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Calculez la limite lorsque 𝑥 tend vers moins un de 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 moins six, le tout divisé par 𝑥 plus un, plus 𝑥 puissance sept plus un divisé par 𝑥 au cube plus un.
Dans cette question, on nous demande de calculer la limite de la somme de deux fonctions rationnelles. Rappelons qu’il est possible de calculer la limite des fonctions rationnelles en remplaçant directement par la valeur de 𝑥. En remplaçant 𝑥 par moins un dans cette fonction, nous obtenons moins un carré moins cinq fois moins un moins six, le tout divisé par moins un plus un , plus moins un puissance sept plus un le tout divisé par moins un au cube plus un. En calculant ces expressions, nous obtenons zéro sur zéro plus zéro sur zéro. Ce sont des formes indéterminées. Il n’est donc pas possible d’utiliser cette méthode pour calculer la limite. En fait, nous ne pouvons même pas utiliser le fait que la limite d’une somme est égale à la somme des limites. Parce que si nous essayons de remplacer directement dans chaque terme, nous obtenons également une forme indéterminée pour chacun.
Au lieu de cela, examinons de plus près les deux termes de cette limite. Commençons par le premier terme. Le premier terme est une fonction rationnelle. Il s’agit d’un polynôme du second degré divisé par une fonction affine. Nous savons que lorsque nous remplaçons 𝑥 par moins un au numérateur, nous obtenons zéro. Ainsi, en utilisant le théorème du reste, 𝑥 plus un doit être un facteur du numérateur. Cela nous permettrait alors de calculer la limite lorsque 𝑥 tend vers moins un du premier terme.
En fait, nous pourrions faire quelque chose de très similaire pour le deuxième terme. Cependant, il existe une méthode plus simple. Nous pouvons simplement remarquer que la limite a la forme d’une différence de puissances. Ceci nous permet d’évaluer la limite de chaque terme individuellement. Nous allons donc commencer par écrire la limite d’une somme de deux fonctions comme la somme de leurs limites. Bien sûr, ce résultat n’est vrai que si ces deux limites existent.
Nous allons commencer par calculer la limite de la première fonction. Pour cela, nous allons factoriser le numérateur. Selon le théorème du reste, nous savons que 𝑥 plus un doit être un facteur du polynôme du second degré. Nous pouvons déterminer l’autre facteur. Il s’agit de 𝑥 moins six. En utilisant cette expression, nous pouvons réécrire la limite du premier terme comme la limite lorsque 𝑥 tend vers moins un de 𝑥 plus un multiplié par 𝑥 moins six, le tout divisé par 𝑥 plus un.
Maintenant, nous cherchons la limite lorsque 𝑥 tend vers moins une de cette fonction. Rappelons que nous cherchons ce qui se passe pour cette fonction lorsque 𝑥 tend vers moins un. On ne s’intéresse passe à ce qui se passe lorsque 𝑥 est égal à moins un. Plus précisément, si 𝑥 n’est pas égal à moins un, alors 𝑥 plus un divisé par 𝑥 plus un est égal à un. Ainsi, en simplifiant le facteur commun 𝑥 plus un au numérateur et au dénominateur, cela ne changera pas la limite de cette fonction lorsque 𝑥 tend vers moins un.
Par conséquent, la limite de ce premier terme est simplement la limite lorsque 𝑥 tend vers moins un de 𝑥 moins six. Puisqu’il s’agit d’une fonction affine, nous pouvons calculer cette limite en remplaçant directement par la valeur de 𝑥. Nous remplaçons 𝑥 par moins un dans la fonction affine et nous obtenons moins un moins six, ce qui est égal à moins sept.
Cependant, ce n’est pas terminé. Nous devons encore calculer la limite du deuxième terme. Pour calculer cette limite, nous devons rappeler la propriété suivante sur la limite d’une différence de puissances. Cette propriété dit que pour toutes constantes réelles 𝑛, 𝑚 et 𝑎, où 𝑚 est différent de zéro, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑥 puissance 𝑛 moins 𝑎 puissance 𝑛 le tout divisé par 𝑥 puissance 𝑚 moins 𝑎 puissance 𝑚 est égale à 𝑛 sur 𝑚 multipliée par 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚. Cela, à condition que 𝑎 puissance 𝑛, 𝑎 puissance 𝑚 et 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚 existent tous.
Avant d’appliquer cette propriété, nous allons réécrire la fonction sous cette forme. Tout d’abord, nous réécrivons le numérateur en 𝑥 puissance sept moins moins un, le tout puissance sept. De même, nous réécrivons le dénominateur en 𝑥 au cube moins moins un au cube. Cela signifie que nous avons maintenant réécrit la limite du deuxième terme comme la limite lorsque 𝑥 tend vers moins un de 𝑥 puissance sept moins moins un puissance sept, le tout divisé par 𝑥 cube moins moins un au cube. Nous pouvons voir que nous avons bien la forme de la propriété. 𝑎 est égal à moins un, 𝑛 est égal à sept et 𝑚 est égal à trois.
Maintenant, nous pouvons calculer la limite du deuxième terme en remplaçant ces valeurs dans la formule. La limite vaut sept sur trois fois moins un puissance sept moins trois. Nous pouvons alors calculer cette expression. Sept moins trois est égal à quatre. Ainsi, nous avons simplement sept sur trois multiplié par moins un puissance quatre. Moins un puissance quatre est égal à un.
Nous avons donc montré que la limite du premier terme de la fonction est égale à moins sept et que la limite du deuxième terme de la fonction est égale à sept sur trois. Les limites de ces deux fonctions existent donc. Par conséquent, la limite de la somme de ces fonctions est égale à la somme des limites. Si nous additionnons ces deux valeurs, nous obtenons moins 14 sur trois, ce qui est le résultat final.
Nous avons donc montré que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins un de 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 moins six, le tout divisés par 𝑥 plus un plus 𝑥 puissance sept plus un sur 𝑥 cube plus un est égal à moins 14 sur trois.
