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Si A 𝑥 plus 𝑦 quatre égale 360 et factorielle de deux 𝑥 plus 𝑦 égale 5040, trouvez A 𝑦 𝑥.
La notation A 𝑦 𝑥 désigne le nombre de permutations de 𝑥 éléments uniques tirés d’une collection de 𝑦 éléments uniques. En utilisant les factorielles, nous pouvons calculer A 𝑛 𝑟, avec 𝑛 et 𝑟 des entiers positifs et 𝑛 supérieur strictement à zéro, comme factorielle de 𝑛 divisé par factorielle de 𝑛 moins 𝑟. La factorielle d’un entier positif 𝑛 est définie comme 𝑛 fois factorielle de 𝑛 moins un. En développant cela, nous voyons que la factorielle de 𝑛 est le produit de tous les entiers positifs compris entre un et 𝑛 inclus. De plus, nous définissons factorielle de zéro égale un.
En regardant notre énoncé, nous voyons que factorielle de deux 𝑥 plus 𝑦 égale 5040. Donc cette équation devrait déterminer deux 𝑥 plus 𝑦 de façon unique. Plus précisément, un fois deux fois trois fois quatre et ainsi de suite jusqu’à deux 𝑥 plus 𝑦 nous donne 5040. Au lieu de résoudre cette équation algébriquement, énumérons les premières factorielles pour obtenir une approximation de la valeur de deux 𝑥 plus 𝑦.
Factorielle de un égale un. Factorielle de deux égale deux. Factorielle de trois égale six. Factorielle de quatre égale 24. Et factorielle de cinq égale 120. En fait, ces cinq premières factorielles apparaissent si souvent que cela vaut la peine de les mémoriser. Quoi qu’il en soit, nous pouvons voir qu’à peine à cinq, nous obtenons déjà 120. Et le taux de croissance ne fait qu’augmenter que parce que nous multiplions chaque fois par un nombre de plus en plus grand. La différence entre 120 et 5040 est un facteur d’environ 50 seulement. Et rappelez-vous, factorielle de 𝑛 égale 𝑛 fois factorielle de 𝑛 moins un. Cela signifie que factorielle de six égale six fois 120 et factorielle de sept égale sept fois six fois 120 et ainsi de suite.
Mais sept fois huit égale 56. Donc au moment où nous arriverons à factorielle de huit, nous multiplierons 120 par un facteur supérieur à 50. Donc factorielle de huit est plus grand que notre nombre cible, ce qui signifie que deux 𝑥 plus 𝑦 égale soit six, soit sept. En faisant les calculs, six fois 120 égale 720 et sept fois 720 égale 5040, soit le nombre que nous recherchons. Donc puisque deux 𝑥 plus factorielle de 𝑦 égale 5040, ce qui est égal à factorielle de sept, il s’ensuit que deux 𝑥 plus 𝑦 égale sept.
Ce type de calcul par tâtonnement est très fréquent avec les factorielles. Mais il convient de mentionner que nous savions dès le début que nous n’aurions pas à aller très loin dans notre liste avant de trouver ce que nous recherchions. C’est parce que les factorielles augmentent incroyablement rapidement. Notez que nous avons commencé avec factorielle de un égale un et lorsque nous sommes arrivés à sept, notre nombre était supérieur à 5000. Juste trois nombres plus tard, nous atteignons factorielle de 10, qui est supérieur à 3,5 millions. Précisément parce que les nombres factoriels augmentent si rapidement, nous savions que nous pourrions rapidement trouver 5040 avec une recherche directe.
Bien, alors maintenant nous savons que deux 𝑥 plus 𝑦 égale sept. Mais nous devons savoir ce que sont 𝑥 et 𝑦 si nous voulons calculer A 𝑦 𝑥. Nous avons donc besoin d’une équation de plus à résoudre pour ces deux inconnues. Et nous pouvons trouver cette équation en utilisant l’autre équation qui nous est donnée, A 𝑥 plus 𝑦 quatre égale 360. Effaçons la liste des factorielles pour faire de la place à nos calculs.
La définition de A 𝑛 𝑟 nous donne 360 égale factorielle de 𝑥 plus 𝑦 sur factorielle de 𝑥 plus 𝑦 moins quatre. Maintenant nous allons réécrire le numérateur. Plus précisément, puisque factorielle de 𝑛 égale 𝑛 fois factorielle de 𝑛 moins un, alors factorielle de 𝑛 égale 𝑛 fois 𝑛 moins un fois factorielle de 𝑛 moins deux et ainsi de suite. Nous allons en fait faire ceci quatre fois afin d’avoir factorielle de 𝑥 plus 𝑦 moins quatre à la fois au numérateur et au dénominateur. Nous obtenons donc 𝑥 plus 𝑦 fois 𝑥 plus 𝑦 moins un fois 𝑥 plus 𝑦 moins deux fois 𝑥 plus 𝑦 moins trois fois factorielle de 𝑥 plus 𝑦 moins quatre le tout divisé par factorielle de 𝑥 plus 𝑦 moins quatre.
Pour vérifier que cela est correct, observez que, d’après notre définition, ce produit est factorielle de 𝑥 plus 𝑦 moins trois. Donc ce produit est factorielle de 𝑥 plus 𝑦 moins deux. Donc ce produit est factorielle de 𝑥 plus 𝑦 moins un. Et enfin, ce produit est factorielle de 𝑥 plus 𝑦, soit exactement ce qu’il est censé être. Maintenant, factorielle de 𝑥 plus 𝑦 moins quatre au numérateur divisé par factorielle de 𝑥 plus 𝑦 moins quatre au dénominateur est simplement un. Nous avons donc 360 égale 𝑥 plus 𝑦 fois 𝑥 plus 𝑦 moins un fois 𝑥 plus 𝑦 moins deux fois 𝑥 plus 𝑦 moins trois.
Tout comme notre équation précédente, cette équation serait assez difficile à résoudre algébriquement. Heureusement, il y a une astuce que nous pouvons utiliser pour nous approcher de la bonne réponse, qui repose sur le fait que 𝑥 plus 𝑦 est un entier et donc que ces quatre facteurs sont des entiers consécutifs. Voici quatre entiers consécutifs représentés sur une droite graduée. Et si nous posons 𝑘 égale 𝑥 plus 𝑦, alors ce sont exactement les quatre facteurs dont le produit est 360. L’observation est que tant que ces entiers sont tous supérieurs à un, si nous prenons la racine quatrième de leur produit, ce nombre sera sur la droite graduée quelque part entre les deux entiers du milieu.
En fait, en général, la racine 𝑛-ième du produit de 𝑛 entiers consécutifs tous supérieurs à un sera très proche de la valeur moyenne de ces entiers. Donc si nous calculons la racine quatrième de 360, nous devrions obtenir un nombre compris entre 𝑥 plus 𝑦 moins un et 𝑥 plus 𝑦 moins deux. Mais nous pouvons alors utiliser ce fait pour arriver à une valeur approximative de 𝑥 plus 𝑦, puis procéder par tâtonnement. Si nous utilisons une calculatrice, nous constatons que la quatrième racine de 360 est environ 4,4. Le nombre exact n’est pas important, mais ce qui est important est que ce nombre est compris entre quatre et cinq.
Donc puisque 4,4 est compris entre quatre et cinq, nous nous attendons à ce que 𝑥 plus 𝑦 moins deux soit égal à quatre et 𝑥 plus 𝑦 moins un soit égal à cinq, ce qui signifie que 𝑥 plus 𝑦 devrait être égal à six. Et en effet, six fois cinq fois quatre fois trois est égal à 360. Donc 𝑥 plus 𝑦 égale six. Nous avons maintenant deux équations et deux inconnues, alors faisons de la place et résolvons pour 𝑥 et 𝑦.
Si nous soustrayons 𝑥 plus 𝑦 égale six de deux 𝑥 plus 𝑦 égale sept, sur le côté gauche deux 𝑥 moins 𝑥 égale 𝑥 et 𝑦 moins 𝑦 égale zéro et sur le côté droit sept moins six égale un. Donc 𝑥 égale un. Si 𝑥 égale un et 𝑥 plus 𝑦 égale six, alors 𝑦 égale six moins un, soit cinq. Enfin, pour calculer A 𝑦 𝑥, il suffit de trouver A cinq un.
Il y a deux façons de calculer cela. Tout d’abord, nous pouvons insérer cinq pour 𝑛 et un pour 𝑟 dans notre formule pour A 𝑛 𝑟. Ou alors nous pouvons connaître l’identité suivante très utile. Pour tout entier positif 𝑛, A 𝑛 un est égal à 𝑛. Cela découle directement de la définition de A 𝑛 𝑟 et de la définition de factorielle de 𝑛 comme 𝑛 fois factorielle de 𝑛 moins un. Donc sans aucun calcul, nous savons déjà que A cinq un est égal à cinq. Et cela est la réponse que nous cherchions.
