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Si 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥 au carré plus un et que la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑓 de 𝑥 est égale à deux, alors déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑔 de 𝑥 divisé par 𝑓 de 𝑥.
La question nous dit que 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥 au carré plus un et que la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑓 de 𝑥 est égal à deux. Nous devons utiliser cette information pour évaluer la limite lorsque 𝑥 tend vers sept du quotient de 𝑔 de 𝑥 et 𝑓 de 𝑥. Puisque nous ne connaissons pas les fonctions 𝑔 de 𝑥 et 𝑓 de 𝑥, nous ne pouvons pas directement évaluer la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de ce quotient. Nous devons donc réécrire cette limite.
Puisque nous voulons réécrire la limite d’un quotient, nous allons rappeler la règle du quotient pour les limites. Cette règle est utilisable pour toute constante réelle 𝑎 et pour des fonctions ℎ de 𝑥 et 𝑏 de 𝑥 avec la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑏 de 𝑥 qui n’est pas égale à zéro. Dans ce cas, la limite du quotient de ℎ de 𝑥 et 𝑏 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale au quotient des limites de ℎ de 𝑥 et 𝑏 de 𝑥. Puisque nous voulons réécrire la limite lorsque 𝑥 tend vers sept du quotient de 𝑔 de 𝑥 et 𝑓 de 𝑥, nous allons fixer notre valeur de 𝑎 à sept. Nous allons définir notre fonction ℎ de 𝑥 comme 𝑔 de 𝑥 et notre fonction 𝑏 de 𝑥 comme 𝑓 de 𝑥.
Maintenant, à condition que la limite du dénominateur ne soit pas égale à zéro, nous pouvons réécrire la limite de notre quotient comme le quotient des limites. On nous dit dans la question que la limite de notre dénominateur est égale à deux. Ce n’est évidemment pas égal à zéro. Ainsi, nous pouvons réécrire notre limite comme le quotient des limites.
Nous devons donc maintenant déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑔 de 𝑥 divisée par la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons commencer par évaluer la limite de notre dénominateur. On nous dit dans la question que cette limite est égale à deux. Nous voulons ensuite évaluer la limite de notre numérateur. Ainsi, nous cherchons la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑔 de 𝑥. Nous savons, grâce à l’énoncé, que 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥 au carré plus un.
Ainsi, au lieu d’évaluer la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑔 de 𝑥, nous allons déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑓 de 𝑥 au carré plus un. Nous ne pouvons pas évaluer cette limite directement. Ainsi, nous devrons réécrire cette limite en fonction de la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑓 de 𝑥 car nous savons que cela est égal à deux. Puisqu’on nous demande de calculer la limite d’une somme, nous l’écrirons comme la somme des limites. Nous pouvons faire cela pour toute valeur réelle 𝑎 et pour des fonctions ℎ de 𝑥 et 𝑏 de 𝑥. Dans ce cas, la limite de ℎ de 𝑥 plus 𝑏 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à la limite de ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 plus la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑏 de 𝑥.
En d’autres termes, la limite d’une somme de deux fonctions est égale à la somme des limites de ces deux fonctions. Lorsque nous appliquons cela à notre numérateur, nous obtenons la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑓 de 𝑥 au carré plus la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de un, le tout divisé par deux. Nous savons que la limite lorsque 𝑥 tend vers sept d’une constante est égale à cette constante. Il ne nous reste donc qu’une seule limite à évaluer. Il s’agit de la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑓 de 𝑥 au carré. Nous pouvons simplifier cela en utilisant notre règle des puissances sur les limites.
Nous savons que pour toute valeur réelle 𝑎, tout entier positif 𝑛 et toute fonction ℎ de 𝑥, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de ℎ de 𝑥 à la puissance 𝑛 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de ℎ de 𝑥 le tout à la puissance 𝑛. En d’autres termes, la limite de la puissance est égale à la puissance de la limite. En utilisant cela, au lieu d’évaluer la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑓 de 𝑥 au carré, nous pouvons simplement évaluer le carré de la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑓 de 𝑥. Dans la question, on nous donne la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de notre fonction 𝑓 de 𝑥. On nous dit que cette valeur est égale à deux. Alors lorsque nous substituons deux à cette limite, nous obtenons deux au carré plus un le tout divisé par deux, ce qui est égal à cinq sur deux.
Ainsi, nous avons une situationsdans laquelle 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥 au carré plus un et la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑓 de 𝑥 est égale à deux. Dans ce cas, la limite lorsque 𝑥 tend vers sept du quotient de 𝑔 de 𝑥 et 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq divisé par deux.
