Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à multiplier un vecteur par un scalaire, et à déterminer un vecteur unitaire dans la direction et le sens d'un vecteur quelconque donné en divisant le vecteur par un scalaire.
Un vecteur est une quantité définie à la fois par une norme, une direction et un sens. La combinaison de ces caractéristiques fait du vecteur un outil polyvalent qui a de nombreuses applications. Quelques exemples de cette fiche incluent la description de la position d’un point dans l’espace par rapport à un autre point et l’expression du vecteur vitesse d’un corps en mouvement.
Les vecteurs sont souvent exprimés en les reliant à un ensemble de coordonnées et, donc, ils ont plusieurs composantes. Un vecteur 3-dimensionel est souvent exprimé en fonction des coordonnées cartésiennes , et : ou en utilisant des vecteurs unitaires :
En revanche, un scalaire (en général, un nombre réel) est une quantité qui a une norme mais pas de direction. Un scalaire est représenté par un seul nombre, sans information supplémentaire nécessaire.
Multiplier deux scalaires est simple, mais dans cette fiche explicative, nous allons découvrir la multiplication d'un vecteur par un scalaire. Comme son nom l’indique, il s’agit de multiplier un vecteur par un nombre réel.
On considère une particule se déplaçant avec un vecteur vitesse . Si la particule continue à se déplacer dans le même sens mais que la norme de son vecteur vitesse double, comment peut-on exprimer cela ? La réponse simple est . Comme nous avons multiplié le scalaire par un vecteur, alors nous avons affaire à un exemple de multiplication d'un vecteur par un nombre réel.
Voyons comment cette opération est liée aux composantes des vecteurs.
Définition : Multiplication de vecteurs par un scalaire
La multiplication d’un vecteur par un scalaire consiste à multiplier ses composantes par ce scalaire.
On considère le vecteur et le scalaire :
Lors d’une multiplication d'un vecteur par un scalaire, le scalaire est multiplié avec chaque composante du vecteur :
Le résultat de la multiplication d'un vecteur par un scalaire est également un vecteur, où la norme du vecteur d’origine est multipliée par la valeur du scalaire.
Nous allons aborder un exemple simple avant de nous lancer dans quelques interprétations plus intuitives de la multiplication de vecteurs par un scalaire.
Exemple 1: Multiplier un vecteur 2-dimensionel par un scalaire
Sachant que , déterminez .
Réponse
Dans cette question, on nous a donné un vecteur 2-dimensionel et on nous a demandé d’effectuer une multiplication par le scalaire 3.
Pour ce faire, nous pouvons simplement multiplier les deux composantes en et du vecteur par le nombre réel donné :
Avec une simplification, nous trouvons que notre résultat est un vecteur avec une composante en de et une composante en de .
Notez que le vecteur a le même sens que , mais sa norme est maintenant plus grande, ayant augmenté d’un facteur 3.
La question ci-dessus nous donne un exemple numérique de la multiplication d’un vecteur par un nombre positif. Comme les vecteurs sont souvent représentés par des flèches, regardons quelques exemples visuels.
Comme indiqué, multiplier un vecteur par un nombre réel positif ne change pas la direction et le sens du vecteur résultant, mais peut changer sa norme.
Considérons la représentation visuelle d’un vecteur , sous diverses formes de multiplication d'un vecteur par un scalaire.
On considère la partie (A) de la figure ci-dessus. La multiplication du vecteur par 1 nous donnerait le même résultat que le vecteur d’origine, et sa norme serait inchangée ; cependant sa multiplication par 3 augmenterait la norme d’un facteur 3.
La partie (B) de la figure montre qu’il est important de comprendre que la multiplication d’un vecteur par un nombre négatif ne change pas sa direction, mais seulement le sens. Considérons le cas le plus simple, où le vecteur est multiplié par . La norme et la direction du vecteur resteront inchangées, mais son sens sera inversé car toutes les composantes changeront de signe :
La multiplication par un nombre négatif autre que inversera le sens et changera la norme du vecteur, mais ne changera pas la direction.
Enfin, pour la partie (C) de la figure, on note que la multiplication d'un vecteur par un scalaire ne se limite ni aux entiers ni aux nombres strictement supérieurs à 1. Si la norme du scalaire est strictement inférieure à 1, la multiplication d'un vecteur par un scalaire produira un vecteur de norme plus petite (ou de longueur plus courte) que celle du vecteur d’origine.
Exemple 2: Multiplier un vecteur 2-dimensionel par un scalaire graphiquement
Le vecteur est représenté dans le graphique suivant.
Lequel des graphiques suivants représente ?
Réponse
Considérons d’abord une solution moins méthodologique à ce problème.
On nous donne un vecteur et on nous demande d’effectuer la multiplication du vecteur par le nombre réel . Comme nous avons affaire à un nombre réel négatif, nous savons que cette opération inversera le sens de notre vecteur d’origine.
Le point initial du vecteur est à l’origine du repère, et son extrémité est située dans le premier quadrant du repère. Si le vecteur résultant devait aussi avoir un point initial situé à l’origine (comme on le voit dans tous les choix), nous savons que son extrémité doit se situer dans le troisième quadrant du repère, car le sens est inversé.
Le seul graphique qui correspond à cette description est le choix (a), et il semble être la bonne réponse.
On peut aussi examiner la norme de notre scalaire. Comme , le vecteur résultant de notre multiplication par un scalaire aura le double de la norme du vecteur d’origine. En examinant visuellement le choix (a), il semble représenter le cas en question !
Pour vérifier davantage notre solution, nous pouvons adopter une approche plus méthodologique en définissant d’abord le vecteur . D’après notre graphique, le point initial de est à l’origine, qui a pour coordonnées , et l’extrémité se situe à . On en déduit que
Maintenant, après avoir défini le vecteur , on peut effectuer la multiplication du vecteur par un scalaire comme suit :
Comme indiqué, toutes les réponses que nous avons impliquent un vecteur dont le point initial se situe à l’origine. Si le point initial du vecteur est à l’origine du repère, son extrémité sera au point de coordonnées .
Le graphique qui correspond à cette description est le choix (a), et donc, nous confirmons alors que c’est la bonne réponse.
Un autre concept important qui peut être lié à la multiplication d'un vecteur par un scalaire est celui du vecteur unitaire. Nous connaissons bien les vecteurs unitaires , et . Ce sont des vecteurs de norme 1 dans la direction des axes des , et respectivement.
En réalité, tout vecteur, dont la norme est égale à 1, peut être considéré comme un vecteur unitaire ! On peut donc définir un vecteur unitaire dans toute direction ou pour tout ensemble de coordonnées. Généralisons ce concept de manière méthodologique.
Définition : Vecteurs unitaires
Un vecteur unitaire est un vecteur de norme égale à 1.
On peut trouver le vecteur unitaire, noté , dans la direction de en divisant un vecteur par sa norme :
Rappelons que la norme du vecteur est donnée par
Étant donnée la définition ci-dessus d’un vecteur unitaire, il convient de noter que la formule mathématique correspondante est
Notez que la norme n’a aucun sens définissant sa direction, et il s’agit donc d’un scalaire. Cela signifie que est aussi un scalaire.
En regardant de nouveau notre formule, nous pouvons maintenant constater qu’elle implique la multiplication d’un nombre réel par un vecteur . Le processus de recherche d’un vecteur unitaire dans une direction donnée peut donc être considéré comme un « cas particulier » de multiplication de vecteurs par un scalaire !
Au lieu de multiplier un vecteur par un nombre réel donné, nous déterminons le nombre réel qui donnera comme résultat la norme recherchée. Dans le cas de , notre calcul pourrait être ainsi :
Comme la multiplication d’un vecteur par un nombre positif ne change pas la direction et le sens d’un vecteur, le résultat sera un nouveau vecteur qui aura la même direction et le même sens que mais qui a une norme égale à 1. Voici la définition de .
En guise de remarque à ce propos, nous signalons que certes il est courant d’utiliser un accent circonflexe (ou « chapeau ») tel quepour désigner un vecteur unitaire, mais vous verrez généralement , et sans cette notation. Étant donné que ces trois vecteurs unitaires sont si couramment utilisés, ils sont souvent représentés simplement par , et .
Regardons un exemple qui porte sur la recherche d’un vecteur unitaire.
Exemple 3: Déterminer un vecteur unitaire en fonction du vecteur d’origine
Déterminez le vecteur unitaire dans le même sens que le vecteur .
Réponse
On nous donne ici le vecteur et on nous demande de trouver le vecteur unitaire allant dans le même sens. Ce sera un vecteur de norme égale à 1. Notez que notre vecteur nous a été donné en fonction des vecteurs unitaires , et , mais cela n’a aucun effet sur la méthode que nous utiliserons.
Notre première étape consiste à déterminer la norme de . Bien que les composantes individuelles de ce vecteur la direction des axes des , et soient toutes égales à 1, cela ne signifie pas que le vecteur lui-même a une norme égale à 1 :
Maintenant, rappelons que pour trouver le vecteur unitaire d’un vecteur , on le divise par sa norme :
Afin de déterminer le vecteur unitaire recherché, nous pouvons donc effectuer le calcul suivant :
Dans les étapes ci-dessus, nous avons effectué la technique utilisée couramment et qui consiste à transformer le dénominateur en nombre rationnel pour arriver à une réponse. Ce type de réponse est parfaitement valide car il exprime le vecteur unitaire comme un multiple du vecteur d’origine.
Une expression équivalente peut être obtenue en multipliant les composantes individuelles du vecteur par le scalaire :
Dans notre dernier exemple, nous allons combiner nos compétences en multiplication de vecteurs par un scalaire avec d’autres opérations sur les vecteurs afin de résoudre un problème portant sur les vecteurs unitaires.
Exemple 4: Combiner la multiplication de vecteurs par un scalaire, les opérations sur les vecteurs et les calculs de vecteurs unitaires
Étant donné que et , déterminez le vecteur unitaire dans la direction de .
Réponse
Cette question nous demande de déterminer un vecteur unitaire dans la direction de , et pour ce faire, nous aurons besoin de trouver la norme du vecteur .
Afin d’avoir cette norme, déterminons d’abord les composantes de . Cela nécessitera une combinaison de la multiplication de vecteurs par un scalaire avec la soustraction de vecteurs :
On peut former une équation en utilisant les vecteurs et donnés dans la question. Notez que le premier terme du membre de droite est une multiplication d'un vecteur par un scalaire. Le nombre réel 2 est multiplié avec chaque composantes de . Ensuite, nous pourrons effectuer la soustraction de vecteurs :
Maintenant que nous avons les composantes de , nous pouvons déterminer sa norme :
Notez que, pour notre dernière étape, nous avons simplifié notre norme en prenant un facteur de 2 en dehors du radical.
Maintenant, après avoir trouvé les composantes de ainsi que sa norme, nous pouvons déterminer le vecteur unitaire dans la direction de en appliquant la règle suivante :
Afin de déterminer le vecteur unitaire recherché, nous divisons par sa norme. Une autre manière d’exprimer cela est de multiplier la réciproque de la norme par le vecteur d’origine :
Après quelques étapes de simplification, nous arrivons à notre réponse.
Enfin, il est possible d’effectuer une vérification rapide en confirmant que notre réponse est un vecteur de norme 1 :
Bien entendu, cette étape n’est pas nécessaire dans ce cas, mais elle peut parfois être utile pour les calculs plus longs.
Récapitulons quelques points clés relatifs à la multiplication de vecteurs par un scalaire et aux vecteurs unitaires.
Points clés
- La multiplication d’un vecteur par un scalaire consiste à multiplier ses composantes par ce scalaire.
- Lors d’une multiplication d'un vecteur par un scalaire, le scalaire peut être distribué sur les composantes du vecteur :
- Le résultat de la multiplication d'un vecteur par un nombre réel est également un vecteur, où la norme du vecteur d’origine est multipliée par la valeur que représente le nombre réel.
- Lorsque le scalaire est un nombre positif, le vecteur résultant est dans la même direction que l'original. Lorsque le scalaire est négatif, le vecteur résultant est dans la même direction, mais dans le sens opposé à celui du vecteur d’origine.
- Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1.
- On peut déterminer le vecteur unitaire, noté , dans la direction de en divisant le vecteur d’origine par sa norme :
