Transcription de la vidéo
Étant donnée 𝑦 égale trois racine de 𝑥 moins deux 𝑥 divisé par racine de 𝑥, déterminez la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥.
On nous dit que 𝑦 est une fonction de 𝑥. En fait, 𝑦 est le quotient de deux fonctions. Et nous devons déterminer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Et puisque 𝑦 est le quotient de deux fonctions, nous pourrions être tentés d’utiliser la règle du quotient, et cela fonctionnerait. Cependant, nous pouvons remarquer une méthode plus simple. Nous pouvons diviser les deux termes de notre numérateur par la racine carrée de 𝑥 en utilisant les lois des exposants. Donc, nous allons commencer par réécrire 𝑦 comme trois racine de 𝑥 divisé par racine de 𝑥 moins deux 𝑥 divisé par racine de 𝑥.
Et maintenant, nous voulons simplifier cette expression. Dans notre premier terme, racine de 𝑥 divisée par racine de 𝑥 est égal à un. Pour simplifier le deuxième terme, nous devons rappeler deux des lois des exposants. On a 𝑥 à la puissance 𝑎 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏. Et nous devons également nous rappeler que nous pouvons réécrire la racine carrée de 𝑥 comme 𝑥 à la puissance un demi. Ainsi, en utilisant ces deux règles et en nous souvenant que 𝑥 est égal à 𝑥 à la puissance un, nous pouvons diviser 𝑥 par racine de 𝑥. Nous obtenons 𝑥 à la puissance un demi, ce qui est égal à racine de 𝑥.
Donc, nous avons réécrit 𝑦 comme trois moins deux racine de 𝑥, et nous pouvons dériver ceci terme à terme en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Et c’est beaucoup plus simple que d’utiliser la règle du quotient. Nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 égale la dérivée de trois moins deux racine de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et il pourrait être plus facile d’écrire la racine carrée de 𝑥 comme 𝑥 à la puissance un demi. Nous voulons maintenant dériver ceci terme à terme en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous multiplions par l’exposant de 𝑥 et réduisons cet exposant de un.
Dans notre premier terme, la dérivée de la constante trois est égale à zéro. Ensuite, pour dériver notre deuxième terme, nous utilisons la règle des puissances pour la dérivation. Nous multiplions par l’exposant un demi et réduisons cet exposant de un. Cela nous donne un demi fois moins deux multiplié par 𝑥 à la puissance un demi moins un. Et nous pouvons simplifier cela pour obtenir moins 𝑥 élevé à la puissance moins un demi. Et nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Cependant, nous utiliserons les lois des exposants pour réécrire 𝑥 à la puissance moins un demi comme un divisé par la racine carrée de 𝑥, ce qui nous donne notre réponse finale.
Nous avons pu montrer si 𝑦 est égal à trois racine de 𝑥 moins deux 𝑥 le tout divisé par la racine carrée de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins un divisé par la racine carrée de 𝑥.
