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Déterminez les valeurs des scalaires 𝑟 et 𝑠 si le vecteur zéro, trois est égal à 𝑟 fois le vecteur deux, un plus 𝑠 fois le vecteur moins trois, moins un.
Dans cette question, on nous donne une équation vectorielle impliquant deux scalaires 𝑟 et 𝑠. Nous devons l’utiliser pour déterminer les valeurs de ces scalaires. Pour répondre à cette question, nous devons nous rappeler que pour multiplier un vecteur par un scalaire, nous devons multiplier toutes les composantes du vecteur par le scalaire. Par exemple, pour multiplier le vecteur deux, un par le scalaire 𝑟, nous devons multiplier chaque composante par 𝑟. On obtient le vecteur deux 𝑟, un 𝑟.
Nous pouvons suivre la même démarche avec le second vecteur sur le membre droit de cette équation. Nous multiplions chaque composante du vecteur par 𝑠. Nous obtenons le vecteur moins trois fois 𝑠, moins un fois 𝑠. Et nous savons qu’il est égal au vecteur zéro, trois. Nous pouvons maintenant simplifier le membre droit de cette équation. Dans le premier vecteur, nous avons un 𝑟, qui est égal à 𝑟. Et dans le second vecteur, nous avons moins un 𝑠, c’est-à-dire moins 𝑠. On obtient donc le vecteur zéro, trois est égal au vecteur deux 𝑟, 𝑟 plus le vecteur moins trois 𝑠, moins 𝑠.
Pour résoudre cette équation, on va additionner les deux vecteurs sur le membre droit de l’équation. Et nous pouvons le faire en rappelant que pour additionner deux vecteurs de même dimension ensemble, il suffit d’additionner les composantes correspondantes. L’addition de la première composante de chaque vecteur sur le membre droit de notre équation nous donne deux 𝑟 plus moins trois 𝑠, ce qui donne deux 𝑟 moins trois 𝑠. Et en additionnant la seconde composante de chaque vecteur sur le membre droit de l’équation, on obtient 𝑟 plus moins 𝑠, c’est-à-dire moins 𝑠. Par conséquent, on a le vecteur zéro, trois qui est égal au vecteur deux 𝑟 moins trois 𝑠, 𝑟 moins 𝑠.
Nous avons donc maintenant une équation impliquant deux vecteurs égaux. Et nous savons que pour que deux vecteurs soient égaux, ils doivent avoir la même dimension et toutes les composantes correspondantes doivent être égales. Par conséquent, les premières composantes de ces deux vecteurs doivent être égales. Donc, zéro doit être égal à deux 𝑟 moins trois 𝑠. Et les secondes composantes de ces vecteurs doivent également être égales. Trois doit être égal à 𝑟 moins 𝑠.
Nous avons deux équations et deux inconnues. Nous devons donc résoudre un système d’équations. Et nous pouvons résoudre ce système de différentes manières. Nous allons utiliser l’élimination. Et nous allons le faire en multipliant la deuxième équation par deux. Nous avons trois fois deux est égal à six et deux fois 𝑟 moins 𝑠 est deux 𝑟 moins deux 𝑠. Donc, notre deuxième équation devient maintenant six est égal à deux 𝑟 moins deux 𝑠.
Nous pouvons maintenant éliminer la variable 𝑟 en appliquant la différence entre les deux équations. Appliquer la différence dans le membre gauche des équations nous donne zéro moins six, c’est-à-dire moins six. Et en appliquant la différence des termes contenant 𝑟 sur le membre droit de ces équations, on obtient deux 𝑟 moins deux 𝑟, c’est-à-dire zéro. De même, en appliquant la différence dans les termes contentant 𝑠 sur le membre droit de ces équations, nous obtenons moins trois 𝑠 moins moins deux 𝑠. C’est moins trois 𝑠 plus deux 𝑠, c’est-à-dire moins 𝑠.
Par conséquent, nous avons trouvé que moins six est égal à zéro moins 𝑠. Nous pouvons résoudre l’équation pour trouver 𝑠. Nous multiplions l’équation par moins un et supprimons le terme nul. On obtient 𝑠 est égal à six. On doit maintenant déterminer la valeur de 𝑟. Et on peut la trouver en utilisant l’une des deux équations. Utilisons le fait que trois est égal à 𝑟 moins 𝑠 et 𝑠 est égal à six. Substituer 𝑠 est égal à six dans l’équation nous donne trois est égal à 𝑟 moins six. Et puis nous pouvons ajouter six aux deux membres de l’équation pour trouver la valeur de 𝑟. On obtient 𝑟 est égal à neuf. Et nous pourrions vérifier que ces valeurs sont correctes en les substituant dans l’autre équation. Nous obtenons deux fois neuf moins trois fois six est 18 moins 18, c’est-à-dire zéro. Nous avons donc trouvé les inconnues. Ou nous aurions pu les remplacer dans notre équation vectorielle. L’une ou l’autre méthode fonctionne.
De toute façon, nous avons pu montrer que si le vecteur zéro, trois est égal à 𝑟 fois le vecteur deux, un plus 𝑠 fois le vecteur moins trois, moins un, alors la valeur de 𝑟 est neuf et la valeur de 𝑠 est six.
