Vidéo : La règle du quotient

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la dérivée d’une fonction en utilisant la règle du quotient.

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Transcription de vidéo

La règle du quotient

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment trouver la dérivée d’une fonction en utilisant la règle du quotient. Nous verrons divers exemples de la façon dont elle peut être utilisée.

Considérons la fonction définie par 𝑦 égale moins trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus 17 sur la racine carrée de 𝑥.

Si nous voulions trouver la dérivée de cette fonction, il y a plusieurs méthodes que nous pourrions appliquer. Nous pourrions diviser le numérateur par le dénominateur et simplement dériver la fonction résultante. Alternativement, nous pourrions écrire la fraction comme un produit et déterminer la dérivée en utilisant la règle du produit. Il existe également une méthode alternative que nous pouvons utiliser pour déterminer cette dérivée. Et celle-là ne nécessite aucune simplification ou réécriture de l’équation. Nous l’appelons la règle du quotient. La dérivation de la règle du quotient est un peu longue pour cette vidéo. Donc nous ne la couvrirons pas ici.

La règle du quotient dit qu’étant donné deux fonctions dérivables, 𝑢 de 𝑥 et 𝑣 de 𝑥, la dérivée de leur quotient est donnée par 𝑑 par d𝑥 de 𝑢 de 𝑥 sur 𝑣 de 𝑥 égale 𝑣 de 𝑥 fois 𝑑 par d𝑥 de 𝑢 de 𝑥 moins 𝑢 de 𝑥 fois 𝑑 par d𝑥 de 𝑣 de 𝑥 le tout sur 𝑣 de 𝑥 au carré. Nous pouvons l’écrire de façon beaucoup plus succincte avec la notation prime. Cela nous donne 𝑢 sur 𝑣 prime égale 𝑣𝑢 prime moins 𝑢𝑣 prime le tout sur 𝑣 au carré.

Je trouve une façon facile de me rappeler de la règle du quotient, c’est avec une rime. La rime est LO 𝑑 HI moins HI 𝑑 LO sur le carré de ce qui est en-dessous. Où HI est le numérateur de la fonction rationnelle que nous dérivons. Et LO est le dénominateur de cette fonction rationnelle. Et les 𝑑s qui sont dans la rime montrent où il faut dériver. Ainsi 𝑑 HI sera la dérivée du numérateur de notre fonction. Et 𝑑 LO est la dérivée du dénominateur de notre fonction. Il vous sera peut-être plus facile de vous en souvenir par un autre moyen. Mais n’hésitez pas à utiliser cette méthode aussi.

Nous sommes maintenant prêts à voir quelques exemples.

Trouvez la dérivée première de 𝑦 égale 8𝑥 plus cinq sur trois 𝑥 plus 22.

Ici, nous pouvons voir que notre fonction 𝑦 est une fonction rationnelle. On peut donc déterminer sa dérivée en utilisant la règle du quotient. La règle du quotient nous dit que si nous dérivons le quotient de deux fonctions, donc 𝑢 sur 𝑣, par rapport à 𝑥. Alors ça égale 𝑣 fois la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 moins 𝑢 fois la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑥 le tout sur 𝑣 au carré. Pour trouver la dérivée première de 𝑦, commençons par désigner 𝑢 et 𝑣 à partir de notre équation. 𝑢 sera égale au numérateur de la fonction, donc huit 𝑥 plus cinq. Et 𝑣 sera égale au dénominateur de la fonction, soit trois 𝑥 plus 22.

Ensuite, nous devons déterminer d par d𝑥 de 𝑢 et d par d𝑥 de 𝑣, ou d𝑢 par d𝑥 et d𝑣 par d𝑥. 𝑢 et 𝑣 sont toutes deux des fonctions polynômes. Nous pouvons donc simplement les dériver terme par terme. En écrivant 𝑢 en fonction de puissances de 𝑥, nous pouvons dire qu’elle égale huit 𝑥 à la puissance un plus cinq 𝑥 à la puissance zéro. Pour dériver, nous multiplions simplement par la puissance et diminuons la puissance par un. Pour le premier terme, nous multiplions par la puissance, donc c’est un, et nous diminuons la puissance par un, à zéro. Il nous reste un fois huit 𝑥 à la puissance zéro. Pour le deuxième terme, nous multiplions par la puissance, donc c’est zéro, et nous diminuons la puissance par un, soit moins un. Ça nous donne zéro fois cinq 𝑥 à la puissance moins un.

Au premier terme, 𝑥 à la puissance zéro est juste un. Donc ça fait huit. Au deuxième terme, on multiplie par zéro. Ce terme devient donc zéro. Par conséquent, nous trouvons que d𝑢 par d𝑥 égale huit. Nous pouvons utiliser une méthode similaire pour trouver d𝑣 par d𝑥. Et nous trouvons qu’elle égale trois. Maintenant que nous avons trouvé d𝑢 par d𝑥 et d𝑣 par d𝑥, nous sommes prêts à utiliser la règle du quotient. Nous trouvons que d𝑦 par d𝑥 égale 𝑣, qui est trois 𝑥 plus 22, fois d𝑢 par d𝑥, donc huit, moins 𝑢, donc huit 𝑥 plus cinq, fois d𝑣 par d𝑥, donc trois. Et tout cela sur 𝑣 au carré, soit trois 𝑥 plus 22 le tout au carré.

Ensuite, nous pouvons développer les parenthèses. Et puis simplifier pour trouver que notre solution est que la dérivée première de 𝑦 égale 161 sur trois 𝑥 plus 22 le tout au carré.

Nous allons maintenant voir un exemple un peu plus compliqué.

Déterminez la dérivée première de la fonction 𝑦 égale quatre 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 plus cinq le tout sur quatre 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois.

Nous pouvons voir que notre fonction est une fonction rationnelle. Ainsi, nous pouvons utiliser la règle du quotient pour trouver la dérivée. La règle du quotient nous dit que 𝑢 sur 𝑣 prime égale 𝑣𝑢 prime moins 𝑢𝑣 prime le tout sur 𝑣 au carré. Où 𝑢 est le numérateur de notre fonction et 𝑣 le dénominateur. Dans notre cas, 𝑢 égale quatre 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 plus cinq. Et 𝑣 égale quatre 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois. Maintenant, il faut trouver 𝑢 prime et 𝑣 prime. Nous le faisons en dérivant 𝑢 et 𝑣 par rapport à 𝑥.

Puisque 𝑢 et 𝑣 sont toutes deux des fonctions polynômes, on peut trouver leurs dérivées en prenant chaque terme et en le multipliant par la puissance de 𝑥. Et puis, en diminuant la puissance de 𝑥 d’une unité. Et ce faisant, nous constatons que 𝑢 prime égale huit 𝑥 plus cinq. Et 𝑣 prime égale huit 𝑥 moins deux. En les substituant dans notre formule, nous constatons que la dérivée première de 𝑦 ou 𝑦 prime est égale à 𝑣 fois 𝑢 prime moins 𝑢 fois 𝑣 prime le tout sur 𝑣 au carré. Le résultat ici semble assez intimidant. Cependant, nous pouvons toujours développer les parenthèses et les simplifier. C’est ce que nous obtenons après avoir développé les parenthèses du numérateur.

Notre dernière étape consiste à simplifier le numérateur. Nous sommes arrivés à notre solution. Qui est que la dérivée première de 𝑦 ou 𝑦 prime est égale à moins 28𝑥 au carré moins 16𝑥 plus 25 le tout sur quatre 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois le tout au carré.

Maintenant allons voir un type de question un peu différent.

Supposons que 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑏 le tout sur 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus quatre. Sachant que 𝑓 de zéro égale un et 𝑓 prime de zéro égale quatre, déterminez 𝑎 et 𝑏.

La première étape dans cette question peut être de substituer 𝑥 égale zéro dans 𝑓 de 𝑥. Puisqu’on nous donne que 𝑓 de zéro égale un. Nous obtenons que 𝑓 de zéro égale zéro au carré plus 𝑎 fois zéro plus 𝑏 sur zéro au carré moins sept fois zéro plus quatre. Maintenant, tous ces termes vont devenir zéro à l’exception de 𝑏 et quatre. Il nous reste 𝑓 de zéro égale 𝑏 sur quatre. Ensuite, nous utilisons le fait que la question nous a dit que 𝑓 de zéro égale un. Et donc, nous pouvons égale cela à un. A partir de là, nous trouvons que 𝑏 égale quatre. Ensuite, nous pouvons utiliser le fait que 𝑓 prime de zéro égale quatre. Cependant, tout d’abord, nous devons trouver 𝑓 prime de 𝑥. Pour ce faire, il faut dériver 𝑓. Puisque 𝑓 est une fonction rationnelle, on peut utiliser la règle du quotient pour trouver sa dérivée.

La règle du quotient nous dit que 𝑢 sur 𝑣 prime est égale à 𝑣 fois 𝑢 prime moins 𝑢 fois 𝑣 prime le tout sur 𝑣 prime au carré. En définissant notre fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑢 sur 𝑣, nous obtenons que 𝑢 égale 𝑥 au carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑏. Et 𝑣 égale 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus quatre. On peut trouver 𝑢 prime et 𝑣 prime en dérivant ces deux fonctions. En nous donnant que 𝑢 prime égale deux 𝑥 plus 𝑎 et 𝑣 prime égale deux 𝑥 moins sept. Maintenant, nous pouvons les substituer dans la règle du quotient. Nous obtenons que 𝑓 prime de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus quatre fois deux 𝑥 plus 𝑎 moins 𝑥 au carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑏 fois deux 𝑥 moins sept le tout sur 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus quatre le tout au carré.

Maintenant, nous pourrions simplifier 𝑓 prime de 𝑥 à ce point. Cependant, nous allons remplacer dans 𝑥 égale zéro. Ainsi, beaucoup de ces termes disparaîtraient tout simplement. Substituons avec 𝑥 égale zéro ici. Nous obtenons ceci. Cependant, beaucoup de termes deviendront zéro, ce qui nous laisse avec quatre 𝑎 et sept 𝑏 le tout sur 16. Maintenant, nous avions déjà trouvé que 𝑏 égale quatre. Et donc, nous pouvons substituer avec, ce qui nous donne quatre 𝑎 plus 28 le tout sur 16.

Puisque dans la question on nous dit que 𝑓 prime de zéro égale quatre, nous pouvons donc égaler cela à quatre. Ensuite, nous réarrangeons ceci afin de résoudre pour 𝑎. Maintenant, nous avons obtenu notre solution, 𝑎 égale neuf. Nous avons maintenant trouvé les valeurs de 𝑎 et 𝑏, ce qui complète la solution à cette question.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir un type de question un peu différent.

Soit 𝑔 de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥 sur moins quatre ℎ de 𝑥 moins cinq. Sachant que 𝑓 de moins deux égale moins un, 𝑓 prime de moins deux égale moins huit, ℎ de moins deux égale moins deux et ℎ prime de moins deux égale cinq, trouvez 𝑔 prime de moins deux.

Dans cette question, on nous demande de déterminer 𝑔 prime de moins deux. Commençons donc par dériver 𝑔 de 𝑥. 𝑔 de 𝑥 est une fonction rationnelle, nous devrons donc utiliser la règle du quotient. La règle du quotient nous dit que 𝑢 sur 𝑣 prime égale 𝑣𝑢 prime moins 𝑢𝑣 prime le tout sur 𝑣 au carré. On définit 𝑔 de 𝑥 égale 𝑢 sur 𝑣, et on peut voir que 𝑢 égale 𝑓 de 𝑥. Et 𝑣 égale moins quatre ℎ de 𝑥 moins cinq. 𝑢 prime sera égale à 𝑓 de 𝑥 prime. La prime représente une dérivation par rapport à 𝑥. Ainsi, 𝑓 de 𝑥 prime est identique à 𝑓 prime de 𝑥. Ensuite, nous devons trouver 𝑣 prime. C’est donc moins quatre ℎ de 𝑥 moins cinq prime.

Maintenant, encore une fois, puisqu’une prime représente simplement une dérivation par rapport à 𝑥, nous pouvons appliquer ici les règles générales de dérivation. Ainsi, en dérivant le terme constant moins cinq, on obtient zéro. On peut donc dire que c’est égal à moins quatre ℎ de 𝑥 prime. Maintenant, puisque notre fonction ℎ de 𝑥 est multipliée par une constante, moins quatre. Nous pouvons utiliser nos règles de dérivation et retirer moins quatre en dehors de la dérivée. Ce qui nous donne moins quatre fois ℎ de 𝑥 prime.

Et maintenant, nous pouvons appliquer la même logique que pour 𝑓 de 𝑥 prime. Et nous pouvons dire que 𝑣 prime est égale à moins quatre ℎ prime de 𝑥. Maintenant, nous pouvons substituer dans la règle du quotient afin de trouver 𝑔 prime de 𝑥. Maintenant que nous avons trouvé 𝑔 prime de 𝑥, nous pouvons remplacer dans 𝑥 égale moins deux. Maintenant, nous avons formé une équation en fonction de 𝑓 de moins deux, 𝑓 prime de moins deux, ℎ de moins deux et ℎ prime de moins deux. Dont nous connaissons toutes les valeurs d’après la question. Nous sommes donc en mesure de substituer ces valeurs ici.

Maintenant, notre dernière étape pour trouver 𝑔 prime de moins deux est de simplifier cela. En développant les parenthèses, on obtient moins 24 moins 20 le tout sur 9. Cela nous donne une solution que 𝑔 prime de moins deux est égale à moins 44 sur neuf.

Ensuite, nous allons comment nous pouvons dériver une fonction qui consiste en deux expressions rationnelles.

Si 𝑦 égale 𝑥 plus cinq sur 𝑥 moins cinq moins 𝑥 moins cinq sur 𝑥 plus cinq, déterminez d𝑦 par d𝑥.

Notre fonction 𝑦 consiste en deux expressions rationnelles, 𝑥 plus cinq sur 𝑥 moins cinq et 𝑥 moins cinq sur 𝑥 plus cinq. Et nous pourrions trouver d𝑦 par d𝑥 en utilisant la règle du quotient avec ces deux expressions rationnelles. Toutefois, pour ce faire, il faudrait utiliser deux fois la règle du quotient. Nous pouvons rendre notre travail un peu plus facile en combinant les deux expressions rationnelles en une seule. Nous obtenons 𝑦 égale 𝑥 plus cinq au carré moins 𝑥 moins cinq au carré le tout sur 𝑥 moins cinq fois 𝑥 plus cinq. Nous pouvons développer les parenthèses et ensuite simplifier pour obtenir 𝑦 égale 20𝑥 sur 𝑥 au carré moins 25.

Et maintenant, notre fonction consiste en une seule expression rationnelle. Nous sommes prêts à utiliser la règle du quotient pour dériver cette fonction. La règle du quotient nous dit que 𝑢 sur 𝑣 prime égale 𝑣𝑢 prime moins 𝑢𝑣 prime sur 𝑣 prime au carré. En écrivant 𝑦 égale 𝑢 sur 𝑣, on obtient 𝑢 égale 20𝑥 et 𝑣 égale 𝑥 au carré moins 25. Ensuite, on peut trouver 𝑢 prime et 𝑣 prime, ce qui nous donne 𝑢 prime égale 20 et 𝑣 prime égale deux 𝑥.

Maintenant, nous pouvons les substituer dans la règle du quotient afin de trouver que d𝑦 par d𝑥 égale 𝑥 au carré moins 25 fois 20 moins 20𝑥 fois deux 𝑥 le tout sur 𝑥 au carré moins 25 au carré. Nous simplifions ceci pour obtenir d𝑦 par d𝑥 égale moins 20𝑥 moins 500 le tout sur 𝑥 au carré moins 25 au carré.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment évaluer la dérivée d’une fonction rationnelle en un point donné.

Déterminez la valeur de 𝑓 prime de trois, où 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 sur 𝑥 plus deux moins 𝑥 moins trois sur 𝑥 moins deux.

Maintenant, notre fonction est la différence de deux expressions rationnelles. Nous pouvons commencer par combiner les deux expressions rationnelles en une seule. Nous obtenons 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 plus six le tout sur 𝑥 au carré moins quatre. Et nous avons écrit 𝑓 comme une fonction rationnelle. Et nous sommes prêts à utiliser la règle du quotient, qui nous dit que 𝑢 sur 𝑣 prime égale 𝑣𝑢 prime moins 𝑢𝑣 prime le tout sur 𝑣 au carré. En écrivant 𝑓 de 𝑥 égale 𝑢 sur 𝑣, on obtient 𝑢 égale moins 𝑥 plus six, et 𝑣 égale 𝑥 au carré moins quatre. Nous trouvons alors que 𝑢 prime égale moins un, et 𝑣 prime égale deux 𝑥.

En substituant avec 𝑢, 𝑣, 𝑢 prime et 𝑣 prime dans la règle du quotient. Nous trouvons que 𝑓 prime de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins quatre fois moins un moins moins 𝑥 plus six fois deux 𝑥 le tout sur 𝑥 au carré moins quatre au carré. Afin de trouver 𝑓 prime de trois, nous substituons simplement avec 𝑥 égale trois en 𝑓 prime of 𝑥. On obtient 𝑓 prime de trois égale trois au carré moins quatre fois moins un moins moins trois plus six fois deux fois trois le tout sur trois au carré moins quatre au carré. Ce qui simplifie à moins cinq moins 18 sur 25. Cela nous donne une solution que 𝑓 prime de trois égale moins 23 sur 25.

Nous avons vu une variété d’exemples sur la règle du quotient. Récapitulons quelques points clés de la vidéo. Pour trouver la dérivée du quotient de deux fonctions dérivables, 𝑢 de 𝑥 et 𝑣 de 𝑥, on peut utiliser la règle du quotient qui dit que d par d𝑥 de 𝑢 de 𝑥 sur 𝑣 de 𝑥 égale 𝑣 de 𝑥 fois d par d𝑥 de 𝑢 de 𝑥 moins 𝑢 de 𝑥 fois d par d𝑥 de 𝑣 de 𝑥 le tout sur 𝑣 de 𝑥 au carré. Ceci est souvent écrit de façon plus succincte en utilisant la notation prime, comme suit. 𝑢 sur 𝑣 prime égale 𝑣𝑢 prime moins 𝑢𝑣 prime le tout sur 𝑣 au carré. Avant d’appliquer la règle du quotient, il est utile de vérifier s’il est possible de simplifier l’expression de la fonction. Cela est particulièrement pertinent lorsque la fonction est exprimée comme la somme ou la différence de deux expressions rationnelles.

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