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Vidéo de la leçon : Multiplication de vecteurs par un scalaire et vecteurs unitaires Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à multiplier un vecteur par un scalaire et à déterminer un vecteur unitaire dans la direction et le sens d’un vecteur quelconque donné en divisant le vecteur par un scalaire.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à multiplier un vecteur par un scalaire et à déterminer un vecteur unitaire dans la direction et le sens d’un vecteur quelconque donné en divisant le vecteur par un scalaire. Nous allons effectuer ces opérations en deux et en trois dimensions.

Commençons par rappeler ce que nous entendons par multiplication par un scalaire. La multiplication d’un vecteur par un scalaire consiste à multiplier un vecteur par un nombre réel. Pour effectuer une multiplication par un scalaire, il faut multiplier chaque composante du vecteur par le scalaire. Considérons le vecteur 𝐕 de composantes 𝑎, 𝑏, 𝑐. Supposons maintenant que nous souhaitions multiplier ce vecteur par la constante, ou le scalaire, 𝑘. On effectue cette opération de la même manière que la distribution d’un facteur à un ensemble de parenthèses. Le vecteur 𝑘𝐕 a les composantes 𝑘𝑎, 𝑘𝑏 et 𝑘𝑐.

Lorsque l’on multiplie un vecteur par un scalaire, le résultat est également un vecteur. Et nous savons que tout vecteur a une norme, une direction et un sens. Multiplier un vecteur par un nombre positif différent de un modifie sa norme mais ne change ni sa direction ni son sens. Multiplier un vecteur par moins un inverse son sens mais ne change pas sa norme. Et multiplier un vecteur par un autre nombre négatif inverse le sens et modifie la norme du vecteur.

Nous allons maintenant étudier quelques exemples où nous devons multiplier un vecteur par un scalaire.

Sachant que le vecteur 𝐀 est égal à moins un, moins huit, calculez trois 𝐀.

La multiplication d’un vecteur par un nombre réel quelconque, comme trois dans ce cas, est appelée la multiplication par un scalaire. Afin d’effectuer une multiplication par un scalaire, on multiplie chaque composante du vecteur par le scalaire. Dans cette question, nous devons multiplier le vecteur moins un, moins huit par trois. Multiplier un nombre positif par un nombre négatif donne un résultat négatif. Par conséquent, trois fois moins un égale moins trois. Et trois fois moins huit égale moins 24. Trois fois le vecteur 𝐀, ou le vecteur trois 𝐀, est donc égal à moins trois, moins 24.

Dans le prochain exemple, nous allons étudier ce qui se passe graphiquement lorsque l’on multiplie un vecteur par un scalaire.

Le vecteur 𝐀 est représenté sur le graphique ci-dessous. Laquelle de ces figures représente le vecteur moins deux 𝐀 ?

Le vecteur 𝐀 va de l’origine au point un, un. Cela signifie qu’il a une composante en 𝑥 de un et une composante en 𝑦 de un. Il est donc égal à un, un. Nous souhaitons multiplier le vecteur 𝐀 par moins deux. On rappelle que pour multiplier un vecteur par un scalaire, on doit multiplier chacune des composantes par le scalaire. En multipliant moins deux par un, on obtient moins deux. Par conséquent, le vecteur qui correspond à moins deux 𝐀 est moins deux, moins deux.

Observons maintenant les cinq figures et les vecteurs qu’ils représentent. Le vecteur de la figure (A) va de l’origine à moins deux, moins deux. Cela signifie qu’il correspond au vecteur moins deux, moins deux. Il est égal à moins deux 𝐀, ce qui suggère qu’il s’agit de la bonne réponse.

La figure (B) représente le vecteur un, moins deux. La figure (C) représente le vecteur un, deux. La figure (D) représente le vecteur un, 0,5. Et la figure (E) représente le vecteur 0,5, 0,5. Cela confirme que seule la figure (A) représente bien moins deux 𝐀. Cela nous amène à une propriété clé de la multiplication par des scalaires négatifs. Lorsque l’on multiplie un vecteur par un scalaire négatif autre que moins un, le vecteur change de sens et de norme. Par exemple, multiplier un vecteur par moins deux, comme ici, double la norme du vecteur et son sens est l’opposé de son sens d’origine. Cela est représenté sur le repère par la flèche verte.

Tous les exemples suivants de cette vidéo vont maintenant porter sur les vecteurs unitaires. Commençons donc par rappeler la définition d’un vecteur unitaire.

Un vecteur unitaire est un vecteur de norme un. On rappelle que la norme d’un vecteur en trois dimensions de composantes 𝑎, 𝑏, 𝑐 est égale à racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré. Les doubles barres de valeur absolue désignent la norme du vecteur. Afin de trouver le vecteur unitaire de même direction et de même sens qu’un vecteur donné, on divise ce vecteur par sa norme. Le vecteur unitaire de même sens que 𝐕 est noté 𝐕 chapeau. Il est égal à un sur la norme de 𝐕 fois le vecteur 𝐕.

Considérons le vecteur 𝐕 de composantes quatre, trois. La norme de 𝐕 est égale à racine carrée de quatre au carré plus trois au carré. Quatre au carré égale 16 et trois au carré égale neuf. Cela signifie que la norme de 𝐕 est égale à racine carrée de 25. On laisse généralement la norme sous forme exacte. Mais comme racine carrée de 25 est un entier, on peut simplifier et dire que la norme de 𝐕 est égale à cinq.

Le vecteur unitaire 𝐕 est donc égal à un sur cinq fois le vecteur quatre, trois. On rappelle que pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie chaque composante du vecteur par le scalaire. Par conséquent, le vecteur unitaire 𝐕 chapeau est égal à quatre sur cinq, trois sur cinq.

Nous allons maintenant voir quelques exemples où nous devrons calculer des vecteurs unitaires.

Soit le vecteur 𝐀 égal à cinq 𝐢 moins deux 𝐣 moins quatre 𝐤. Le vecteur unitaire dans le sens de 𝐀 est-il le même que le vecteur unitaire dans le sens de trois 𝐀 ?

Nous savons que le vecteur 𝐀 peut être exprimé sous la forme cinq, moins deux, moins quatre. Et nous devons également considérer le vecteur trois 𝐀. Cela implique de multiplier 𝐀 par le scalaire, ou la constante, trois. Nous devons donc multiplier chaque composante par le scalaire trois. Trois fois cinq égale 15. Trois fois moins deux égale moins six. Et trois fois moins quatre égale moins 12. Cela signifie que trois 𝐀 est égal à 15, moins six, moins 12.

Le vecteur unitaire 𝐕 chapeau est égal à un sur la norme du vecteur 𝐕 fois le vecteur 𝐕. Cela revient à diviser le vecteur par sa norme. On rappelle alors que la norme de tout vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. La norme de 𝐀 est donc égale à racine carrée de cinq au carré plus moins deux au carré plus moins quatre au carré. Soit racine carrée de 25 plus quatre plus 16. Cela se simplifie par racine carrée de 45, qui est égal à trois racine carrée de cinq.

La norme de 𝐀 est donc égale trois racine carrée de cinq. Le vecteur unitaire dans le sens du vecteur 𝐀 est donc égal à un sur trois racine carrée de cinq fois cinq, moins deux, moins quatre. On peut le réécrire comme le vecteur cinq sur trois racine carrée de cinq, moins deux sur trois racine carrée de cinq et moins quatre sur trois racine carrée de cinq.

Considérons maintenant le vecteur unitaire dans le sens de trois 𝐀. La norme du vecteur trois 𝐀 est égale à racine carrée de 15 au carré plus moins six au carré plus moins 12 au carré. Cela est égal à racine carrée de 405, qui se simplifie ensuite par neuf racine carrée de cinq. La norme du vecteur trois 𝐀 est donc égale à neuf racine carrée de cinq.

Nous pouvons remarquer qu’elle est égale à trois fois la norme de 𝐀. Cela nous amène à une règle générale. La norme de 𝑘𝐕 est égale à 𝑘 fois la norme de 𝐕. Cela signifie que trois fois la norme du vecteur 𝐀 est égal à trois fois trois racine carrée de cinq. Le vecteur unitaire dans le sens de trois 𝐀 est donc égal à un sur neuf racine carrée de cinq fois le vecteur 15, moins six, moins 12.

En factorisant les composantes du vecteur par trois, on obtient trois sur neuf racine carrée de cinq fois le vecteur cinq, moins deux, moins quatre. Ce qui est égal à un sur trois racine carrée de cinq fois le vecteur cinq, moins deux, moins quatre. Nous pouvons donc conclure que la réponse est oui, le vecteur unitaire dans le sens de 𝐀 est le même que le vecteur unitaire dans le sens de trois 𝐀.

Et cela sera vrai pour tout vecteur multiplié par un scalaire positif. Tant que la valeur de 𝑘 est positive, le vecteur unitaire dans le sens de 𝐀 est le même que le vecteur unitaire dans le sens de 𝑘𝐀.

Dans le prochain exemple, nous allons calculer le vecteur unitaire de même sens et même direction qu’un vecteur du plan.

Calculez le vecteur unitaire de même sens et même direction que le vecteur moins trois 𝐢 plus cinq 𝐣.

Nous savons que le vecteur unitaire 𝐕 chapeau est égal à un sur la norme du vecteur 𝐕 fois le vecteur 𝐕, où la norme d’un vecteur en deux dimensions de composantes 𝑎 et 𝑏 est égale à racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Dans cette question, nous avons un vecteur dont les composantes en i et 𝐣 sont respectivement moins trois et cinq. La norme de ce vecteur est égale à racine carrée de moins trois au carré plus cinq au carré. Moins trois au carré égale neuf et cinq au carré égale 25. Cela signifie que la norme de 𝐕 est égale à racine carrée de 34. Le vecteur unitaire 𝐕 chapeau est donc égal à un sur racine carrée de 34 fois moins trois, cinq.

Pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie chaque composante du vecteur par le scalaire. Cela nous donne moins trois sur racine carrée de 34, cinq sur racine carrée de 34. On peut rendre les dénominateurs entiers en multipliant les numérateurs et les dénominateurs par racine carrée de 34. Cela signifie que un sur racine carrée de 34 est égal à racine carrée de 34 sur 34. Cela est en réalité vrai pour toute fraction de cette forme. Un sur racine carrée de 𝑎 est égal à racine carrée de 𝑎 sur 𝑎.

Nous pouvons donc reformuler nos deux composantes par moins trois racine carrée de 34 sur 34 et cinq racine carrée de 34 sur 34. En réécrivant ce vecteur en fonction de 𝐢 et 𝐣, le vecteur unitaire de même sens et même direction que le vecteur moins trois 𝐢 plus cinq 𝐣 est égal à moins trois racine carrée de 34 sur 34 𝐢 plus cinq racine carrée de 34 sur 34 𝐣.

Dans le dernier exemple, nous allons combiner multiplication par un scalaire et vecteurs unitaires.

Sachant que le vecteur 𝐀 est égal à deux, zéro, moins deux et que le vecteur 𝐁 est égal à un, moins un, un, calculez le vecteur unitaire de même direction et même sens que deux 𝐁 moins 𝐀.

Notre première étape consiste ici à calculer le vecteur deux 𝐁 moins 𝐀. On multiplie pour cela le vecteur 𝐁 par le scalaire deux puis on soustrait le vecteur 𝐀. Pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie chacune de ses composantes par le scalaire. Par conséquent, deux 𝐁 est égal à deux, moins deux, deux.

Nous devons ensuite soustraire le vecteur deux, zéro, moins deux. Et on soustrait les composantes correspondantes pour cela. Deux moins deux égale zéro. Moins deux moins zéro égale moins deux. Et deux moins moins deux égale quatre, car soustraire moins deux revient à ajouter deux.

Nous devons à présent trouver le vecteur unitaire dans le sens de ce vecteur. On rappelle que le vecteur unitaire 𝐕 chapeau est égal à un sur la norme de 𝐕 fois le vecteur 𝐕. La norme de deux 𝐁 moins 𝐀 est égale à racine carrée de zéro au carré plus moins deux au carré plus quatre au carré. Ce qui fait racine carrée de 20 et se simplifie par deux racine carrée de cinq. Le vecteur unitaire est donc égal à un sur deux racine carrée de cinq fois zéro, moins deux, quatre. On multiplie ensuite chaque composante par un sur deux racine carrée de cinq. En multipliant zéro par cette valeur, on obtient zéro. Moins deux fois un sur deux racine carrée de cinq égale moins un sur racine carrée de cinq.

On peut ensuite rendre le dénominateur entier en multipliant le numérateur et le dénominateur par racine carrée de cinq et on obtient moins racine carrée de cinq sur cinq. Enfin, multiplier quatre par un sur deux racine carrée de cinq nous donne deux racine carrée de cinq sur cinq. Le vecteur unitaire dans le sens de deux 𝐁 moins 𝐀 est donc le vecteur zéro, moins racine carrée de cinq sur cinq, deux racine carrée de cinq sur cinq.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie chaque composante du vecteur par le scalaire. Cela signifie que 𝑘 fois le vecteur 𝑎, 𝑏 est égal au vecteur 𝑘𝑎, 𝑘𝑏. Cela fonctionne en deux dimension et en trois dimensions. La norme de tout vecteur est indiquée par des doubles barres de valeur absolue. La norme d’un vecteur 𝑎, 𝑏 en deux dimensions est égale à racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Nous avons également appris que le vecteur unitaire dans le sens d’un vecteur donné a une norme de un et a le même sens que ce vecteur. Le vecteur unitaire, noté 𝐕 chapeau, est égal à un sur la norme de 𝐕 fois le vecteur 𝐕. Une autre façon de le dire est que le vecteur unitaire est égal au vecteur 𝐕 divisé par sa norme.

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