Transcription de la vidéo
Un objet avec un vecteur vitesse 𝑣 est ralenti jusqu’à ce qu’il s’arrête par une force constante 𝐹 sur une distance de 12 mètres. Si le vecteur vitesse de l’objet est augmenté à cinq 𝑣 et puis 𝐹 est à nouveau appliqué pour décélérer l’objet, jusqu’où l’objet se déplace-t-il entre le moment où la force est appliquée et le moment où l’objet s’arrête?
Alors, donc dans cette question, nous savons que nous avons un objet qui a initialement un vecteur vitesse 𝑣, qui est ensuite ralenti jusqu’à ce qu’il s’arrête par une force constante 𝐹. Et il le fait sur une distance de 12 mètres. Si nous prenons alors le même objet et changeons son vecteur vitesse initial à cinq 𝑣, puis utilisons la même force 𝐹 pour décélérer l’objet, nous devons déterminer jusqu’où l’objet se déplace entre le moment où la force est appliquée et le moment où l’objet s’arrête.
Donc, fondamentalement, nous avons deux scénarios où l’objet que nous avons décélère. Le premier scénario est celui où son vecteur vitesse initial est 𝑣 et le deuxième scénario est quand son vecteur vitesse initial est cinq 𝑣. Dessinons un schéma des deux scénarios.
Tout d’abord, disons que ceci est notre objet - juste une simple balle avec une masse 𝑚. Nous ne savons pas réellement quelle est cette masse, mais comme nous le verrons plus tard, nous n’avons pas besoin de le savoir. Maintenant, dans le premier scénario, cet objet commence avec un vecteur vitesse 𝑣. Alors disons qu’il se déplace vers la droite. Et nous savons qu’il parcourt une certaine distance et ralentit tout le temps jusqu’à ce qu’il s’arrête. La distance parcourue lors de la décélération jusqu’à l’arrêt est de 12 mètres. Appelons cette distance 𝑠. Maintenant, ce qui ralentit l’objet est une force que nous appliquons et cette force doit être dans le sens opposé parce qu’elle ralentit l’objet. C’est une décélération. Voilà donc la première situation.
Maintenant, dessinons le deuxième scénario. Cette fois, nous avons à nouveau le même objet. Cette balle avec une masse 𝑚. Mais elle commence avec un vecteur vitesse de cinq 𝑣. Et encore une fois, nous lui appliquons la même force 𝐹 afin qu’il décélère sur une certaine distance jusqu’à ce qu’il s’arrête. Maintenant, on nous demande de déterminer quelle est cette distance. Appelons donc cette distance 𝑥.
Alors, dans les deux cas, l’objet est initialement en mouvement. Par conséquent, il doit avoir une certaine énergie cinétique. On peut rappeler que l’énergie cinétique d’un objet 𝐸 indice 𝑘 est donnée en multipliant un demi par 𝑚 - la masse de l’objet - par 𝑣 – la norme du vecteur vitesse de l’objet - au carré. Donc, en utilisant cette équation, nous pouvons calculer dans les deux cas la variation de l’énergie cinétique de l’objet lorsqu’il ralentit. Appelons la variation d’énergie cinétique Δ 𝐸 indice 𝑘 parce que nous utilisons Δ pour représenter une variation et 𝐸 indice 𝑘 représente notre énergie cinétique.
Maintenant, dans ces deux scénarios, la variation de l’énergie cinétique ne va pas être la même. Alors disons que pour le premier, notre variation d’énergie cinétique est Δ 𝐸 indice 𝑘 virgule un. Et pour le deuxième scénario, nous avons Δ 𝐸 indice 𝑘 virgule deux. Alors, la variation de l’énergie cinétique Δ 𝐸 indice 𝑘 en général pour les deux cas va être l’énergie cinétique finale 𝐸 indice 𝑘 finale moins l’énergie cinétique initiale Δ 𝐸 indice 𝑘 initiale.
Donc, pour le premier scénario Δ 𝐸 indice 𝑘 virgule un, l’énergie cinétique finale est un demi multiplié par la masse de l’objet multipliée par la norme du vecteur vitesse final de l’objet qui est nulle car l’objet ralentit jusqu’à s’immobiliser. Et donc ce terme devient zéro parce que nous avons quelque chose multiplié par zéro et cela donne zéro. Voilà donc l’énergie cinétique finale.
Et maintenant, nous pouvons calculer l’énergie cinétique initiale. Cela devient simplement un demi multiplié par la masse de l’objet multipliée par la norme du vecteur vitesse initial au carré. Alors, la norme du vecteur vitesse initial est 𝑣. Nous avons donc un demi de 𝑚𝑣 carré. Et donc toute l’expression devient zéro moins un demi de 𝑚𝑣 au carré, ce qui est simplement moins un demi de 𝑚𝑣 au carré. Donc, c’est Δ 𝐸 indice 𝑘 virgule un.
Nous pouvons faire la même chose pour Δ 𝐸 indice 𝑘 virgule deux. Maintenant, l’énergie cinétique finale va encore une fois être nulle parce que même dans cette situation, l’objet s’arrête. Donc, l’énergie cinétique finale va être zéro et l’énergie cinétique initiale va être un demi multiplié par 𝑚 multipliée par le vecteur vitesse initial, qui dans ce cas est de cinq 𝑣, au carré. Maintenant, quand on a cinq 𝑣 au carré, on obtient 25 𝑣 au carré. Alors, ici, ce que nous pouvons faire est d’extraire le facteur 25. Il nous reste donc 25 fois un demi de 𝑚𝑣 au carré. Et la raison pour laquelle nous avons fait cela est que un demi de 𝑚𝑣 carré ressemble à ceci. Et donc dans l’ensemble, Δ 𝐸 indice 𝑘 virgule deux est égal à moins 25 fois un demi de 𝑚𝑣 au carré.
Si nous l’avions voulu, nous aurions également pu prendre ce signe négatif ici pour que la partie à l’intérieur de la parenthèse semble identique à Δ 𝐸 indice 𝑘 virgule un. En fait, oui, faisons cela. Maintenant, nous avons Δ 𝐸 indice 𝑘 virgule deux est égale à 25 fois moins un demi de 𝑚𝑣 au carré. Cela sera utile plus tard. Pour l’instant cependant, regardons d’autres informations.
Nous savons que dans les deux cas, nous utilisons une force 𝐹 pour décélérer l’objet. Nous pouvons utiliser ces informations pour calculer la quantité de travail effectuée sur l’objet afin de le ralentir. On peut rappeler que la quantité de travail effectuée sur un objet 𝑊 est égale à la force appliquée sur l’objet 𝐹 multipliée par la distance parcourue par l’objet 𝑑. Nous pouvons donc calculer la quantité de travail effectuée dans le premier scénario car 𝑊 est égal à 𝐹 la force multipliée par la distance 𝑠. Et appelons cela 𝑊 indice un pour le travail effectué dans le premier scénario. 𝑊 indice deux devient alors 𝐹 multiplié par la distance parcourue qui est 𝑥 et ce 𝑥 est ce que nous essayons de trouver ici.
Alors pourquoi est-ce pertinent ? Eh bien, nous pouvons utiliser quelque chose connu sous le nom de théorème de l’énergie cinétique. Le théorème de l’énergie cinétique nous dit que la quantité de travail effectuée sur un objet est égale à la variation de l’énergie cinétique de cet objet. En d’autres termes, 𝑊 est égal à Δ 𝐸 indice 𝑘. Donc, dans chaque scénario, nous pouvons assimiler 𝑊 à Δ 𝐸 indice 𝑘.
Faisons-le d’abord pour le scénario un. Moins un demi de 𝑚𝑣 carré - c’est Δ 𝐸 indice 𝑘 virgule un - est égal à 𝐹𝑠. C’est 𝑊 indice un. Maintenant, attendez, nous avons un moins d’un côté, mais un plus de l’autre côté ? Eh bien, non, ce n’est pas le cas. Rappelez-vous que la force agit dans le sens opposé au mouvement. La norme de la force est donc négative. Et par conséquent, nous avons deux valeurs négatives de chaque côté de l’équation.
Quoi qu’il en soit, faisons maintenant la même chose pour le deuxième scénario. Ce que nous avons ici est 25 fois moins un demi de 𝑚𝑣 au carré est égal à 𝐹𝑥. Et à ce stade, nous pouvons voir pourquoi il est utile d’avoir écrit le côté gauche comme 25 fois moins un demi de 𝑚𝑣 au carré. Parce que moins un demi de 𝑚𝑣 carré est égal à 𝐹𝑠, nous pouvons donc insérer cela ici. Nous avons donc 25 fois 𝐹𝑠 est égal à 𝐹𝑥. Divisons maintenant les deux côtés de l’équation par 𝐹 afin que tous les 𝐹 s’annulent. Et ce qui nous reste est 25𝑠 est égal à 𝑥.
Et rappelez-vous que dans cette équation, nous essayons de savoir quelle est la valeur de 𝑥. Et maintenant, nous l’avons en fonction de 𝑠, la distance parcourue dans le premier scénario. Nous pouvons donc calculer 𝑥. La distance 𝑥 est égal à 25 fois 𝑠 ce qui se trouve être 12 mètres et donc 𝑥 correspond à 300 mètres.
Et donc nous découvrons que notre réponse finale est que l’objet se déplace de 300 mètres entre le moment où la force est appliquée et le moment où l’objet s’arrête.
