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Une variable aléatoire discrète 𝑋 suit la loi uniforme telle que la probabilité que 𝑋 soit égal à 𝑥 est un onzième, où 𝑥 est un élément de l’ensemble contenant les nombres un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, 10, 11. Déterminez l‘espérance de 𝑋.
Notez que chaque résultat a la même probabilité de se produire. Il s'agit donc d'un exemple d'une loi de probabilité uniforme. Il y a un moyen rapide pour déterminer 𝐸 de 𝑋 pour une loi de probabilité uniforme. Mais d'abord, on va considérer la formule générale de l‘espérance de 𝑋.
L‘espérance de 𝑋 est calculée en additionnant tous les résultats possibles multipliés par leur probabilité d'occurrence. Dans le cas de notre loi de probabilité, la première valeur possible de 𝑋, le premier résultat, est un et la probabilité que cela se produise est un onzième. On écrit donc un fois un onzième.
La deuxième valeur possible de 𝑋 est deux, et sa probabilité d'occurrence est à nouveau un onzième. On écrit donc deux fois un onzième. La valeur suivante possible de 𝑋 est trois, on répète donc ce processus pour trois, puis pour toutes les autres valeurs possibles de 𝑋.
Rappelez-vous, chaque valeur a une probabilité de se produire d'un onzième. Et si on calcule la somme de ces produits, on obtient que l’espérance de 𝑋 est six.
On a dit qu'il existe un moyen rapide pour déterminer l’espérance de 𝑋 pour une loi de probabilité uniforme. Pour une loi de probabilité uniforme, pour laquelle 𝑥 peut être n'importe quel nombre de un à 𝑛, l‘espérance de 𝑋 est donnée par 𝑛 plus un sur deux. Dans notre cas, 𝑥 était un nombre quelconque de un à 11. Ainsi 𝑛 est 11, et l’espérance de 𝑋 est 11 plus un sur deux, ce qui donne six.
