Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la dérivée d'une fonction en utilisant la règle du quotient.
Maintenant que nous savons dériver des fonctions simples, nous pouvons commencer à nous demander comment dériver des fonctions plus complexes. Les fonctions complexes sont généralement créées à partir de combinaisons de fonctions plus simples. Il existe plusieurs façons de combiner deux fonctions d’expressions et :
- Addition ou soustraction : ;
- Multiplication ou division : ou ;
- Composition : .
Pour pouvoir dériver des fonctions plus complexes, il serait très utile de disposer de formules permettant de dériver des fonctions obtenues à l’aide des combinaisons ci-dessus. À ce stade du cours d’analyse, nous savons déjà que la dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées :
En outre, nous savons que la dérivation est en fait une opération linéaire. Cela signifie qu’en plus de la formule de la dérivée d’une somme, nous connaissons la formule suivante pour la multiplication par une constante : où est une constante. Nous connaissons également la formule de la dérivée d’un produit énoncée ci-dessous.
Formule : Dérivée d’un produit
Pour deux fonctions dérivables et , la dérivée de leur produit est définie par
Cela peut être écrit succinctement en utilisant la notation « prime » :
Dans cette fiche explicative, nous allons nous intéresser à la formule permettant de dériver des quotients. Une façon d’envisager un quotient est de le considérer comme le produit de par . Nous allons présenter cette approche en premier.
Exemple 1: Déterminer la dérivée d’un quotient à l’aide de la formule de la dérivée d’un produit
Déterminez la dérivée première de la fonction d’expression par rapport à .
Réponse
Considérons comme le produit de deux expressions :
On peut alors appliquer la formule de la dérivée d’un produit, pour déterminer la dérivée. On doit d’abord trouver et en utilisant la formule de la dérivée d’une puissance : on a
En substituant les expressions de , , et dans la formule de la dérivée d’un produit, on a
En multipliant le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par , on peut le réécrire comme un quotient :
Bien sûr, il existe un moyen plus simple de dériver cette fonction. On peut commencer par simplifier l’expression de la fonction
À partir de là, on peut simplement utiliser la formule de la dérivée d’une puissance pour dériver chaque terme.
Nous pouvons maintenant généraliser la méthode d’expression d’un quotient en tant que produit pour en déduire une formule générale de la dérivée d’un quotient. On commence par considérer comme le produit de deux fonctions et . On peut alors appliquer la formule de la dérivée d’un produit :
Par conséquent, il nous suffit de savoir évaluer et nous aurons une formule générale pour les dérivées de quotients. Considérons l’effet d’une petite variation de sur la valeur de . Si varie d’une petite quantité notée , il y aura une variation correspondante de que l’on note . Par conséquent, la variation de peut être exprimée par
En exprimant cela sous la forme d’un quotient, on obtient
Diviser les deux membres par donne
En prenant la limite quand , on obtient la dérivée de :
En utilisant les propriétés des limites finies sur les fonctions continues, on peut le réécrire comme
Comme et , on a
On peut maintenant le remplacer dans la formule de la dérivée d’un produit dans l’équation (1), ce qui donne
Géométriquement, on peut considérer que représente l’aire d’un rectangle dont les côtés sont de longueurs et comme indiqué sur la figure.
En faisant varier d’une petite quantité , l’aire du rectangle varie également. En supposant que et sont toutes les deux croissantes, la variation de augmentera l’aire du rectangle de , alors que la variation de diminuera l’aire du rectangle de . On doit également soustraire à l’augmentation due à afin de trouver l’aire du nouveau rectangle.
La formule de la dérivée d’un quotient (équation (2)) est souvent exprimée sous la forme d’un quotient :
Malheureusement, cette forme peut masquer son interprétation géométrique. Elle reste cependant la forme la plus utilisée dans la pratique. Voici un énoncé général de la formule de la dérivée d’un quotient.
Formule : Dérivée d’un quotient
Pour deux fonctions dérivables et , la dérivée de leur quotient est définie par
Elle peut être écrite plus succinctement en utilisant la notation « prime » :
Il existe un autre moyen de démontrer la formule de la dérivée d’un quotient sans faire appel à la formule de la dérivée d’un produit. On peut considérer que les variations de et sont et , suite à une légère variation de . La variation correspondante de est ensuite donnée par
En exprimant cela sous la forme d’une fraction unique, on a
En divisant par , on a
En prenant la limite quand , on obtient la dérivée de :
En utilisant les propriétés des limites finies pour les fonctions continues, on a
Comme , et , on a
Nous allons maintenant étudier plusieurs exemples où nous allons appliquer la formule de la dérivée d’un quotient pour trouver des dérivées.
Exemple 2: Utiliser la formule de la dérivée d’un quotient pour déterminer une dérivée
Déterminez la dérivée première de la fonction d’expression .
Réponse
Pour déterminer la dérivée de , nous allons appliquer la formule de la dérivée d’un quotient :
On définit et . Avant de pouvoir appliquer la formule de la dérivée d’un quotient, nous devons calculer les dérivées de et . En utilisant la formule de la dérivée d’une puissance, on a
En substituant ces expressions dans la formule de la dérivée d’un quotient, on a
En développant les parenthèses au numérateur, on obtient alors
Étudions un autre exemple d’application de la formule de la dérivée d’un quotient.
Exemple 3: Dériver une fonction quotient
Dérivez la fonction d’expression .
Réponse
Nous allons appliquer la formule de la dérivée d’un quotient, pour trouver la dérivée de . On commence par définir et . On doit maintenant trouver les dérivées de et . On peut le faire en utilisant la formule de la dérivée d’une puissance :
En substituant ces expressions dans la formule de la dérivée d’un quotient, on a
On développe ensuite les parenthèses au numérateur et on simplifie :
Dans l’exemple suivant, nous devons déterminer une constante inconnue dans une fonction fractionnaire à partir de la valeur de la dérivée de la fonction en un point.
Exemple 4: Utiliser la formule de la dérivée d’un quotient
On suppose que et . Déterminez .
Réponse
Comme la valeur de la dérivée de nous est fournie pour une certaine valeur de la variable, nous devons d’abord déterminer une expression de la dérivée de . On peut trouver son expression en utilisant la formule de la dérivée d’un quotient :
En définissant et , on a
En substituant ces expressions dans la formule de la dérivée d’un quotient, on obtient
Pour déterminer la valeur de , nous allons utiliser le fait que . En remplaçant dans l’expression de la dérivée, on a
Par conséquent,
Multiplier les deux membres de l’équation par et diviser par donne
On peut maintenant développer les parenthèses :
Ainsi, en soustrayant aux deux membres de l’équation, on obtient
Cette expression peut être factorisée, ce qui donne mais nous aurions également pu utiliser la formule qui permet de calculer les racines d’une équation du second degré ou une autre méthode. Quelle que soit l’approche retenue, nous obtenons les solutions et .
Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer la formule de la dérivée d’un quotient à des fonctions dont nous ne connaissons pas l’expression.
Exemple 5: Évaluer la dérivée en un point à l’aide de la formule de la dérivée d’un quotient
Soit . Sachant que , , et , calculez .
Réponse
On commence par utiliser la formule de la dérivée d’un quotient, pour trouver une expression de la dérivée de . Soient et . On détermine alors les dérivées de et :
En les substituant dans la formule de la dérivée d’un quotient, on a
En définissant , on a
Comme , , et , on obtient
Avant d’appliquer la formule de la dérivée d’un quotient, il est toujours utile de vérifier si l’expression peut d’abord être simplifiée. Cela est particulièrement important lorsque l’expression implique une somme ou une différence de quotients. Étudions un exemple où nous devons simplifier l’expression fractionnaire avant d’appliquer la formule de la dérivée d’un quotient.
Exemple 6: Dériver une différence de fonctions rationnelles à l’aide de la formule de la dérivée d’un quotient
Pour , déterminez .
Réponse
Pour dériver une fonction comme celle-ci, nous pourrions dériver chaque terme en utilisant la formule de la dérivée d’un quotient. Cependant, il est souvent plus simple d’exprimer une somme de quotients sous la forme d’un seul quotient, puis d’appliquer la formule de la dérivée d’un quotient une seule fois. C’est l’approche que nous allons montrer ici. On commence par réécrire l’expression de sous forme de quotient :
On peut maintenant développer les parenthèses du numérateur et du dénominateur et simplifier : On peut ensuite dériver en utilisant la formule de la dérivée d’un quotient, en définissant et . On commence par trouver les dérivées de et :
On substitue maintenant ces expressions dans la formule de la dérivée d’un quotient pour obtenir
Récapitulons à présent quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Pour déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions dérivables d’expressions et , on peut utiliser la formule de la dérivée d’un quotient qui stipule que Elle est souvent écrite de manière plus succincte en utilisant la notation « prime » :
- Avant d’appliquer la formule de la dérivée d’un quotient, il est utile de vérifier s’il est possible de simplifier l’expression de la fonction.
