste avec les inéquations linéaires, qui ressemblent à ce qui suit:2𝑥+35.

Rappelons que la démarche visant à résoudre les inéquations de cette forme est assez simple. La première chose que nous voulons faire est de réarranger l’inéquation pour que tous les termes 𝑥 soient d’un côté et tous les termes constants soient de l’autre. Nous le faisons en soustrayant 3 des deux côtés:2𝑥2.

Ensuite, pour obtenir cela en fonction de 𝑥, on divise chaque côté par 2, rappelant que lorsque nous divisons une inéquation par un nombre négatif, nous devons changer le signe de l’inéquation. Cela nous donne 𝑥1.

Donc, 𝑥 est tous les nombres supérieurs ou égaux à 1. Cela peut être aussi exprimé par un intervalle, comme [1,+[.

De la même manière que nous avons des équations distinctes telles que les équations linéaires et du second degré, nous pouvons avoir des inéquations du second degré sous les formes suivantes.

Définition : Inéquation du second degré

Une inéquation du second degré peut prendre l’une des formes suivantes:𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐>0,𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐0,𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐<0,𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐0,𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎0.

Lorsque nous résolvons une inéquation du second degré, nous devons déterminer l’étendue des solutions, ou intervalles, pour lesquels une inéquation est vraie. Par rapport au cas linéaire, cela est plus difficile et peut impliquer plusieurs intervalles distincts. Nous pouvons résoudre les inéquations du second degré en utilisant les étapes ci-dessous.

Comment : Résoudre une inéquation du second degré algébriquement

  1. Réarrangez l’inéquation de sorte à rassembler tous les termes d’un même côté, en une expression définie comme 𝑓(𝑥), et à n’avoir plus que zéro de l’autre côté. Par exemple, 𝑓(𝑥)0 ou 𝑓(𝑥)>0.
  2. Résolvez 𝑓(𝑥)=0 en factorisant, ou par la méthode de votre choix pour trouver les solutions de l’équation.
  3. Sélectionnez une valeur de test dans chaque intervalle:une valeur inférieure aux solutions de l’équation, une valeur comprise entre les solutions et une valeur supérieure aux solutions. Nous pouvons également utiliser un tableau de signes pour identifier les intervalles qui seront positifs ou négatifs.
  4. Identifiez les intervalles dont les valeurs vérifient l’inégalité.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment utiliser un tableau de signes pour identifier les valeurs positives et négatives des intervalles d’une inégalité.

Exemple 1: Résoudre une inéquation du second degré à l’aide d’un tableau de signes

Donnez toutes les solutions de l’inéquation 15𝑥2𝑥<0.

Réponse

Pour commencer à résoudre l’inéquation 15𝑥2𝑥<0, nous allons d’abord la transformer et la réarranger pour obtenir un coefficient positif de 𝑥. On peut multiplier tous les termes du coefficient par 1, en n’oubliant pas d’inverser le signe de l’inégalité car on divise par un nombre négatif. Cela nous donne 15𝑥2𝑥<0𝑥+2𝑥15>0.

Nous devons maintenant résoudre 𝑓(𝑥)=0, 𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥15. On peut factoriser notre équation pour donner 𝑥+2𝑥15=0(𝑥3)(𝑥+5)=0.

Par conséquent, 𝑥=3𝑥=5.ou

Pour résoudre l’inéquation (𝑥3)(𝑥+5)>0, nous devons identifier tous les intervalles sur lesquels elle est vérifiée. L’inégalité (𝑥3)(𝑥+5)>0 sera vérifiée ou non en fonction des signes des facteurs (𝑥3) et (𝑥+5).

On peut établir un tableau de signes pour identifier le signe de chaque facteur sur nos trois intervalles:l’intervalle inférieur à nos deux solutions, 𝑥=5 et 𝑥=3, l’intervalle compris entre ces deux solutions et l’intervalle supérieur à ces deux solutions. Dans ce tableau, on placera nos intervalles horizontalement et nos facteurs de 𝑓(𝑥) verticalement, avec le produit des facteurs ci-dessous. On peut alors calculer si le produit des facteurs sera positif ou négatif sur chaque intervalle.

𝑥<55<𝑥<3𝑥>3
(𝑥3)+
(𝑥+5)++
(𝑥3)(𝑥+5)++

Dans le tableau ci-dessus, nous pouvons voir dans la première colonne de résultats que lorsque 𝑥<5, nos valeurs (𝑥3) et (𝑥+5) seront toutes les deux négatives, de sorte que le produit de ces deux valeurs négatives, (𝑥3)(𝑥+5), sera positif.

En vérifiant le signe de (𝑥3)(𝑥+5) dans le tableau, nous pouvons constater que ce sera positif, ou autrement dit (𝑥3)(𝑥+5)>0, quand 𝑥<5 ou 𝑥>3. En d’autres termes, l’inégalité 15𝑥2𝑥<0 est vérifiée lorsque 𝑥 ne vérifie pas 5𝑥3. Sous forme de notation par intervalle, nous pouvons exprimer notre réponse comme [5,3].

Dans le premier exemple, nous avons pu suivre le processus de résoudre une inéquation du second degré exactement en résolvant l’équation du second degré, puis en utilisant un tableau en signes, mais nous devons être conscients que ce n’est pas toujours ce qui est souhaité ou nécessaire. Dans l’exemple suivant, nous considérerons une inéquation du second degré qui ne peut être factorisée.

Exemple 2: Résoudre une inéquation du second degré

Déterminez toutes les solutions à l’inéquation 𝑥+1210. Écrivez votre réponse sous la forme d’un intervalle.

Réponse

Comme cette inéquation nous a été donnée avec tous les termes d’un côté de l’équation, aucun réarrangement ne sera nécessaire. Habituellement, pour commencer à trouver les solutions, nous essayons de les résoudre 𝑓(𝑥)=0, 𝑓(𝑥)=𝑥+121. Cependant, cela n’a en réalité aucune solution, car 𝑥 sera toujours supérieure à zéro pour toute valeur réelle de 𝑥. C’est-à-dire, nous avons 𝑥0𝑥+121121𝑥+121>0.

Ainsi, le côté gauche de l’inéquation sera toujours strictement supérieur à zéro, ce qui signifie 𝑥+1210 n’est jamais vrai.

Graphiquement, cela peut être vu en considérant que le graphique de 𝑓(𝑥)=𝑥+121 ne coupe jamais l’ 𝑥axedes, comme indiqué ci-dessous.

Écrite sous la forme d’un intervalle, la solution est l’ensemble vide .

Dans les deux exemples précédents, nous avons résolu des inéquations du second degré où le côté droit de l’inéquation est égal à zéro. Lorsque les deux côtés de l’inéquation contiennent des expressions non nulles, nous devons d’abord simplifier l’inéquation au point où l’un de ses côtés vaut zéro. Dans l’exemple suivant, nous considérerons un exemple où les deux côtés de l’inéquation contiennent des expressions du second degré. Après avoir simplifié cette inéquation, nous allons la résoudre à la fois algébriquement et graphiquement.

Exemple 3: Résoudre une inéquation du second degré

Déterminez l’ensemble solution de l’inéquation (𝑥+3)(5𝑥9).

Réponse

Pour commencer à résoudre cette inéquation, nous allons d’abord la simplifier afin qu’un côté soit nul. Bien que cela soit tentant, nous ne pouvons pas simplement prendre la racine carrée de chaque côté de l’équation ici. Comme la racine carrée peut prendre à la fois des valeurs positives et négatives, prendre une racine carrée d’une inéquation peut conduire à une réponse incorrecte. Au lieu de cela, nous pouvons multiplier par les parenthèses des deux côtés de l’inéquation pour obtenir (𝑥+3)(5𝑥9)𝑥+6𝑥+925𝑥90𝑥+81.

Nous devons maintenant rassembler tous les termes du même côté de l’inéquation. Afin de garder un coefficient positif de 𝑥, on peut soustraire tous les termes du côté gauche de chaque côté de l’inéquation, ce qui nous donne 025𝑥90𝑥+81𝑥+6𝑥+9.

En simplifiant, nous avons 024𝑥96𝑥+72.

On peut aussi écrire ceci comme 24𝑥96𝑥+720, notant que les deux côtés de l’inéquation ont été inversés.

Sachant que 24 est un diviseur commun, nous pouvons diviser tous les termes par 24, ce qui nous donne

𝑥4𝑥+30.(1)

Nous avons simplifié l’inéquation donnée jusqu’à obtenir un côté égal à zéro. Nous allons maintenant terminer la résolution de cette inéquation en utilisant deux méthodes différentes:la méthode algébrique et la méthode graphique.

Méthode 1

On résout d’abord cette inéquation algébriquement. On pose 𝑓(𝑥)=0, puis on factorise pour obtenir 𝑥4𝑥+3=0(𝑥1)(𝑥3)=0.

Par conséquent, 𝑥=1𝑥=3.ou

Sous forme factorisée, l’inéquation (1) est écrite comme (𝑥1)(𝑥3)0, et nous devons identifier les intervalles sur lesquels l’inéquation est vérifiée. L’inéquation (𝑥1)(𝑥+3)0 sera vérifiée ou non en fonction des signes des facteurs (𝑥1) et (𝑥3).

Nous pouvons établir un tableau de signes pour identifier si chaque facteur sera positif ou négatif sur nos trois intervalles:l’intervalle inférieur à nos deux solutions, 𝑥=1 et 𝑥=3, l’intervalle compris entre ces deux solutions et l’intervalle supérieur à ces deux solutions. Étant donné que l’on a une inégalité au sens large dans notre inéquation, on inclura dans notre tableau les valeurs en 𝑥=1 et en 𝑥=3. On peut alors calculer si le produit des facteurs sera positif ou négatif sur chaque intervalle.

𝑥<1𝑥=11<𝑥<3𝑥=3𝑥>3
(𝑥1)0+++
(𝑥3)0+
(𝑥1)(𝑥3)+00+

À partir du tableau ci-dessus, nous pouvons voir que les intervalles où (𝑥1)(𝑥3)0 quand 𝑥1 et quand 𝑥3. En d’autres termes, l’inéquation (𝑥+3)(5𝑥9) est vérifiée lorsque 𝑥 ne vérifie pas 1<𝑥<3. Sous forme de notation par intervalle, nous pouvons exprimer notre réponse comme ]1,3[.

Méthode 2

Voyons comment résoudre les inéquations (1) graphiquement. On commence par tracer la courbe représentative de 𝑓(𝑥)=𝑥4𝑥+3. Sachant que le coefficient de 𝑥 est positif, on sait que la parabole est tournée vers le haut. Dans la méthode 1, nous avons identifié les racines de l’équation comme étant 𝑥=1 et 𝑥=3, cela signifie que la courbe passera par les points de coordonnées (1;0) et (3;0).

Pour résoudre l’inéquation 𝑥4𝑥+30, on considère les points sur le graphique de 𝑓(𝑥)=𝑥4𝑥+3, 𝑓(𝑥)0. Il s’agit des deux parties de courbe au-dessus de l’axe des 𝑥axedes, 𝑥1 et où 𝑥3. Comme indiqué dans la méthode 1, notre réponse sous forme de notation par intervalle peut être écrite comme ]1,3[.

Dans l’exemple précédent, nous avons résolu une inéquation du second degré à la fois algébriquement et graphiquement. Les deux méthodes ont nécessité de simplifier l’inéquation donnée jusqu’à obtenir un côté nul. Lorsque l’inéquation est réécrite sous cette forme et que l’on est en mesure de tracer la courbe représentative de la fonction du second degré correspondante, la résolution graphique est simple. Nous utiliserons la méthode graphique pour résoudre les inéquations du second degré dans les exemples suivants.

Considérons un autre exemple de résolution graphique d’une inéquation du second degré.

Exemple 4: Résoudre une inéquation du second degré en utilisant un graphique

Résolvez l’inéquation 2𝑥15𝑥27.

Réponse

On commence par simplifier l’inéquation jusqu’à obtenir un membre nul. On peut soustraire 15𝑥 des deux côtés pour obtenir 2𝑥15𝑥272𝑥15𝑥27.

On peut ensuite ajouter 27 aux deux côtés de l’inéquation, en nous donnant 2𝑥15𝑥+270.

Pour résoudre l’inéquation graphiquement, nous allons tracer un graphique de 𝑓(𝑥)=2𝑥15𝑥+27. Pour ce faire, il nous faut d’abord trouver les points d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥axedes, que l’on appelle souvent racines de l’équation.

On pose 𝑓(𝑥)=0, puis on factorise pour obtenir 2𝑥15𝑥+27=0(2𝑥9)(𝑥3)=0.

Par conséquent, 𝑥=4,5𝑥=3.ou

Il nous faut à présent déterminer l’allure de la courbe de 𝑓(𝑥)=2𝑥15𝑥+27. Comme le coefficient de 𝑥, 2, est positif, cela signifie que la parabole est tournée vers le haut.

Ainsi, comme les racines de l’équation sont 𝑥=4,5 et 𝑥=3, on peut tracer les coordonnées (4,5;0) et (3;0) et tracer une parabole comme illustré ci-dessous.

On doit ensuite identifier les intervalles sur lesquels l’inégalité 2𝑥15𝑥+270 est vérifiée. On peut voir sur le graphique que 𝑓(𝑥)=2𝑥15𝑥+27 est négative entre les valeurs 𝑥=3 et 𝑥=4,5. Par conséquent, 𝑥 doit vérifier 3𝑥4,5. Sous forme de notation par intervalle, on peut écrire ceci comme [3,4,5].

Passons à un autre exemple de résolution graphique d’une inéquation du second degré.

Exemple 5: Résoudre une inéquation du second degré en utilisant un graphique

Résolvez l’inéquation (𝑥5)(𝑥7)5𝑥+35.

Réponse

Nous commençons par simplifier l’inéquation donnée au point où l’un des côtés est zéro. En multipliant les parenthèses, on obtient (𝑥5)(𝑥7)5𝑥+35𝑥12𝑥+355𝑥+35𝑥7𝑥+3535𝑥7𝑥0.

Pour résoudre l’inéquation graphiquement, nous allons tracer une courbe représentative de 𝑓(𝑥)=𝑥7𝑥. Pour ce faire, nous devons d’abord trouver les racines de la fonction du second degré 𝑓(𝑥). Ces racines peuvent être trouvées en posant 𝑓(𝑥)=0 et en résolvant l’équation, en nous donnant 𝑥7𝑥=0.

On factorise pour obtenir 𝑥(𝑥7)=0.

On en déduit que, 𝑥=0𝑥=7.ou

Comme le coefficient de 𝑥 dans l’équation 𝑓(𝑥)=𝑥7𝑥 est 1, cette valeur est supérieure à zéro;de sorte que la parabole est tournée vers le haut. Comme les racines de l’équation sont 𝑥=0 et 𝑥=7, cela signifie que la courbe passera par les coordonnées (0;0) et (7;0). Nous pouvons maintenant tracer la courbe représentative de la fonction, comme ci-dessous.

Pour résoudre l’inéquation 𝑥7𝑥0, on considère les points sur le graphique de 𝑓(𝑥)=𝑥7𝑥, 𝑓(𝑥)0. Il s’agit des deux parties de courbe au-dessus de l’axe des 𝑥axedes𝑥 est inférieur à 0 et où 𝑥 est supérieur à 7. Parce que nous n’avons pas une inégalité stricte, 𝑥 peut aussi être exactement égal à 0 ou 7. Une autre façon d’exprimer cela serait de dire que 𝑥 peut prendre n’importe quelle valeur à l’exception des points où 0<𝑥<7. On peut exprimer cette réponse finale sous forme de notation par intervalle comme (0,7).

Pour finir, récapitulons quelques concepts importants abordés dans cette fiche explicative.

Points clés

  • La solution d’une inéquation du second degré est l’intervalle ou l’union d’intervalles. Lorsqu’il s’agit d’une union de deux intervalles, on peut utiliser la notation de la différence ensembliste pour écrire notre solution comme le complémentaire d’un intervalle.
  • Pour résoudre une inéquation du second degré algébriquement, nous suivons les étapes ci-dessous:
    • Réarrangez l’inéquation de sorte que nous ayons tous les termes d’un côté du symbole de l’inéquation et zéro de l’autre, par exemple, 𝑓(𝑥)>0.
    • Posez 𝑓(𝑥)=0 et factorisez l’expression 𝑓(𝑥) pour trouver ses racines.
    • Identifiez les intervalles sur lesquels l’inégalité est vérifiée en utilisant des valeurs de test dans chaque intervalle ou un tableau de signes. Nous pouvons également tracer un graphique de la fonction.
  • Pour résoudre graphiquement une inéquation du second degré, nous suivons les étapes ci-dessous.
    • Réarrangez l’inéquation de sorte que nous ayons tous les termes d’un côté du symbole de l’inéquation et zéro de l’autre;par exemple 𝑓(𝑥)>0.
    • Posez 𝑓(𝑥)=0 et factorisez l’expression 𝑓(𝑥) pour trouver ses racines.
    • Tracez le graphique de l’équation 𝑓(𝑥)=0, en utilisant les racines de l’équation et en déterminant le sens de la parabole du signe de son coefficient dominant. Faites attention si vous avez réarrangé l’inéquation d’origine pour changer le signe de la valeur 𝑥:utilisez le coefficient 𝑥 sous la forme réarrangée de l’inéquation pour identifier la forme de la courbe, plutôt que l’inéquation d’origine.
    • Identifiez les intervalles sur lesquels l’inégalité est vérifiée.

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