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Vidéo de la leçon : Résolution des inégalités du second degré Mathématiques

Cette vidéo traite de l’utilisation de méthodes graphiques pour résoudre les inégalités du second degré, puis de l’application d’une approche algébrique afin de trouver des solutions exactes. Nous nous concentrons également sur une présentation soignée de votre entraînement pour éviter les erreurs courantes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons regarder comment résoudre les inégalités du second degré. Tout d’abord, nous allons adopter une approche simple en regardant les courbes, mais ensuite nous adopterons une approche algébrique. Si vous pouvez déjà trouver des racines d’expression du second degré ou résoudre des équations du second degré, vous pouvez le faire. Mais vous devez présenter votre calcul avec soin pour éviter de faire une erreur courante vers la fin. Jetons un coup d’œil à quelques questions maintenant.

Alors, posez-en une.

À l’aide de la courbe, trouvez les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Et on nous donne que 𝑓 de 𝑥 est égal à moins 𝑥 au carré plus cinq 𝑥. Et on nous donne également la courbe représentant 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥, qui correspond en fait à cette expression du second degré. Il s’agit donc d’une parabole symétrique, coupe l’axe des 𝑥 à zéro et cinq, et coupe également l’axe 𝑦 à zéro. Nous avons donc obtenu de savoir quand 𝑓 de 𝑥 est supérieur à zéro ; en d’autres termes, lorsque la coordonnée 𝑦 est supérieure ou égale à zéro.

Donc, avec 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥, et nous cherchons quand 𝑓 de 𝑥 est supérieur ou égal à zéro, nous sommes vraiment — nous recherchons tous les points sur cette courbe où la coordonnée 𝑦 est supérieure ou égale à zéro. Eh bien ici à zéro et ici à cinq sur l’axe des 𝑥, la coordonnée 𝑦 est nulle. Et sur tous ces points de la courbe intermédiaire, la coordonnée 𝑦 est supérieure à zéro. Donc, c’est la région qui nous intéresse. Nous voulons connaître les coordonnées 𝑥 qui génèrent ceux-ci. Eh bien zéro, cinq, tout entre les deux en termes de coordonnées 𝑥, donc de zéro à cinq, et tout ce qui se trouve en dehors de cette région. Donc supérieure à cinq ou inférieure à zéro jusqu’à moins l’infini, ce n’est pas inclus dans notre région car ces parties de la courbe ne sont ni supérieures ni égales à zéro. Nous pourrions donc écrire que, comme ceci, zéro est inférieur ou égal à 𝑥 est inférieur ou égal à cinq.

Mais nous pourrions également l’écrire au format intervalle. Les valeurs critiques sont donc zéro et cinq. C’est l’une ou l’autre fin de l’intervalle. Maintenant, zéro est inclus, nous devons donc inc - inclure un crochet carré à la fin. Et cinq est inclus, nous avons donc mis les crochets autour de cette extrémité. C’est donc au format intervalle. Nous pourrions donc également le mettre en notation d’ensemble. Nous avons donc l’ensemble des 𝑥 tel que 𝑥 est un nombre réel compris entre zéro et cinq. Le processus consistait donc à regarder la courbe et à identifier tous les points de la courbe qui correspondent aux critères que nous recherchons. Dans ce cas, c’était 𝑓 de 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Il s’agit donc de trouver quelles coordonnées 𝑥 correspondent aux critères et quelles coordonnées 𝑥 ne correspondent pas à ces critères, puis simplement résumer cela dans l’un de ces formats : le format approprié, que ce soit le format d’inégalité, l’intervalle format, ou le format défini en fonction de ce que la question demande.

Bon, passons à la question suivante alors.

Et nous devons utiliser la courbe pour trouver les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑥 est supérieur à zéro, donc strictement supérieur à, non égal à zéro. Eh bien dans ce cas, à 𝑥 est égal à un, nous avons une coordonnée 𝑦 de zéro, donc 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro. Donc, ce n’est pas va être dans la région que nous recherchons. Et quand 𝑥 est égal à quatre, nous avons une coordonnée 𝑦 de zéro ou 𝑓 de 𝑥 égale zéro. Donc, encore une fois, ça ne sera pas dans la région que nous recherchons. Cependant, lorsque 𝑓 de 𝑥 est supérieur à zéro ; c’est tous ces points ici sur la courbe et aller à l’infini dans cette direction, puis tous ces points ici sur la courbe et aller à l’infini dans cette direction.

Donc, en pensant aux valeurs 𝑥 correspondantes, eh bien nous n’incluons pas quatre, mais tout ce qui est à droite de cela est inclus. Nous n’en incluons pas un, mais tout ce qui se trouve à gauche est inclus. Ainsi, les bits que nous ne voulons pas lorsque la coordonnée 𝑦 est inférieure ou égale à zéro ici sont tout de 𝑥 est un jusqu’à 𝑥 est quatre inclus.

D’accord, alors comment allons-nous écrire cela ? Eh bien, nous avons une région non continue. Nous avons donc tout à gauche d’un et tout à droite de quatre. Nous devons donc mettre cela comme deux inégalités distinctes. Donc 𝑥 est inférieur à un ou 𝑥 est supérieur à quatre. Donc, en pensant à l’équivalent au format d’intervalle, nous allons de moins l’infini à un non inclus. Et nous allons de quatre non inclus à plus l’infini.

Ainsi, les valeurs critiques sont moins l’infini et un et quatre et l’infini. Donc l’infini a toujours la parenthèse ronde après. Et nous n’incluons pas un dans cette région, nous avons donc mis des parenthèses autour. Nous n’incluons pas quatre, donc cela a une parenthèse ronde. Et puis nous allons à plus l’infini, qui a encore une fois une parenthèse ronde. Et ces deux régions sont valables, mais rien entre les deux. C’est donc l’union de ces deux régions. Donc, au format d’intervalle, nous l’écririons comme ça. Et nous pouvons écrire notre réponse en notation d’ensemble, donc l’ensemble des 𝑥 tel que 𝑥 est réel, où 𝑥 est inférieur à un ou 𝑥 est supérieur à quatre.

Mais une autre façon de l’écrire est que, fondamentalement, vous savez, l’ensemble des nombres réels est l’ensemble de ces nombres ici, le long de l’axe des 𝑥, la droite numérique si vous le souhaitez. Mais nous voulons exclure cette région ici de 𝑥 est un jusqu’à 𝑥 est quatre, donc cette région ici. On pourrait donc dire que ce sont tous les nombres réels moins cette région. Donc, nous le mettons simplement dans ce format, donc les nombres réels, puis nous soustrayons cet intervalle ici de un à quatre inclus parce que nous ne voulons pas un et nous ne voulons pas quatre dans notre région. Nous voulons exclure cela de notre région de solutions, donc beaucoup de façons différentes de présenter nos ensembles solutions là-bas.

Donc, avec le nombre trois, nous sommes passés à une approche purement algébrique.

Trouvez les valeurs de 𝑥 qui satisfont 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins dix est inférieur ou égal à zéro. Alors ce que nous allons faire est, nous disons considérons l’équation 𝑦 est égale à 𝑥 carré moins trois 𝑥 dix moins. Donc, nous mettons essentiellement tout ce paquet égal à notre coordonnée 𝑦. Maintenant, c’est une parabole, et le coefficient de 𝑥 au carré est un, donc c’est positif. Nous savons donc que ce serait une courbe positive. Nous savons également que le terme constant à la fin est moins dix, donc 𝐶 est égal à moins dix. Et c’est là qu’elle coupe l’axe des 𝑦. Et elle coupe l’axe des 𝑥 lorsque la coordonnée 𝑦 est égale à zéro. Donc, puisque 𝑦 est égal à 𝑥 carré moins trois 𝑥 moins dix, ce que nous disons, c’est qu’elle coupe l’axe des 𝑥 lorsque 𝑥 carré moins trois 𝑥 moins dix est égal à zéro.

Et que les facteurs, donc 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins dix facteurs à 𝑥 plus deux fois 𝑥 moins cinq. Et maintenant, nous l’avons dans le format. Nous avons quelque chose lorsque quelque chose est égal à zéro, donc l’une de ces choses doit être égale à zéro pour obtenir un résultat de ce produit égal à zéro. Donc, soit 𝑥 plus deux est égal à zéro, soit 𝑥 moins cinq est égal à zéro. Et cela signifie que 𝑥 doit être égal à moins deux pour que cela soit égal à zéro ou 𝑥 doit être égal à cinq pour que cela soit égal à zéro.

Nous avons donc maintenant suffisamment d’informations pour pouvoir esquisser la courbe de 𝑦 égal à 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins dix. Eh bien, elle coupe l’axe des 𝑦 à moins dix, et elle coupe l’axe des 𝑥 à moins deux et plus cinq. C’est peut-être ici, moins deux ; et plus cinq est ici. Maintenant, c’est une expression du second degré, donc ce sera une parabole symétrique. Donc, l’axe de symétrie, parce que ça va être à mi-chemin entre moins deux et plus cinq, va être quelque part ici quelque part. Et la courbe va ressembler à quelque chose comme ça. Maintenant, comme nous l’avons dit au début, 𝑦 est égal à tout cela, et ce que nous essayons de trouver, ce sont les valeurs 𝑥 pour lesquelles cela est inférieur ou égal à zéro. Nous recherchons donc sur cette courbe particulière où 𝑦 est inférieur ou égal à zéro.

Eh bien, 𝑦 est égal à zéro ici et 𝑦 est égal à zéro ici, donc moins deux et moins cinq sont les valeurs 𝑥 qui génèrent une coordonnée 𝑦 de zéro. Et nous recherchons également la région pour laquelle 𝑦 est inférieure à zéro, ce sera donc tout le reste. C’est tout le chemin ici. Donc, en termes de valeurs 𝑥 qui génèrent ces coordonnées 𝑦, et bien 𝑥 est moins deux, 𝑥 est cinq, et tout le reste. Ce sont les coordonnées 𝑥 valides. Et pour les coordonnées 𝑥 qui ne nous intéressent pas, regardez bien ici, vous pouvez voir que la coordonnée 𝑦 est supérieure à zéro pour que nous ne soyons pas intéressés par cela. Donc, en ce qui concerne la région qui ne nous intéresse pas, c’est cette région à l’infini ici ; et elle n’inclut pas moins deux, mais c’est cette région vers moins l’infini ici.

Ainsi, les valeurs 𝑥 que nous recherchons pour générer cette coordonnée 𝑦 inférieure ou égale à zéro sont moins deux est inférieur ou égal à 𝑥 est inférieur ou égale à cinq. C’est donc dans un format d’inégalité. Dans le format d’intervalle, les extrémités de l’intervalle que nous recherchons sont moins deux et cinq, et elles sont toutes les deux incluses. Nous devons donc mettre des crochets autour de celles-ci. C’est donc au format d’intervalle. Et en utilisant la notation d’ensemble, nous pouvons dire que nous avons l’ensemble des 𝑥 tels que 𝑥 est réel où moins deux est inférieur ou égal à 𝑥 est inférieur ou égal à cinq.

Donc, le processus que nous avons traversé là-bas était que nous avons d’abord trouvé une équation pour 𝑦 égal à une combinaison de 𝑥, une fonction de 𝑥, puis nous avons déterminé où cela générait une valeur de zéro. Et puis nous essayions de penser, vous savez, d’accord, nous cherchions que la fonction soit inférieure ou égale à zéro dans ce cas, ou elle pourrait être égale à zéro ou supérieure à zéro dans d’autres cas. Vous faites donc ces comparaisons. Maintenant, le point qui est vraiment important dont je parlais au début en termes de travail est de dessiner cette courbe. Si vous tracez l’esquisse, il est vraiment clair de voir si vous recherchez des points au-dessus de l’axe des 𝑥 ou des points au-dessous de l’axe des 𝑥. Si vous ne le faites pas, beaucoup de gens passent par ces questions et ils - ils découvrent ces valeurs 𝑥 critiques, mais ensuite ils devinent juste un peu si nous allons entre les valeurs 𝑥 ou en dehors des of valeurs 𝑥. Donc, ce dessin final est vraiment utile ici à obtenir agréable et clair dans votre esprit si vous êtes à la recherche des points de coordonnées 𝑦 au-dessus de la droite ou au-dessous de cette droite, l’axe des 𝑥.

Bon pour notre dernier exemple alors, trouvons les valeurs de 𝑥 qui satisfont moins 𝑥 au carré moins 𝑥 est inférieur à moins douze. Maintenant, je vais réorganiser ce problème. Nous allons donc en réalité résoudre un problème équivalent qui revient avec les mêmes réponses, mais ce sera un peu plus facile à faire. Je n’aime pas travailler avec ces moins 𝑥 au carré et je n’aime pas vous faire connaître des choses d’un côté de l’inégalité et des choses de l’autre. Il est beaucoup plus facile d’avoir une égalité — une inégalité basée autour de zéro, nous pouvons donc regarder au-dessus et au-dessous de l’axe des 𝑥. Ce que je vais faire est que je vais ajouter 𝑥 au carré des deux côtés et je vais ajouter 𝑥 des deux côtés de cette inégalité. J’ai donc quelque chose qui est supérieure à zéro.

Donc, tout d’abord, ajoutons 𝑥 au carré des deux côtés. Et sur le côté gauche, si j’avais 𝑥 au carré, je suis juste avec moins 𝑥 car moins 𝑥 au carré plus 𝑥 au carré est zéro. Cela s’annule. Et puis sur le côté droit, j’ai 𝑥 au carré, donc plus 𝑥 au carré moins douze. On pourrait dire moins douze plus 𝑥 au carré, mais je pense qu’il est plus facile de l’écrire de cette façon. Alors maintenant, nous allons ajouter 𝑥 des deux côtés, et qui nous donne zéro est inférieur à 𝑥 carré plus 𝑥 moins douze.

C’est donc le problème que nous allons résoudre ; zéro est inférieur à 𝑥 au carré plus 𝑥 moins douze. Et il génère un ensemble entièrement équivalent de solutions ou valeurs 𝑥 comme le problème d’origine. Considérons donc l’équation du second degré 𝑦 égale 𝑥 au carré plus 𝑥 moins douze. Et puis effectivement, ce que nous essayons de faire est que ce paquet est ici notre coordonnée 𝑦 et nous essayons de voir quand est que la coordonnée 𝑦 est plus grande que zéro. Donc, si c’est 𝑦, rappelez-vous que nous avons le plus grand que ; c’est du côté le plus grand - de l’inégalité à zéro. Nous parlons donc de quand 𝑦 est supérieur à zéro. Il est important de bien faire les choses à ce stade.

Donc, en regardant cette expression du second degré, c’est évidemment un 𝑥 au carré, donc notre valeur 𝑎 est positive. C’est donc une autre de ces courbes heureuses. Et le terme constant à la fin est moins douze, ce qui signifie qu’elle coupe l’axe des 𝑦 en moins douze. Et puis la courbe de cette expression du second degré couperait l’axe des 𝑥 lorsque 𝑦 est égal à zéro ; définition de l’axe des 𝑥 : la coordonnée 𝑦 est égale à zéro. C’est alors que 𝑥 au carré plus 𝑥 moins douze est égal à zéro. Encore une fois, je peux factoriser 𝑥 au carré plus 𝑥 moins douze, 𝑥 plus quatre fois 𝑥 moins trois, et maintenant encore nous avons deux choses multipliées ensemble nous donnant zéro. La seule façon d’obtenir une réponse de zéro lorsque vous multipliez deux choses ensemble est lorsque l’une d’entre elles est en fait nulle.

Donc, soit 𝑥 plus quatre est égal à zéro, soit 𝑥 moins trois doit être égal à zéro. Donc, quand 𝑦 est nul, quand elle coupe l’axe des 𝑥, cela doit être quand 𝑥 est égal à moins quatre ou 𝑥 est égal à trois. Alors maintenant, nous avons suffisamment d’informations pour faire un peu de dessin. Nous pouvons voir qu’elle coupe l’axe des 𝑦 en moins douze et qu’elle coupe l’axe des 𝑥 en moins quatre et plus trois. Et la droite de symétrie, rappelez-vous que les quadratiques sont toujours ces paraboles symétriques, va être légèrement à gauche de l’axe des 𝑦 parce que ça va être à mi-chemin entre ces deux points où elle coupe l’axe des 𝑥 ; moins quatre est plus éloigné de zéro que trois l’est, donc la droite de symétrie est légèrement à gauche de l’axe des 𝑦.

Donc, la courbe ressemble à quelque chose comme ça, un peu bancale, mais elle n’a pas besoin d’être précise à cent pour cent. Et nous pouvons voir que la coordonnée 𝑦 sur chaque point sur cette courbe est égale au carré de la coordonnée 𝑥 plus la coordonnée 𝑥 moins douze. Donc, dans ce problème, nous recherchons lorsque la coordonnée 𝑦 sur cette courbe est supérieure à zéro, quelles coordonnées 𝑥 génèrent une coordonnée 𝑦 supérieure à zéro.

Eh bien, lorsque 𝑥 est égal à moins quatre, la coordonnée 𝑦 est égale à zéro, donc ce n’est pas supérieur à zéro. Ce n’est donc pas dans la région que nous recherchons. Et quand 𝑥 est égal à trois, cela génère une coordonnée 𝑦 égale à zéro. Ce n’est donc pas dans la région que nous recherchons. Et entre ces points ici, nous pouvons voir que la coordonnée 𝑦 est inférieure à zéro, donc ce n’est pas bon. Donc, les points que nous recherchons sont ici et dehors à l’infini dans cette direction, moins l’infini. Et ici et vers plus l’infini dans cette direction, c’est là que 𝑦 est supérieur à zéro.

Donc, nous allons examiner les coordonnées 𝑥 correspondantes. Nous avons dit que trois n’est pas inclus, car cela génère une coordonnée 𝑦 de zéro. Mais tout à droite de trois jusqu’à plus l’infini est inclus dans notre région car cela génère des coordonnées 𝑦 qui sont au-dessus de zéro. Moins quatre n’est pas inclus car c’est une coordonnée 𝑦 de zéro. Mais tout à gauche de cette figure parce qu’encore une fois nos coordonnées 𝑦 correspondantes seraient supérieures à zéro.

Pour la région qui ne nous intéresse pas ; rappelez-vous que nous avons dit que tous ces points ici sont inférieurs à zéro, ils ont une coordonnée 𝑦 inférieure à zéro, donc moins quatre est non inclus, plus trois est non inclus, et tout ce qui se trouve entre les deux — oups — tout ce qui se trouve entre les deux n’est pas inclus dans la région que nous recherchons. Encore une fois, notre région verte a été divisée en deux. C’est une région non continue. Donc, en termes d’inégalités, 𝑥 est inférieur à moins quatre ou 𝑥 est supérieur à trois. Rappelez-vous, à quatre et moins trois, nous générons des coordonnées 𝑦 égales à zéro. Ce n’est donc pas la région qui nous intéresse.

En termes d’intervalles, nous allons de moins l’infini à moins quatre. Et nous allons de trois à plus l’infini. Nous devons donc juste penser aux crochets ou aux parenthèses autour de ceux-ci ; eh bien les infinis ont toujours les parenthèses rondes. Et rappelez-vous, quatre n’est pas inclus dans la région, nous utilisons donc la parenthèse ronde ; et trois n’est pas inclus dans la région, nous utilisons donc la parenthèse ronde. Et nous examinons l’union de ces deux régions.

En notation d’ensemble, nous pouvons dire que c’est l’ensemble des 𝑥 tels que 𝑥 est réel et 𝑥 est strictement inférieur à moins quatre ou 𝑥 est strictement supérieur à trois. Ou encore, nous pouvons dire que ce sont toutes les valeurs réelles de - que 𝑥 pourrait être en dehors de cette région ici, et nous pourrions donc exclure cela de notre réponse. Donc, une autre façon de l’écrire est que l’ensemble des nombres réels moins la région de quatre à moins trois. Et la région que nous excluons comprend moins quatre et trois.

Donc, dans ce cas, nous avons juste dû réorganiser le problème légèrement pour trouver un problème équivalent, qui était relativement facile à résoudre. Nous avons fait une analyse de base sur les interceptions 𝑥 et 𝑦, avons refait la courbe parce que cela nous a vraiment aidés à comprendre les solutions, puis nous vous avons donné un éventail de différentes façons de présenter votre réponse.

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