Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des inéquations du second degré à une seule inconnue algébriquement et graphiquement.
On rappelle que dans une équation, on a deux expressions équivalentes entre lesquelles on écrit le signe égal, . Lorsque nous avons deux expressions qui ne sont pas égales l’une à l’autre, nous pouvons les relier par l’utilisation d’un signe d’inégalité.
On peut avoir des inégalités telles que
Dans chacune de ces inégalités, propose toute une gamme de solutions possibles. Lorsque nous avons une inégalité telle que , elle se lit « est supérieur ou égal à quatre ». Cela signifie que l’inégalité est vérifiée quand est au moins égal à quatre. Les quatre symboles d’inégalité que nous utilisons sont
Le processus de résolution d’une inéquation est similaire à celui d’une équation, en nous assurant que nous effectuons la même opération mathématique aux deux membres de l’inéquation. Cependant, les inéquations ont un sens, donc il faut prendre en compte le côté de l’inéquation sur lequel se trouve chaque expression. Lorsque nous multiplions ou divisons une inégalité par un nombre négatif, nous devons inverser le sens de l’inégalité. Par exemple, si nous avons et que nous souhaitons diviser par , nous devons inverser le sens de l’inégalité pour donner
Voyons maintenant comment résoudre une inéquation et présenter notre réponse sous forme d’intervalle. Avant de le faire, commençons par quelques rappels de notions. Considérons l’intervalle des nombres compris entre 0 et 10, 0 inclus et 10 exclu, on pourrait le représenter en utilisant des inéquations comme
L’inégalité stricte à droite nous indique que 10 n’est pas inclus dans l’inégalité, et l’inégalité large à gauche nous indique que 0 est inclus. Une autre façon de représenter cet intervalle serait .
Ici, le crochet fermé nous indique que 0 est inclus, et que le crochet ouvert nous indique que 10 est exclu. Il convient également de rappeller ici que le symbole de l’infini est . Il est courant de l’utiliser pour représenter un intervalle inférieur, ou supérieur, à un nombre donné. Par exemple, pour représenter sous forme d’intervalle, on écrit .
Dans cette fiche explicative, nous nous intéresserons aux inéquations du second degré. Cela est en contraste avec les inéquations linéaires, qui ressemblent à ce qui suit :
Rappelons que la démarche visant à résoudre les inéquations de cette forme est assez simple. La première chose que nous voulons faire est de réarranger l’inéquation pour que tous les termes soient d’un côté et tous les termes constants soient de l’autre. Nous le faisons en soustrayant 3 des deux côtés :
Ensuite, pour obtenir cela en fonction de , on divise chaque côté par , rappelant que lorsque nous divisons une inéquation par un nombre négatif, nous devons changer le signe de l’inéquation. Cela nous donne
Donc, est tous les nombres supérieurs ou égaux à . Cela peut être aussi exprimé par un intervalle, comme .
De la même manière que nous avons des équations distinctes telles que les équations linéaires et du second degré, nous pouvons avoir des inéquations du second degré sous les formes suivantes.
Définition : Inéquation du second degré
Une inéquation du second degré peut prendre l’une des formes suivantes : où , et sont des constantes et .
Lorsque nous résolvons une inéquation du second degré, nous devons déterminer l’étendue des solutions, ou intervalles, pour lesquels une inéquation est vraie. Par rapport au cas linéaire, cela est plus difficile et peut impliquer plusieurs intervalles distincts. Nous pouvons résoudre les inéquations du second degré en utilisant les étapes ci-dessous.
Comment : Résoudre une inéquation du second degré algébriquement
- Réarrangez l’inéquation de sorte à rassembler tous les termes d’un même côté, en une expression définie comme , et à n’avoir plus que zéro de l’autre côté. Par exemple, ou .
- Résolvez en factorisant, ou par la méthode de votre choix pour trouver les solutions de l’équation.
- Sélectionnez une valeur de test dans chaque intervalle : une valeur inférieure aux solutions de l’équation, une valeur comprise entre les solutions et une valeur supérieure aux solutions. Nous pouvons également utiliser un tableau de signes pour identifier les intervalles qui seront positifs ou négatifs.
- Identifiez les intervalles dont les valeurs vérifient l’inégalité.
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment utiliser un tableau de signes pour identifier les valeurs positives et négatives des intervalles d’une inégalité.
Exemple 1: Résoudre une inéquation du second degré à l’aide d’un tableau de signes
Donnez toutes les solutions de l’inéquation .
Réponse
Pour commencer à résoudre l’inéquation , nous allons d’abord la transformer et la réarranger pour obtenir un coefficient positif de . On peut multiplier tous les termes du coefficient par , en n’oubliant pas d’inverser le signe de l’inégalité car on divise par un nombre négatif. Cela nous donne
Nous devons maintenant résoudre , où . On peut factoriser notre équation pour donner
Par conséquent,
Pour résoudre l’inéquation , nous devons identifier tous les intervalles sur lesquels elle est vérifiée. L’inégalité sera vérifiée ou non en fonction des signes des facteurs et .
On peut établir un tableau de signes pour identifier le signe de chaque facteur sur nos trois intervalles : l’intervalle inférieur à nos deux solutions, et , l’intervalle compris entre ces deux solutions et l’intervalle supérieur à ces deux solutions. Dans ce tableau, on placera nos intervalles horizontalement et nos facteurs de verticalement, avec le produit des facteurs ci-dessous. On peut alors calculer si le produit des facteurs sera positif ou négatif sur chaque intervalle.
Dans le tableau ci-dessus, nous pouvons voir dans la première colonne de résultats que lorsque , nos valeurs et seront toutes les deux négatives, de sorte que le produit de ces deux valeurs négatives, , sera positif.
En vérifiant le signe de dans le tableau, nous pouvons constater que ce sera positif, ou autrement dit , quand ou . En d’autres termes, l’inégalité est vérifiée lorsque ne vérifie pas . Sous forme de notation par intervalle, nous pouvons exprimer notre réponse comme .
Dans le premier exemple, nous avons pu suivre le processus de résoudre une inéquation du second degré exactement en résolvant l’équation du second degré, puis en utilisant un tableau en signes, mais nous devons être conscients que ce n’est pas toujours ce qui est souhaité ou nécessaire. Dans l’exemple suivant, nous considérerons une inéquation du second degré qui ne peut être factorisée.
Exemple 2: Résoudre une inéquation du second degré
Déterminez toutes les solutions à l’inéquation . Écrivez votre réponse sous la forme d’un intervalle.
Réponse
Comme cette inéquation nous a été donnée avec tous les termes d’un côté de l’équation, aucun réarrangement ne sera nécessaire. Habituellement, pour commencer à trouver les solutions, nous essayons de les résoudre , où . Cependant, cela n’a en réalité aucune solution, car sera toujours supérieure à zéro pour toute valeur réelle de . C’est-à-dire, nous avons
Ainsi, le côté gauche de l’inéquation sera toujours strictement supérieur à zéro, ce qui signifie n’est jamais vrai.
Graphiquement, cela peut être vu en considérant que le graphique de ne coupe jamais l’ , comme indiqué ci-dessous.
Écrite sous la forme d’un intervalle, la solution est l’ensemble vide .
Dans les deux exemples précédents, nous avons résolu des inéquations du second degré où le côté droit de l’inéquation est égal à zéro. Lorsque les deux côtés de l’inéquation contiennent des expressions non nulles, nous devons d’abord simplifier l’inéquation au point où l’un de ses côtés vaut zéro. Dans l’exemple suivant, nous considérerons un exemple où les deux côtés de l’inéquation contiennent des expressions du second degré. Après avoir simplifié cette inéquation, nous allons la résoudre à la fois algébriquement et graphiquement.
Exemple 3: Résoudre une inéquation du second degré
Déterminez l’ensemble solution de l’inéquation .
Réponse
Pour commencer à résoudre cette inéquation, nous allons d’abord la simplifier afin qu’un côté soit nul. Bien que cela soit tentant, nous ne pouvons pas simplement prendre la racine carrée de chaque côté de l’équation ici. Comme la racine carrée peut prendre à la fois des valeurs positives et négatives, prendre une racine carrée d’une inéquation peut conduire à une réponse incorrecte. Au lieu de cela, nous pouvons multiplier par les parenthèses des deux côtés de l’inéquation pour obtenir
Nous devons maintenant rassembler tous les termes du même côté de l’inéquation. Afin de garder un coefficient positif de , on peut soustraire tous les termes du côté gauche de chaque côté de l’inéquation, ce qui nous donne
En simplifiant, nous avons
On peut aussi écrire ceci comme notant que les deux côtés de l’inéquation ont été inversés.
Sachant que 24 est un diviseur commun, nous pouvons diviser tous les termes par 24, ce qui nous donne
Nous avons simplifié l’inéquation donnée jusqu’à obtenir un côté égal à zéro. Nous allons maintenant terminer la résolution de cette inéquation en utilisant deux méthodes différentes : la méthode algébrique et la méthode graphique.
Méthode 1
On résout d’abord cette inéquation algébriquement. On pose , puis on factorise pour obtenir
Par conséquent,
Sous forme factorisée, l’inéquation (1) est écrite comme , et nous devons identifier les intervalles sur lesquels l’inéquation est vérifiée. L’inéquation sera vérifiée ou non en fonction des signes des facteurs et .
Nous pouvons établir un tableau de signes pour identifier si chaque facteur sera positif ou négatif sur nos trois intervalles : l’intervalle inférieur à nos deux solutions, et , l’intervalle compris entre ces deux solutions et l’intervalle supérieur à ces deux solutions. Étant donné que l’on a une inégalité au sens large dans notre inéquation, on inclura dans notre tableau les valeurs en et en . On peut alors calculer si le produit des facteurs sera positif ou négatif sur chaque intervalle.
| 0 | |||||
| 0 | |||||
| 0 | 0 |
À partir du tableau ci-dessus, nous pouvons voir que les intervalles où quand et quand . En d’autres termes, l’inéquation est vérifiée lorsque ne vérifie pas . Sous forme de notation par intervalle, nous pouvons exprimer notre réponse comme .
Méthode 2
Voyons comment résoudre les inéquations (1) graphiquement. On commence par tracer la courbe représentative de . Sachant que le coefficient de est positif, on sait que la parabole est tournée vers le haut. Dans la méthode 1, nous avons identifié les racines de l’équation comme étant et , cela signifie que la courbe passera par les points de coordonnées et .
Pour résoudre l’inéquation , on considère les points sur le graphique de , où . Il s’agit des deux parties de courbe au-dessus de l’axe des , où et où . Comme indiqué dans la méthode 1, notre réponse sous forme de notation par intervalle peut être écrite comme .
Dans l’exemple précédent, nous avons résolu une inéquation du second degré à la fois algébriquement et graphiquement. Les deux méthodes ont nécessité de simplifier l’inéquation donnée jusqu’à obtenir un côté nul. Lorsque l’inéquation est réécrite sous cette forme et que l’on est en mesure de tracer la courbe représentative de la fonction du second degré correspondante, la résolution graphique est simple. Nous utiliserons la méthode graphique pour résoudre les inéquations du second degré dans les exemples suivants.
Considérons un autre exemple de résolution graphique d’une inéquation du second degré.
Exemple 4: Résoudre une inéquation du second degré en utilisant un graphique
Résolvez l’inéquation .
Réponse
On commence par simplifier l’inéquation jusqu’à obtenir un membre nul. On peut soustraire des deux côtés pour obtenir
On peut ensuite ajouter 27 aux deux côtés de l’inéquation, en nous donnant
Pour résoudre l’inéquation graphiquement, nous allons tracer un graphique de . Pour ce faire, il nous faut d’abord trouver les points d’intersection de la courbe avec l’axe des , que l’on appelle souvent racines de l’équation.
On pose , puis on factorise pour obtenir
Par conséquent,
Il nous faut à présent déterminer l’allure de la courbe de . Comme le coefficient de , 2, est positif, cela signifie que la parabole est tournée vers le haut.
Ainsi, comme les racines de l’équation sont et , on peut tracer les coordonnées et et tracer une parabole comme illustré ci-dessous.
On doit ensuite identifier les intervalles sur lesquels l’inégalité est vérifiée. On peut voir sur le graphique que est négative entre les valeurs et . Par conséquent, doit vérifier . Sous forme de notation par intervalle, on peut écrire ceci comme .
Passons à un autre exemple de résolution graphique d’une inéquation du second degré.
Exemple 5: Résoudre une inéquation du second degré en utilisant un graphique
Résolvez l’inéquation .
Réponse
Nous commençons par simplifier l’inéquation donnée au point où l’un des côtés est zéro. En multipliant les parenthèses, on obtient
Pour résoudre l’inéquation graphiquement, nous allons tracer une courbe représentative de . Pour ce faire, nous devons d’abord trouver les racines de la fonction du second degré . Ces racines peuvent être trouvées en posant et en résolvant l’équation, en nous donnant
On factorise pour obtenir
On en déduit que,
Comme le coefficient de dans l’équation est 1, cette valeur est supérieure à zéro ; de sorte que la parabole est tournée vers le haut. Comme les racines de l’équation sont et , cela signifie que la courbe passera par les coordonnées et . Nous pouvons maintenant tracer la courbe représentative de la fonction, comme ci-dessous.
Pour résoudre l’inéquation , on considère les points sur le graphique de , où . Il s’agit des deux parties de courbe au-dessus de l’axe des où est inférieur à 0 et où est supérieur à 7. Parce que nous n’avons pas une inégalité stricte, peut aussi être exactement égal à 0 ou 7. Une autre façon d’exprimer cela serait de dire que peut prendre n’importe quelle valeur à l’exception des points où . On peut exprimer cette réponse finale sous forme de notation par intervalle comme
Pour finir, récapitulons quelques concepts importants abordés dans cette fiche explicative.
Points clés
- La solution d’une inéquation du second degré est l’intervalle ou l’union d’intervalles. Lorsqu’il s’agit d’une union de deux intervalles, on peut utiliser la notation de la différence ensembliste pour écrire notre solution comme le complémentaire d’un intervalle.
- Pour résoudre une inéquation du second degré algébriquement, nous suivons les étapes ci-dessous :
- Réarrangez l’inéquation de sorte que nous ayons tous les termes d’un côté du symbole de l’inéquation et zéro de l’autre, par exemple, .
- Posez et factorisez l’expression pour trouver ses racines.
- Identifiez les intervalles sur lesquels l’inégalité est vérifiée en utilisant des valeurs de test dans chaque intervalle ou un tableau de signes. Nous pouvons également tracer un graphique de la fonction.
- Pour résoudre graphiquement une inéquation du second degré, nous suivons les étapes ci-dessous.
- Réarrangez l’inéquation de sorte que nous ayons tous les termes d’un côté du symbole de l’inéquation et zéro de l’autre ; par exemple .
- Posez et factorisez l’expression pour trouver ses racines.
- Tracez le graphique de l’équation , en utilisant les racines de l’équation et en déterminant le sens de la parabole du signe de son coefficient dominant. Faites attention si vous avez réarrangé l’inéquation d’origine pour changer le signe de la valeur : utilisez le coefficient sous la forme réarrangée de l’inéquation pour identifier la forme de la courbe, plutôt que l’inéquation d’origine.
- Identifiez les intervalles sur lesquels l’inégalité est vérifiée.
