Transcription de la vidéo
Calculez l’espérance de la variable aléatoire 𝑋 dont la loi de probabilité est donnée.
Il s'agit d'un exemple de loi de probabilité uniforme. On voit que les probabilités de tous les issues possibles sont égales. Elles valent 0,2. Il peut s'avérer utile de représenter toute information sous forme de tableau. Cela permet de repérer plus facilement ce qu'il faut faire ensuite. Puisque notre loi de probabilité est uniforme, il y a un moyen plus rapide pour trouver l’espérance de 𝑋. Mais examinons d'abord la formule.
Pour déterminer l’espérance de 𝑋, on additionne chacun des résultats possibles multiplié par sa probabilité d'occurrence. Pour notre loi de probabilité, la première issue possible ( la première valeur de 𝑥) est un et la probabilité que cette issue se produise est de 0,2. On écrit donc un fois 0,2.
La deuxième valeur possible de 𝑥 est deux et la probabilité que cela se produise est de 0,2. On écrit donc deux fois 0,2. La troisième valeur possible de 𝑥 est trois. On écrit donc trois fois 0,2. Nous répétons ensuite ce processus pour les autres valeurs possibles de 𝑥, qui sont quatre et cinq.
On calcule chacun de nos produits et on obtient 0,2 plus 0,4 plus 0,6 plus 0,8 plus un, ce qui donne trois. L’espérance de 𝑋 pour notre loi de probabilité est donc trois.
Il est utile de connaître la formule de l'espérance d’une variable aléatoire avec une loi de probabilité uniforme. Pour une loi de probabilité uniforme, dans laquelle 𝑥 est un nombre quelconque compris entre 1 et 𝑛, l'espérance de 𝑋 peut être calculée à l'aide de cette formule : 𝑛 plus un, le tout divisé par deux. Et on peut utiliser cette formule pour vérifier ce qu'on a déjà fait. Pour notre loi de probabilité, 𝑥 peut prendre n'importe quelle valeur de un à cinq. Donc 𝑛 vaut cinq.
La formule devient cinq plus un divisé par deux ou bien six divisé par deux, ce qui donne trois. Encore une fois, nous avons trouvé que l'espérance de 𝑋 égale trois.
