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Fiche explicative de la leçon : Inéquations du second degré à une inconnue Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des inéquations du second degré à une seule inconnue algébriquement et graphiquement.

On rappelle que dans une équation, on a deux expressions équivalentes entre lesquelles on écrit le signe égal, =. Si deux expressions ne sont pas égales, on peut les comparer en utilisant un signe d’inégalité.

On peut avoir des inégalités telles que 𝑥4;6𝑥;2𝑥7>5.

Dans chacun des exemples ci-dessus, les valeurs de 𝑥 solutions de l’inéquation forment un intervalle. L’inégalité 𝑥4 se lit « 𝑥 est supérieur ou égal à quatre ». Cela signifie que l’inégalité est vérifiée quand 𝑥 est au moins égal à quatre. Les quatre symboles d’inégalité sont >,,<,.supérieuràsupérieurouégalàinférieuràinférieurouégalà

Le processus de résolution d’une inéquation est similaire à celui d’une équation:on peut résoudre une inéquation par une série d’opérations mathématiques appliquées à l’identique aux deux membres. Cependant, les inéquations ont un sens, donc il faut prendre en compte le côté de l’inéquation sur lequel se trouve chaque expression. Si l’on multiplie ou si l’on divise une inégalité par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l’inégalité. Par exemple, si l’on a 𝑥2, et que l’on souhaite diviser par 1, on doit inverser le sens de l’inégalité. On a alors 𝑥2.

Voyons à présent comment résoudre une inéquation et présenter notre réponse sous forme d’intervalle. Commençons par quelques rappels de notation. Considérons l’intervalle des nombres compris entre 0 et 10;0 inclus et 10 exclu. Pour représenter cet intervalle sous forme d’inéquations, on peut écrire que 0𝑥<10.

L’inégalité stricte de droite nous permet de savoir que 10 n’est pas inclus et l’inégalité large de gauche de savoir que 0 est inclus. Une autre façon de représenter cet intervalle est [0;10[.

Ici, le crochet fermé de gauche indique que 0 est inclus, tandis que le crochet ouvert de droite indique que 10 est exclu. On rappelle également que le symbole de l’infini positif est +. Il est courant de l’utiliser pour représenter un intervalle inférieur, ou supérieur, à un nombre donné. Par exemple, pour représenter 𝑥>3 sous forme d’intervalle, on écrit ]3;+[.

Passons maintenant à un exemple dans lequel nous devrons résoudre une inéquation linéaire.

Exemple 1: Trouver l’ensemble des solutions d’une inéquation linéaire

Trouvez l’ensemble des solutions de l’inéquation 2𝑥+35. Donnez votre réponse sous forme d’intervalle.

Réponse

On commence par soustraire 3 de chaque côté de l’inéquation 2𝑥+35 ce qui nous donne:2𝑥532𝑥2.

On peut maintenant diviser chaque côté par 2, en n’oubliant pas d’inverser le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif. On obtient alors 𝑥1.

Par conséquent, les valeurs de 𝑥 solutions de l’inéquation sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 1.

Pour exprimer notre réponse sous forme d’intervalle, on doit représenter tous les nombres entre 1 et l’infini, 1 inclus. Nous allons donc écrire notre intervalle en utilisant un crochet fermé à gauche, le symbole de l’infini pour la borne supérieure et un crochet ouvert à droite:[1;+[.

De la même manière qu’il existe différents types d’équations, comme les équations linéaires et les équations du second degré, il existe aussi différents types d’inéquations. Dans la suite de cette fiche explicative, nous nous intéresserons aux inéquations du second degré.

Définition : Inéquations du second degré

Une inéquation du second degré peut prendre l’une des formes suivantes:𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐>0,𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐0,𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐<0,𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐0,𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎0.

Pour résoudre une inéquation du second degré, on doit trouver le ou les intervalles dont toutes les valeurs vérifient l’inégalité. Pour résoudre une inéquation du second degré, on peut suivre les étapes détaillées ci-dessous.

Comment : Résoudre une inéquation du second degré algébriquement

  1. Réarrangez l’inéquation de sorte à rassembler tous les termes d’un même côté, en une expression définie comme 𝑓(𝑥), et à n’avoir plus que zéro de l’autre côté. Par exemple, 𝑓(𝑥)0 ou 𝑓(𝑥)>0.
  2. Résolvez 𝑓(𝑥)=0 par factorisation ou par la méthode de votre choix pour trouver les solutions de l’équation.
  3. Sélectionnez une valeur de test dans chaque intervalle:une valeur inférieure aux solutions de l’équation, une valeur comprise entre les solutions et une valeur supérieure aux solutions. On peut également utiliser un tableau de signes pour identifier les intervalles sur lesquels la fonction est positive et ceux sur lesquelles elle est négative.
  4. Identifiez les intervalles dont les valeurs vérifient l’inégalité.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment utiliser un tableau de signes pour déterminer les intervalles sur lesquels l’expression d’une inéquation est positive et ceux sur lesquels elle est négative.

Exemple 2: Résoudre une inéquation du second degré en utilisant un tableau de signes

Donnez toutes les solutions de l’inéquation 15𝑥2𝑥<0.

Réponse

Pour résoudre l’inéquation 15𝑥2𝑥<0, on commence par la réarranger de manière à ce que le coefficient de 𝑥 soit positif. Pour cela, on peut multiplier tous les termes par 1, en n’oubliant pas d’inverser le signe de l’inégalité car on divise par un nombre négatif. On obtient 15𝑥2𝑥<0𝑥+2𝑥15>0.

On doit maintenant résoudre 𝑓(𝑥)=0𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥15. On peut factoriser notre équation sous la forme 𝑥+2𝑥15=0(𝑥3)(𝑥+5)=0.

Par conséquent, 𝑥=3𝑥=5.ou

Pour résoudre l’inéquation (𝑥3)(𝑥+5)>0, on doit identifier tous les intervalles sur lesquels l’inégalité est vérifiée. L’inégalité (𝑥3)(𝑥+5)>0 sera vérifiée ou non en fonction des signes des facteurs (𝑥3) et (𝑥+5).

On peut établir un tableau de signes pour identifier le signe de chaque facteur sur nos trois intervalles:l’intervalle inférieur à nos deux solutions, 𝑥=5 et 𝑥=3, l’intervalle compris entre ces deux solutions et l’intervalle supérieur à ces deux solutions. Dans ce tableau, on placera nos intervalles horizontalement et nos facteurs de 𝑓(𝑥) verticalement. On ajoutera une dernière ligne pour le produit des facteurs. On pourra ensuite calculer si le produit des facteurs est positif ou négatif sur chaque intervalle.

𝑥<55<𝑥<3𝑥>3
(𝑥3)+
(𝑥+5)++
(𝑥3)(𝑥+5)++

Dans la première colonne du tableau ci-dessus, on peut voir que lorsque 𝑥<5, les facteurs (𝑥3) et (𝑥+5) sont tous les deux négatifs. Le produit de deux nombres négatifs est positif, donc (𝑥3)(𝑥+5) est positif sur cet intervalle.

Dans la ligne du tableau qui indique le signe de l’expression (𝑥3)(𝑥+5), on constate qu’elle est positive, ou autrement dit (𝑥3)(𝑥+5)>0, quand 𝑥<5 ou 𝑥>3. Autrement dit, l’inégalité 15𝑥2𝑥<0 est vérifiée quand 𝑥 ne vérifie pas 5𝑥3. Sous forme d’écriture ensembliste, notre réponse peut s’écrire [5;3].

Dans l’exemple précédent, nous avons résolu une inéquation dont le membre de droite était égal à zéro. Lorsque les deux membres de l’inéquation consistent en des expressions non nulles, on doit commencer par simplifier l’inégalité jusqu’à obtenir un membre nul. Dans le prochain exemple, les deux membres de l’inéquation seront des expressions du second degré. Après avoir réarrangé l’équation, nous la résoudrons de deux façons:d’abord algébriquement, puis graphiquement.

Exemple 3: Résoudre une inéquation du second degré

Déterminez l’ensemble des solutions de l’inéquation (𝑥+3)(5𝑥9).

Réponse

Pour résoudre cette inéquation, on va commencer par la simplifier jusqu’à obtenir un membre nul. Bien que cela puisse être tentant, il ne faut pas prendre la racine carrée de chaque côté de notre inéquation. En effet, les valeurs résultantes pourraient être négatives. Par conséquent, dans une inéquation, si l’on prend la racine carrée de chaque côté, on risque d’aboutir à une réponse incorrecte. Au lieu de cela, on va développer chacun des deux membres pour obtenir (𝑥+3)(5𝑥9)𝑥+6𝑥+925𝑥90𝑥+81.

On doit maintenant regrouper tous les termes dans un même membre. Pour garder un coefficient de 𝑥 positif, on va soustraire aux deux membres de l’inéquation tous les termes se trouvant sur le côté gauche. On a alors 025𝑥90𝑥+81𝑥+6𝑥+9.

On réduit l’expression et on obtient 024𝑥96𝑥+72.

Cette inégalité peut aussi s’écrire 24𝑥96𝑥+720, en inversant les deux membres.

On remarque que 24 est un diviseur commun. On peut donc diviser tous les termes par 24 pour obtenir

𝑥4𝑥+30.()1

Nous avons simplifié l’inéquation jusqu’à obtenir un membre égal à zéro. Nous pouvons maintenant poursuivre la résolution. Nous utiliserons deux méthodes:la méthode algébrique et la méthode graphique.

Méthode 1

Commençons par la résolution algébrique. On pose 𝑓(𝑥)=0, puis on factorise pour obtenir 𝑥4𝑥+3=0(𝑥1)(𝑥3)=0.

Par conséquent, 𝑥=1𝑥=3.ou

Nous avons réécrit l’inéquation (1) sous la forme factorisée (𝑥1)(𝑥3)0 et nous devons maintenant identifier les intervalles sur lesquels l’inégalité est vérifiée. L’inégalité (𝑥1)(𝑥+3)0 sera vérifiée ou non en fonction des signes des facteurs (𝑥1) et (𝑥3).

On peut établir un tableau de signes pour identifier le signe de chaque facteur sur nos trois intervalles:l’intervalle inférieur à nos deux solutions, 𝑥=1 et 𝑥=3, l’intervalle compris entre ces deux solutions et l’intervalle supérieur à ces deux solutions. Étant donné que l’on a une inégalité au sens large dans notre inéquation, on inclura dans notre tableau les valeurs en 𝑥=1 et en 𝑥=3. On pourra ensuite calculer si le produit des facteurs est positif ou négatif sur chaque l’intervalle.

𝑥<1𝑥=11<𝑥<3𝑥=3𝑥>3
(𝑥1)0+++
(𝑥3)0+
(𝑥1)(𝑥3)+00+

Dans le tableau ci-dessus, on peut voir que les intervalles dont les valeurs vérifient (𝑥1)(𝑥3)0 sont les intervalles sur lesquels 𝑥1 et 𝑥3. Autrement dit, l’inégalité (𝑥+3)(5𝑥9) est vérifiée quand 𝑥 ne vérifie pas 1<𝑥<3. Ce qui en notation ensembliste peut s’écrire ]1;3[.

Méthode 2

Voyons comment résoudre l’inéquation (1) graphiquement. On commence par tracer la courbe représentative de 𝑓(𝑥)=𝑥4𝑥+3. Le fait que le coefficient de 𝑥 soit positif nous indique que la parabole est tournée vers le haut. Dans la méthode 1, nous avons trouvé que les racines de l’équation sont 𝑥=1 et 𝑥=3. On sait par conséquent que la courbe passe par les points de coordonnées (1;0) et (3;0).

Pour résoudre l’inéquation 𝑥4𝑥+30, on doit repérer les parties de la courbe représentative de 𝑓(𝑥)=𝑥4𝑥+3 sur lesquelles 𝑓(𝑥)0. Il s’agit des deux portions de courbe au-dessus de l’axe des 𝑥, 𝑥1 et où 𝑥3. Par conséquent, notre réponse en notation avec intervalles est ]1;3[, comme nous l’avions déjà montré dans la méthode 1.

Dans l’exemple précédent, nous avons résolu une inéquation du second degré de deux manières:d’abord algébriquement puis graphiquement. Dans ces deux méthodes, nous avons dû simplifier notre inéquation jusqu’à obtenir un membre nul. Lorsque l’inéquation est réécrite sous cette forme et si l’on est en mesure de tracer la courbe représentative de la fonction du second degré correspondante, la résolution graphique est simple. Nous utiliserons la méthode graphique pour résoudre les derniers exemples de cette fiche explicative.

Passons donc à un nouvel exemple de résolution d’une inéquation du second degré par la méthode graphique.

Exemple 4: Résoudre graphiquement une inéquation du second degré

Résolvez l’inéquation 2𝑥15𝑥27.

Réponse

On commence par simplifier l’inéquation jusqu’à obtenir un membre nul. On peut soustraire 15𝑥 de chaque côté pour obtenir 2𝑥15𝑥272𝑥15𝑥27.

Puis on peut ajouter 27 de chaque côté de l’inéquation pour obtenir 2𝑥15𝑥+270.

Pour résoudre notre inéquation graphiquement, on doit tracer la courbe représentative de 𝑓(𝑥)=2𝑥15𝑥+27. Pour cela, il nous faut d’abord trouver les points d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥, que l’on appelle souvent racines de l’équation.

On pose 𝑓(𝑥)=0, puis on factorise pour obtenir 2𝑥15𝑥+27=0(2𝑥9)(𝑥3)=0.

Par conséquent, 𝑥=4,5𝑥=3.ou

Il nous faut à présent déterminer l’allure de la courbe de 𝑓(𝑥)=2𝑥15𝑥+27. Le coefficient de 𝑥 est positif, donc la parabole est tournée vers le haut.

Les racines de l’équation sont 𝑥=4,5 et 𝑥=3, donc on peut placer les points de coordonnées (4,5;0) et (3;0) puis tracer la parabole, comme on peut le voir dans la figure ci-dessous.

On doit ensuite identifier les intervalles sur lesquels l’inégalité 2𝑥15𝑥+270 est vérifiée. On peut voir sur le graphe que la fonction 𝑓(𝑥)=2𝑥15𝑥+27 est négative entre 𝑥=3 et 𝑥=4,5. Par conséquent, 𝑥 doit vérifier 3𝑥4,5. On peut exprimer ceci sous la forme de l’intervalle [3;4,5].

Passons à présent à un dernier exemple de résolution d’une inéquation du second degré par la méthode graphique.

Exemple 5: Résoudre graphiquement une inéquation du second degré

Résolvez l’inéquation (𝑥5)(𝑥7)5𝑥+35.

Réponse

On commence par simplifier l’inéquation jusqu’à obtenir un membre nul. On développe l’expression du membre de gauche pour obtenir (𝑥5)(𝑥7)5𝑥+35𝑥12𝑥+355𝑥+35𝑥7𝑥+3535𝑥7𝑥0.

Pour résoudre notre inéquation graphiquement, on va tracer la courbe représentative de 𝑓(𝑥)=𝑥7𝑥. On doit d’abord trouver les racines de la fonction du second degré 𝑓(𝑥). Pour cela, on va poser 𝑓(𝑥)=0, puis on résoudra l’équation. On a donc 𝑥7𝑥=0.

On factorise pour obtenir 𝑥(𝑥7)=0.

On en déduit que 𝑥=0𝑥=7.ou

Le coefficient de 𝑥 dans l’équation 𝑓(𝑥)=𝑥7𝑥 est 1. Il s’agit d’une valeur positive, donc la parabole est tournée vers le haut. Les racines de l’équation sont 𝑥=0 et 𝑥=7, donc la courbe passe par les points de coordonnées (0;0) et (7;0). On peut maintenant tracer la courbe représentative de la fonction, comme ci-dessous.

Pour résoudre l’inéquation 𝑥7𝑥0, on doit repérer les parties du graphe de 𝑓(𝑥)=𝑥7𝑥 sur lesquelles 𝑓(𝑥)0. Il s’agit des deux portions de courbe au-dessus de l’axe des 𝑥, 𝑥 est inférieur à 0 et où 𝑥 est supérieur à 7. Puisque l’inégalité de notre inéquation est large, 𝑥 peut aussi être égal à 0 ou à 7. Une autre façon d’exprimer ceci serait de dire que 𝑥 peut prendre n’importe quelle valeur à l’exception des points où 0<𝑥<7. Pour donner notre réponse finale sous forme d’intervalle, on écrit que l’ensemble des solutions est ]0;7[..

Dans notre dernier exemple, nous résoudrons une inéquation du second degré dans le cadre d’une application concrète liée au monde des affaires.

Exemple 6: Résoudre une inéquation du second degré dans un problème concret

Les fonctions coût recette d’un fabricant de téléphones mobiles sont les suivantes:𝐶(𝑥)=8𝑥600𝑥+21500 et 𝑅(𝑥)=3𝑥+480𝑥,𝑥 est le nombre de téléphones mobiles produits.

Indiquez dans quel intervalle l’entreprise doit maintenir sa production de téléphones mobiles pour réaliser un bénéfice. Arrondissez vos réponses à l’entier le plus proche permettant de réaliser un bénéfice.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons utiliser nos connaissances mathématiques pour résoudre un problème concret. On peut calculer le bénéfice à l’aide de la formule suivante:bénécerecettecoût=.

On définit le bénéfice 𝐵(𝑥) et on remplace dans la formule ci-dessus la fonction coût par 𝐶(𝑥) et la fonction recette par 𝑅(𝑥). On a alors 𝐵(𝑥)=𝑅(𝑥)𝐶(𝑥)𝐵(𝑥)=3𝑥+480𝑥8𝑥600𝑥+21500.

On regroupe les termes et on obtient 𝐵(𝑥)=11𝑥+1080𝑥21500.

On doit trouver l’intervalle permettant de réaliser un bénéfice. Par conséquent, le bénéfice doit être strictement supérieur à 0, ce que l’on peut exprimer par l’inéquation 11𝑥+1080𝑥21500>0.

Pour résoudre graphiquement notre inéquation, nous devons tracer le graphe de 𝑓(𝑥)=11𝑥+1080𝑥21500. Pour cela, nous devons d’abord résoudre l’équation 𝑓(𝑥)=0, afin de déterminer les points d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥. Pour trouver les racines de l’équation, nous utiliserons la formule générale.

On rappelle en effet que l’on peut résoudre une équation du second degré de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes, en utilisant la formule générale, 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

Donc, pour résoudre l’équation 11𝑥+1080𝑥21500=0, on remplace par 𝑎=11, 𝑏=1080 et 𝑐=21500 dans la formule générale, puis on simplifie pour obtenir 𝑥=1080±10804(11)(21500)2(11)=1080±116640094600022=1080±22040022=1080±22040022.

Par conséquent, 𝑥=1080+22040022𝑥=108022040022.ou

On utilise une calculatrice pour évaluer 𝑥 au dixième près et on trouve que 𝑥=70,4𝑥=27,8.ou

On peut maintenant placer les points de coordonnées (27,8;0) et (70,4;0), et tracer la courbe représentative de la fonction. Notez qu’il s’agit simplement d’un support pour visualiser l’inéquation;notre courbe n’a pas besoin d’être d’une grande précision. Dans notre équation, 𝑓(𝑥)=11𝑥+1080𝑥21500, le coefficient de 𝑥 est 11. C’est un nombre négatif, donc la parabole est tournée vers le bas. Notre graphe doit ressembler à celui de la figure ci-dessous.

On doit à présent déterminer les points pour lesquels 𝑓(𝑥)>0. On peut voir que la fonction 𝑓(𝑥)=11𝑥+1080𝑥21500 est positive lorsque 𝑥 est compris entre 27,8 et 70,4. Cela signifie que l’entreprise réalise un bénéfice lorsqu’elle produit entre 27,8 et 70,4 téléphones mobiles. Notre réponse doit cependant être arrondie à l’entier le plus proche, donc notre réponse finale est que l’entreprise doit produire entre 28 et 70 téléphones mobiles.

Pour finir, récapitulons quelques concepts importants abordés dans cette fiche explicative.

Points clés

  • La solution d’une inéquation du second degré est un intervalle ou une union d’intervalles. Lorsqu’il s’agit d’une union de deux intervalles, on peut utiliser la notation de la différence ensembliste pour écrire notre solution comme le complémentaire d’un intervalle.
  • Pour résoudre une inéquation du second degré de manière algébrique, on suit les étapes suivantes:
    • Réarrangez l’inéquation pour avoir tous les termes d’un côté du symbole de l’inéquation et zéro de l’autre. Par exemple, 𝑓(𝑥)>0.
    • Posez 𝑓(𝑥)=0 et factorisez l’expression 𝑓(𝑥) pour trouver ses racines.
    • Identifiez les intervalles sur lesquels l’inégalité est vérifiée en utilisant des valeurs de test dans chaque intervalle ou un tableau de signes. On peut aussi tracer la courbe représentative de la fonction.
  • Pour résoudre une inéquation du second degré de manière graphique, on suit les étapes suivantes:
    • Réarrangez l’inéquation pour avoir tous les termes d’un côté du symbole de l’inéquation et zéro de l’autre. Par exemple, 𝑓(𝑥)>0.
    • Posez 𝑓(𝑥)=0 et factorisez l’expression 𝑓(𝑥) pour trouver ses racines.
    • Tracez la courbe représentative de 𝑓(𝑥)=0. Pour cela, utilisez les racines de l’équation et déduisez le sens de la parabole du signe de son coefficient dominant. Si vous avez réarrangé l’inéquation d’origine pour changer le signe du coefficient de 𝑥:déterminez le sens de la parabole en utilisant le coefficient de 𝑥 qui se trouve dans la forme réarrangée de l’inéquation;n’utilisez pas celui de la forme d’origine.
    • Identifiez les intervalles sur lesquels l’inégalité est vérifiée.

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