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Est-ce que la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égal deux 𝑥 au cube plus sept 𝑥 au carré plus cinq, où 𝑥 est un nombre réel, est une fonction bijective ?
Dans cette question, on nous donne une fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 qui est un polynôme de degré trois. Et on nous donne également le domaine de définition de cette fonction. C’est l’ensemble des valeurs réelles de 𝑥. Nous devons utiliser ces informations pour déterminer si notre fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 est une fonction bijective. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce que nous entendons par fonction bijective. C’est une fonction pour laquelle, à chaque élément de l’ensemble image de la fonction correspond exactement un élément du domaine de définition de la fonction.
Une autre manière de le dire est que si 𝑓 évaluée en 𝑥 indice un est égal à 𝑓 évaluée en 𝑥 indice deux alors quelles que soient les valeurs 𝑥 indice un et 𝑥 indice deux dans le domaine de définition de 𝑓, on a 𝑥 indice un égal 𝑥 indice deux. Nous voulons déterminer si cette propriété est vraie pour la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 sur le domaine de définition qui nous a été donné dans la question. Et il y a plusieurs manières de procéder. Par exemple, nous pourrions poser 𝑓 évaluée en 𝑥 indice un égal à 𝑓 évaluée en 𝑥 indice deux. Et puis nous pourrions soit essayer de montrer que 𝑥 indice un doit être égal à 𝑥 indice deux, soit essayer de trouver deux valeurs pour lesquelles cela n’est pas vrai.
Et, bien que cette méthode puisse fonctionner, elle sera assez compliquée car notre fonction est un polynôme de degré trois. Donc, au lieu de cela, nous allons le faire en traçant la courbe de 𝑓 de 𝑥. Donc, pour tracer la courbe de 𝑓 de 𝑥, nous commençons par noter qu’il s’agit d’un polynôme de degré trois dont le coefficient dominant est positif. Cependant, ce n’est pas assez pour tracer notre courbe complètement. Nous pourrions, par exemple, essayer de factoriser ce polynôme pour trouver ses intersections avec l’axe des abscisses, mais ce n’est pas nécessaire.
Au lieu de cela, nous allons trouver les points critiques de notre fonction en utilisant la dérivation. Et nous rappelons que c’est là que la dérivée est nulle. Puisque 𝑓 de 𝑥 est un polynôme, nous pouvons faire ceci terme par terme en utilisant la règle de dérivation des puissances, qui nous indique pour toutes constantes réelles 𝑎 et 𝑛, la dérivée de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est 𝑛 fois 𝑎𝑥 puissance 𝑛 moins un. Nous multiplions par l’exposant de 𝑥 puis réduisons cet exposant de un. Nous appliquons ensuite cela à chaque terme séparément. Dans notre premier terme, l’exposant de 𝑥 est trois. Nous multiplions par cet exposant et réduisons l’exposant de un. Nous obtenons six 𝑥 au carré. Dans le deuxième terme, l’exposant de 𝑥 est deux. Nous multiplions par cet exposant par deux puis réduisons l’exposant de un. Nous obtenons 14𝑥 puissance un, qui est juste 14𝑥.
Et nous pouvons dériver le troisième et dernier terme en utilisant la règle de dérivation des puissances. Cependant, c’est une constante. Cela ne varie pas lorsque 𝑥 varie. Donc, sa dérivée est nulle. Cela nous donne que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à six 𝑥 au carré plus 14𝑥. Nous voulons trouver les points critiques. Nous devons pour cela trouver les valeurs de 𝑥 où ceci vaut zéro. Nous devons résoudre zéro égal six 𝑥 au carré plus 14𝑥. Et nous pouvons le faire en extrayant le facteur commun deux 𝑥 des deux termes de droite de cette équation. Cela nous donne alors que zéro est égal à deux 𝑥 facteur de trois 𝑥 plus sept.
Enfin, pour qu’un produit soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être égal à zéro. Donc, soit 𝑥 est égal à zéro, soit 𝑥 est égal à moins sept sur trois. Et cela nous donne assez d’informations pour tracer la forme générale de la courbe d’équation 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥. C’est un polynôme de degré trois avec un coefficient dominant positif et il a deux points critiques uniques. Le point critique à gauche lorsque 𝑥 vaut moins sept sur trois sera un maximum local et le point critique lorsque 𝑥 vaut zéro sera un minimum local. Et cela suffit maintenant pour montrer que 𝑓 de 𝑥 n’est pas l’expression d’une fonction injective. Nous pouvons le faire directement à partir de cette figure.
Nous pouvons le faire en choisissant n’importe quelle valeur entre 𝑓 évaluée en zéro et 𝑓 évaluée en moins sept sur trois. Par exemple, nous pouvons tracer la droite d’équation 𝑦 égal 𝑓 évaluée en zéro sur ce schéma. Nous pouvons voir que notre droite coupe la courbe en deux points distincts. Et en fait, nous savons que cela doit être vrai. Lorsque 𝑥 vaut zéro, la fonction a un minimum local et elle monte à un maximum local lorsque 𝑥 vaut moins sept sur trois. Cependant, c’est un polynôme de degré trois. Ainsi, lorsque 𝑥 tend vers moins ∞, les images de notre fonction tendront vers moins ∞. Il doit donc y avoir deux points d’intersection entre la droite d’équation 𝑦 égal 𝑓 évaluée en zéro et la courbe d’équation 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥.
Et ce n’est que l’application d’un test avec une ligne horizontale. Appelons donc l’abscisse 𝑥 du premier point d’intersection 𝑥 indice un et l’abscisse 𝑥 du second point d’intersection 𝑥 indice deux. Ensuite, nous pouvons voir que 𝑓 évaluée en 𝑥 indice un est égal à 𝑓 évaluée en 𝑥 indice deux parce que leurs ordonnées 𝑦 sont égales sur le schéma. Cependant, 𝑥 indice un n’est pas égal à 𝑥 indice deux car ce sont deux points distincts.
Par conséquent, nous avons pu répondre que non, il n’est pas vrai que la fonction dont l’expression 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥 au cube plus sept 𝑥 au carré plus cinq pour toutes les valeurs réelles de 𝑥 est une fonction bijective.
