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Exprimez sinus au cube 𝜃 en fonction des sinus des multiples de 𝜃.
Dans cette question, nous devons trouver une expression pour sinus au cube de 𝜃 en fonction de sinus de multiples de notre angle 𝜃. Nous pourrions être tentés d’essayer d’utiliser des choses comme notre formule de duplication pour le sinus pour essayer de réécrire le sinus au cube en fonction de cela. Et cela pourrait fonctionner; cependant, c’est difficile et nécessitera beaucoup d’expérimentation. En fait, il existe une méthode plus facile.
Et pour ce faire, nous devons d’abord rappeler le théorème de De Moivre. Il nous indique que pour toute valeur entière de 𝑛 et valeur réelle 𝜃, le cos de 𝜃 plus 𝑖 sin de 𝜃 le tout élevé à la puissance 𝑛 est égal au cos de 𝑛𝜃 plus 𝑖 sin de 𝑛𝜃. Et ce n’est qu’une version du théorème. Il existe plusieurs affirmations équivalentes différentes. Il existe des résultats directs très utiles de ce théorème qui nous aideront à répondre à cette question. Et cela vaut la peine d’être mémorisé.
Si nous appelons notre nombre complexe cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 égal à 𝑍, alors par le théorème de De Moivre 𝑍 à la puissance 𝑛 est le cos de 𝑛𝜃 plus 𝑖 fois le sin de 𝑛𝜃. Et nous pouvons prouver les deux résultats utiles suivants pour toute valeur entière de 𝑛. 𝑍 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑍 à la puissance 𝑛 sera égal à deux fois le cos de 𝑛𝜃 et 𝑍 à la puissance 𝑛 moins un sur 𝑍 à la puissance 𝑛 sera deux 𝑖 sin de 𝑛𝜃.
Pour prouver ces deux résultats, rappelons-nous qu’un sur 𝑍 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑍 à la puissance moins 𝑛. Et nous pouvons appliquer le théorème de De Moivre pour toute valeur entière de 𝑛. Le résultat qui nous intéresse ici est le deuxième résultat. Et la raison en est que cela va nous aider à trouver une expression pour le sin au cube de 𝜃. Commençons par poser notre valeur de 𝑛 égale à un. En posant notre valeur de 𝑛 égale à un dans notre résultat inférieur, nous obtenons deux 𝑖 sin de 𝜃 sera égal à 𝑍 moins un sur 𝑍.
Bien sûr, dans la question, nous cherchons une expression pour le sin au cube de 𝜃. Donc, nous allons devoir mettre au cube les deux membres de cette expression. Nous pouvons alors réarranger pour trouver une expression pour le sin au cube de 𝜃. Commençons par simplifier le membre gauche de cette expression. Nous allons vouloir mettre au cube chacun de nos facteurs séparément. Cela nous donne huit fois 𝑖 au cube multiplié par sin au cube de 𝜃. Et sur le membre droit de notre expression, nous pouvons voir à l’intérieur de nos parenthèses, nous avons deux nombres, et nous élevons cela à un exposant. Il s’agit d’une expression binomiale.
Donc, nous pourrions écrire cela en entier et multiplier en utilisant la méthode FOIL ou nous pourrions utiliser la formule du binôme. Rappelez-vous, cela nous dit que 𝑎 plus 𝑏 tout élevé à la puissance 𝑛 sera égal à la somme de 𝑘 égal à zéro à 𝑚 de 𝑚 parmi 𝑘 fois 𝑎 à la puissance 𝑚 multiplié par 𝑏 à la puissance 𝑚 moins 𝑘, où 𝑚 est un entier positif. Nous ferons cela en utilisant la formule du binôme. Développé, cela nous donne trois parmi zéro fois 𝑍 au cube plus trois parmi un fois 𝑍 au carré multiplié par moins un sur 𝑍 plus trois parmi deux fois 𝑍 multiplié par moins un sur 𝑍 le tout au carré plus trois parmi trois multiplié par moins un sur 𝑍 le tout au cube.
Et maintenant, nous pouvons commencer à simplifier. Tout d’abord, rappelez-vous que 𝑖 est la racine carrée de moins un. Donc, 𝑖 au carré est égal à moins un. Cela signifie que 𝑖 au cube est égal à moins 𝑖. Ainsi, nous pouvons simplifier le membre gauche de notre équation pour nous donner moins huit 𝑖 fois le sin au cube de 𝜃. Et nous pouvons simplifier chaque terme du membre droit de notre équation séparément. Tout d’abord, trois parmi zéro est égal à un, donc notre premier terme est 𝑍 au cube.
Pour simplifier notre prochain terme, rappelons que moins un sur 𝑍 peut être écrit comme moins 𝑍 à la puissance moins un. Et rappelez-vous, pour multiplier deux termes de la même base ensemble, nous additionnons simplement leurs exposants. Et dans notre exposant, deux moins un est égal à un. Donc, nous obtenons 𝑍 puissance un, qui est juste 𝑍. Et le coefficient sera trois parmi un multiplié par moins un, ce qui est moins trois.
Nous pouvons faire exactement la même chose pour déterminer notre prochain terme. Cependant, cette fois, nous avons moins un sur 𝑍 le tout au carré. Cela va simplement se simplifier pour nous donner 𝑍 à la puissance moins deux. Ainsi, 𝑍 fois 𝑍 à la puissance moins deux est égal à 𝑍 à la puissance moins un. Et notre coefficient est juste trois parmi deux, que nous savons que c’est égal à trois. Donc, notre troisième terme est trois 𝑍 à la puissance moins un.
Enfin, dans notre dernier terme, nous pouvons distribuer le cube sur nos parenthèses. Nous obtenons moins un sur 𝑍 au cube. Et trois parmi trois, c’est juste un. Ainsi, notre dernier terme est moins un sur 𝑍 au cube. Ainsi, notre équation est maintenant moins huit 𝑖 sin au cube 𝜃 est égal à 𝑍 au cube moins trois 𝑍 plus trois 𝑍 à la puissance moins un moins un sur 𝑍 au cube. Et nous pourrions remarquer quelque chose d’intéressant. Nous avons 𝑍 au cube moins un sur 𝑍 au cube. Et c’est exactement l’une de nos affirmations sur le théorème de De Moivre avec notre valeur de 𝑛 définie à trois. En fait, ce n’est pas la seule fois que cela apparaît. Rappelez-vous, nous pouvons réécrire 𝑍 à la puissance moins un comme un sur 𝑍.
Ainsi, nous pouvons réécrire notre troisième terme comme trois divisé par 𝑍. Et nous voulons écrire ceci sous la forme 𝑍 à la puissance 𝑛 moins un sur 𝑍 à la puissance 𝑛. Nous voulons que notre valeur de 𝑛 soit un. Et nous pouvons soit retirer un facteur de trois ou un facteur de moins trois. Nous allons supprimer le facteur moins trois. En retirant notre facteur de moins trois et en réarrangeant notre équation, nous obtenons moins huit 𝑖 sin au cube 𝜃 égale 𝑍 au cube moins un sur 𝑍 au cube moins trois fois 𝑍 moins un sur 𝑍.
Nous sommes maintenant prêts à commencer à écrire cette expression en fonction de sinus de multiples de 𝜃. Et pour ce faire, nous allons une fois de plus utiliser le théorème de De Moivre. En posant notre valeur de 𝑛 égale trois, nous savons que 𝑍 au cube moins un sur 𝑍 au cube est deux 𝑖 fois le sin de trois 𝜃. Et en fixant notre valeur de 𝑛 à un, nous savons que 𝑍 moins un sur 𝑍 est deux 𝑖 sin 𝜃.
En substituant ces expressions et en nous souvenant que nous devons multiplier deux 𝑖 sin 𝜃 par moins trois, nous obtenons l’équation suivante. Nous obtenons que moins huit 𝑖 sin au cube de 𝜃 est égal à deux 𝑖 sin de trois 𝜃 moins six 𝑖 sin 𝜃. Maintenant, tout ce que nous devons faire est de réarranger cette équation pour sin au cube 𝜃. Pour ce faire, nous allons devoir diviser les deux membres de notre équation par moins huit 𝑖. Pour rendre cela plus facile, pour simplifier, nous allons diviser chaque terme à droite de notre équation séparément par moins huit 𝑖. Nous obtenons sin au cube 𝜃 est égal à deux 𝑖 sin trois 𝜃 le tout sur moins huit 𝑖 plus moins six 𝑖 sin 𝜃 le tout divisé par moins huit 𝑖.
Et maintenant, nous pouvons commencer à simplifier. Dans les deux termes, nous avons un facteur commun de 𝑖 dans notre numérateur et dénominateur. De même, le premier et le deuxième termes partagent un facteur de deux au numérateur et au dénominateur. Donc, nous pouvons simplifier cela. Enfin, dans notre deuxième terme, nous pouvons simplifier le facteur commun de moins un au numérateur et au dénominateur. Cela nous laisse avec le sin trois 𝜃 le tout sur moins quatre plus trois sin 𝜃 le tout sur quatre. Nous pourrions laisser notre réponse ainsi. Cependant, nous réorganiserons ces deux termes et nous simplifions le facteur commun d’un quart, ce qui nous donnera notre réponse finale d’un quart multiplié par trois sin 𝜃 moins le sin de trois 𝜃.
Par conséquent, dans cette question, nous avons pu utiliser le théorème de De Moivre pour exprimer le sin au cube 𝜃 en fonction des sinus de multiples de 𝜃. Nous avons montré que le sin au cube 𝜃 était égal à un quart de trois sin 𝜃 moins le sin de trois 𝜃.
